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专题 01 集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点，
压轴题）
目录
一、集合的新定义（高数观点）题.............................................................................2
①乘法运算封闭.......................................................................................................2
②“群”运算...........................................................................................................2
③“ ”运算............................................................................................................3
④“ ”运算...........................................................................................................4
⑤戴德金分割...........................................................................................................4
⑥“类”...................................................................................................................5
⑦差集运算...............................................................................................................6
⑧“势”...................................................................................................................7
⑨“好集”...............................................................................................................7
二、逻辑推理.................................................................................................................8
①充分性必要性.......................................................................................................8
②逻辑推理...............................................................................................................8
三、不等式.....................................................................................................................9
①作差法...................................................................................................................9
②基本不等式...........................................................................................................9一、集合的新定义（高数观点）题
①乘法运算封闭
1．（2023春·高一课时练习）设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有
a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的
是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
2．（2023·全国·高三专题练习）非空集合 关于运算 满足：① 对任意 ，都有 ；② 存在
使对一切 都有 ，则称 是关于运算 的融洽集，现有下列集合及运算：
① 是非负整数集， 运算：实数的加法；
② 是偶数集， 运算：实数的乘法；
③ 是所有二次三项式组成的集合， 运算：多项式的乘法；
④ ， 运算：实数的乘法；
其中为融洽集的是
②“群”运算
1．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设 为某种元素组成的
一个非空集合，若在 内定义一个运算“*”，满足以下条件：
① ， ，有
②如 ， ， ，有 ；
③在 中有一个元素 ，对 ，都有 ，称 为 的单位元；
④ ，在 中存在唯一确定的 ，使 ，称 为 的逆元．此时称（ ，*）为一个群．
例如实数集 和实数集上的加法运算“ ”就构成一个群 ，其单位元是 ，每一个数的逆元是其相反
数，那么下列说法中，错误的是（ ）
A． ，则 为一个群
B． ，则 为一个群
C． ，则 为一个群D． {平面向量}，则 为一个群
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若非空集合G和G上的二元运算“ ”满足：① ，
；② ，对 ， ：③ ，使 ， ，有 ；
④ ， ，则称 构成一个群.下列选项对应的 构成一个群的是
（ ）
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合 (i为虚数单位)，“ ”为复数的乘法运算
D．集合 ，“ ”为求两整数之和被7除的余数
3．（2018·北京·高三开学考试）设 是一个非空集合, 是定义在 上的一个运算,如果同时满足下述四个
条件：
（i）对于 ,都有 ;
（ii）对于 ,都有 ;
（iii）对于 ,使得 ;
（iv）对于 ,使得 （注：“ ”同（iii）中的“ ”）.
则称 关于运算 构成一个群,现给出下列集合和运算：
是整数集合, 为加法; 是奇数集合, 为乘法;
是平面向量集合, 为数量积运算; 是非零复数集合, 为乘法.
其中 关于运算 构成群的序号是 （将你认为正确的序号都填上）.
③“ ”运算
1．（2023·全国·高三专题练习）在 上的定义运算 ，则满足 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”， ．对于任意集
合 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．3．（2023秋·高一课时练习）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意 ，
；（2）对任意a， ， ；（3）对任意a，b， ，
.给出下列三个结论：
① ；
②对任意a，b， ， ；
③存在a，b， ， ；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
④“ ”运算
1．（2023·全国·高三专题练习）对于任意的两个实数对 和 ,规定 当且仅当 ,
；运算“ ”为： ，
运算“ ”为： ，
设 ，若 则
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）定义集合运算：A⊙B＝﹛z|z=xy(x+y)，x∈A,y∈B﹜.设集合A=﹛0，1﹜，B=
﹛2，3﹜，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
3．（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数 ， ，定义运算⊕如下：
①当 ， 奇偶性相同时， ；
②当 ， 奇偶性不同时， ．
若集合 ，则 的元素个数为 ．
4．（2023·全国·高三对口高考）非空集合G关于运算 满足：（1）对任意 ，都有 ；
（2）存在 ，使得对一切 ，都有 ，则称G关于运算 为“融洽集”．现给出下
列集合和运算：
① {非负整数}， 为整数的加法；
② {偶数}， 为整数的乘法：
③ {平面向量}， 为平面向量的加法；
④ {二次三项式}， 为多项式的加法；
⑤ {虚数}， 为复数的乘法
其中G关于运算 为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）⑤戴德金分割
1．（多选）（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求
出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础
上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两
个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则
称 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
2．（多选）（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）19世纪戴德金利用他提出的分割理
论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推
出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足： ， ，则称 为 的二划分，例
如 ， 则 就是 的一个二划分，则下列说法正确的是
（ ）
A．设 ， ，则 为 的二划分
B．设 ， ，则 为 的二划分
C．存在一个 的二划分 ，使得对于 ， ， ，对于 ， ，
D．存在一个 的二划分 ，使得对于 ， ， ，则 ， ， ， ，则
3．（2022秋·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用
有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而
结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集 划分为两个非空
的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称
为戴德金分割．则下列关于戴德金分割 的说法一定不成立的是（ ）
A． 中有最大元素， 中有最小元素
B． 中没有最大元素， 中有最小元素
C． 中有最大元素， 中没有最小元素
D． 中没有最大元素， 中没有最小元素
4．（2022秋·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q， ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且
B中无最小元素的戴德金分割 ．
⑥“类”
1．（多选）（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为 的所
有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，其中 ．以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，则整数 ， 属同一类
2．（2021秋·高一课时练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成的一个集合称为“类”，
记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2 013∈[3];②-2∈[2];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0]．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组
成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②
2025∈[1] ； ③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a 3b∈[0].其中正确的结论是
.
