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2-3 函数的奇偶性、周期性和对称性
1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：函数的奇偶性.....................................................2
考点2：周期性...........................................................2
考点3：对称性...........................................................2
【常用结论归纳】.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 函数的奇偶性......................................................4
命题点1 判断函数的奇偶性............................................4
命题点2 函数奇偶性的应用............................................6
题型二 函数的周期性......................................................9
题型三 函数的对称性.....................................................12
三、课堂总结：知识图谱.....................................................15
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................16
1
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一、主干知识
考点1：函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y 轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
考点2：周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有x＋
T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的
最小正周期．
考点3：对称性
函数的对称性
(1)若函数
为偶函数，则函数
关于
对称．
(2)若函数
为奇函数，则函数
关于点
对称．
(3)若
，则函数
关于
对称．
(4)若
，则函数
关于点
对称．
2
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【常用结论归纳】
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调
性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a 对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．
3
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二、分类题型
题型一 函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
【例题精析1】
（2023·新疆·校联考二模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题知
，则
定义域为
，
∵
，
即
，所以
在
上为奇函数，
故图象关于原点对称，排除A、C，
4
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又∵当
时，
，排除D，
故选：B．
【例题精析2】
（2023·重庆·统考模拟预测）函数
的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】函数
得定义域为
，则
，故该函数为奇
函数，故可排除B 选项；
又
，故可排除C 选项；
又
，
，可以排除D 选项.
故符合的函数图象为A.
故选：A.
【例题精析3】
（2023·浙江台州·统考二模）已知函数
同时满足性质:①
;②当
时,
,则函数
可能为( )
A．
B．
C．
D．
5
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【解答】①
说明
为偶函数，②
,说明函数在
上单调递
减.
A 不满足②，B 不满足①，
C 不满足②,因为
在
单调递减，在
单调递增.
对于D,满足①,当
,单调递减,也满足②.
故选：D.
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等
价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
【例题精析4】
（2023·全国·高三专题练习）函数
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】因为函数
是奇函数，且在
上单调递增，
所以函数在
上也单调递增，
6
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又因为
，所以
，
不等式
等价于
或
，
所以
或
，故选：B.
【例题精析5】
（2023·上海金山·统考二模）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则
__________.
【解答】因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
故答案为：
.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
【对点精练1】
（2023·福建·统考模拟预测）函数
的图象大数为（ ）
A．
B．
7
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C．
D．
【解答】由题意可知，函数
的定义域为
.
又
，
所以，函数
为奇函数.
当
时，
，
则
.
设
，则
在
上恒成立，
所以，
在
上单调递增.
又
，
，
所以，根据零点存在定理可得，
，有
，
且当
时，有
，显然
，
所以
在
上单调递增；
当
时，有
，显然
，
所以
在
上单调递减.
因为
，所以C 项满足题意.故选：C.
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【对点精练2】
（2023·广西玉林·统考三模）函数
，若
，则
________．
【解答】由题得
，
∴
，
所以
．
故答案为：3.
【对点精练3】
（2023·云南红河·统考二模）若函数
是偶函数，则
______．
【解答】解：设
,
因为
是偶函数，所以
是奇函数，
所以
，解得
．经检验满足题意，
故答案为：1
【对点精练4】
（2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数
则
__________．
【解答】当
时，
，
，
则
．
故答案为：
.
题型二 函数的周期性
【例题精析6】
已知定义在
上的函数
满足
，
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9
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【解答】因为
，所以
，所以
的周期为6，又
为奇函数，所以
，所以
，
令
，得
，所以
,所以
，故选：C.
【例题精析7】
（2023·广西南宁·统考二模）已知函数
，
的定义域均为
，
为
的导函数，
且
，
，若
为偶函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【解答】依题意，因为
为定义在
为偶函数，所以
，所以
，
所以
为奇函数且
，因为
，
，
令
，则有
，解得
.
因为
，所以
，
又
，所以
，
由
得
，
所以
是以4 为周期的周期函数，所以
，
所以
，故A，B，C 错误.
故选：D.
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知
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区间上，进而解决问题．
【对点精练5】
（2023·陕西·统考二模）已知
是定义在
上的奇函数，若
为偶函数且
，
则
（ ）
A．3
B．
C．
D．6
【解答】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
，所以有
，
由
为偶函数可得：
，
故有
即
，
，故
，
所以
周期
，
故
故选：A
【对点精练6】
（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知
是定义在
上的偶函数且
，
是奇函数，则
___________.
【解答】由于
是奇函数，函数图象关于原点对称，
所以
关于
对称，
，
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所以
，
因为
是偶函数
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
是周期为
的周期函数，
又
，
，
，
，
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
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题型三 函数的对称性
【例题精析8】
（2023·陕西商洛·统考二模）已知定义在
上的函数
满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的周期为2
B．
为偶函数
C．
D．
【解答】由
，得
，由
，得
，
所以
，即
的周期为
，A 选项错误；
由
可知
的图象关于点
对称，所以
，C 选项正确，
由
知
的图象关于直线
对称，所以
的图象关于直线
对称，
进一步可知
图象的对称轴方程为
（
为奇数），所以
不是偶函数，B 选项错误；
的对称中心为点
（
为偶数），无法得到
，D 选项错误，
故选：C.