⑦差集运算
1．（多选）（2023秋·高一课时练习）我们知道，如果集合 ，那么S的子集A的补集为
且 ，类似地，对于集合A、B我们把集合 且 ，叫做集合A和B的差集，
记作 ，例如： ， ，则有 ， ，下列解析正确
的是（ ）
A．已知 ， ，则
B．如果 ，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则D．已知 或 ， ，则 或
2．（多选）（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，
而集合还有很多其他的基本运算．设 ， 为两个集合，称由所有属于集合 但不属于集合 的元素组成
的集合为集合 与集合 的差集，记为 ，即 ．下列表达式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）定义差集 且 ，已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江苏常州·高一统考期中）对于集合A，B，我们把集合 且 叫做集合A与B的差
集，记作 ．若集合 ，集合 ，且 ，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
⑧“势”
1．（2022秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）设全集 ，对其子集引进“势”的
概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则
子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就
越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是 ．
2．（2022秋·高一单元测试）设全集 ，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；
②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集
的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子
集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第 位的子集是 .⑨“好集”
1．（2016秋·山西·高一阶段练习）如果集合 ，同时满足 ,
就称有序集对 为“ 好集对”.这里有序集对 是指当 时， 和 是不同的集对，
那么“好集对” 一共有个
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
2．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）定义：实数a，b，c，若满足 ，则称a，
b，c是等差的，若满足 ，则称a，b，c是调和的．已知集合 ，集合P是
集合M的三元子集，即 ，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合P
为“好集”，则集合P为“好集”的个数是 ．
3．（2016·浙江嘉兴·高三阶段练习）若三个非零且互不相等的实数 ， ， 满足 ，则称 ， ，
是调和的；若满足 ，则称 ， ， 是等差的，若集合 中元素 ， ， 既是调和的，又是等
差的，则称集合 为“好集”，若集合 ，集合 ，则（1）“好集”
中的元素最大值为 ；（2）“好集” 的个数为 ．
二、逻辑推理
①充分性必要性
1．（2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若 、 为实数，则“ ”是“
或 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·辽宁·高二校联考期末）“ ”是“方程 有实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高三专题练习）已知“ ”是“ ”成立的必要不充分
条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高一假期作业）已知不等式 成立的充分条件是 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
5．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知 是 的充分非必要条件，则实
数a的取值范围是 ．
②逻辑推理
1．（2023春·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末）定义 ，设函数
，若 使得 成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023春·江苏徐州·高二统考期末）已知“ ， ”为假命题，则实数 的取值
范围是 ．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知命题 ，使得“ 成立”为真命题，则实数a的
取值范围是 ．
4．（2023·全国·高一假期作业）已知命题 ”的否定为真命题，则实数 的取值范
围是 .
5．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，若同时满足条件：①
或 ；② .则m的取值范围是 .三、不等式
①作差法
1．（多选）（2023春·河南商丘·高二统考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·高一课时练习）比较大小：
(1) 和 ；
(2) 和 ，其中 ．
②基本不等式
1．（多选）（2023春·福建福州·高一福州三中校考期末）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为16
2．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．13 C．9 D．6
3．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为 ．
5．（2023春·河北保定·高二校联考期末）若 ，且 ，则 的最小值为
．
6．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知 ，其中 ， ， ，则 的最小
值为 ．
7．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）正实数 满足 ，且不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 .
8．（2023春·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知 ，则 的最小值
为 .
9．（2023春·江苏苏州·高二统考期末）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
10．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知 ，则 的
最小值为 .