【例题精析9】
（2023·四川成都·统考二模）若奇函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
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A．
B．
C．0
D．
【解答】由题意，对于奇函数
，有
，
由
，
所以
，
所以
，
则函数
的周期是4，
所以
.，
故选：B．
【例题精析10】
（2023·全国·高三专题练习）已知定义在
上的函数
满足
，函数
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【解答】由
，得
①
又函数
的图象关于直线
对称，所以函数
的图象关于
轴对称，即
②
联立①②两式，可得
，所以
，
所以函数
的一个周期为8，又
，
所以
，故A，B，D 错误.
故选：C.
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴
或对称中心．
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(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
【对点精练7】
（2023·广东深圳·统考二模）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，且
，则
_________.
【解答】因为
为奇函数，则
，
所以，
，
在等式
中，令
，可得
，解得
，
又因为
，则
，①
所以，
，②
由①②可得
，即
，
所以，函数
为周期函数，且该函数的周期为
，
所以，
.
故答案为：
.
【对点精练8】
（2023·上海青浦·统考二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且满足
，
，则
________.
【解答】因为函数
是定义在
上的奇函数，则
，
因为
，即
，
所以，函数
为周期函数，且周期为
，则
，
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在等式
中，令
，可得
，所以，
，
因为
，则
，
因为
，
所以，
.
故答案为：.
【对点精练9】
（2023·全国·模拟预测）若函数
的定义域为
，且
，则
______．
【解答】因为
，所以，
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，又因为函数
的定义域为
，所以
．
由
，可得
，即
，
所以，
，所以函数
的周期是，所以
．
故答案为：.
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三、课堂总结：知识图谱
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四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，由正弦函数的性质可知，
为奇函数；
对于
，由正弦函数的性质可知，
为偶函数；
对于
，由幂函数的性质可知，
为奇函数；
对于
，由指数函数的性质可知，
为非奇非偶函数．
故选：
．
2．（2021•全国）下列函数中为偶函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，
的定义域为
，不关于原点对称，故
不正确；
对于
，
的定义域为
，但
，故
不正确；
对于
，
的定义域为
，
，
为奇函数，故
不正确；
对于
，
，满足
，故
为偶函数，故
正确．
故选：
．
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3．（2021•新高考Ⅱ）已知函数
的定义域为
不恒为
，
为偶函数，
为奇函
数，则
A．
B．
C．
（2）
D．
（4）
【解答】解：
函数
为偶函数，
，
为奇函数，
，
用
替换上式中
，得
，
，
，即
，
故函数
是以4 为周期的周期函数，
为奇函数，
，即
，
用
替换上式中
，可得，
，
关于
对称，
又
（1）
，
（1）
．
故选：
．
4．（2021•甲卷）设
是定义域为
的奇函数，且
．若
，则
19
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得
，
又
，
所以
，
又
，
则
．
故选：
．
5．（2021•乙卷）设函数
，则下列函数中为奇函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以函数
的对称中心为
，
所以将函数
向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数
，该函数的对称中心为
，
故函数
为奇函数．
故选：
．
6．（2020•新课标Ⅱ）设函数
，则
A．是奇函数，且在
单调递增
B．是奇函数，且在
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
20
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D．是偶函数，且在
单调递减
【解答】解：因为
，
则
，即
为奇函数，
根据幂函数的性质可知，
在
为增函数，故
在
为减函数，
在
为
增函数，
所以当
时，
单调递增，
故选：
．
7．（2020•海南）若定义在
的奇函数
在
单调递减，且
（2）
，则满足
的
的取值范围是
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：
定义在
的奇函数
在
单调递减，且
（2）
，
的大致图象如图：
在
上单调递减，且
；
21
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故
；
当
时，不等式
成立，
当
时，不等式
成立，
当
或
时，即
或
时，不等式
成立，
当
时，不等式
等价为
，
此时
，此时
，
当
时，不等式
等价为
，
即
，得
，
综上
或
，
即实数
的取值范围是
，
，
，
故选：
．
8．（2020•新课标Ⅱ）设函数
，则
A．是偶函数，且在
，
单调递增
B．是奇函数，且在
，
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
【解答】解：由
，得
．
又
，
22
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为奇函数；
由
，
．
可得内层函数
的图象如图，
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
则
，
上单调递减．
又对数式
是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，
在
上单调递减．
故选：
．
9．（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．函数关于
对称，函数为非奇非偶函数，
．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，
23
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，
，
则函数
是偶函数，满足条件．
．由
得
得
，函数的定义为
，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，
故选：
．
10．（2019•上海）已知
，函数
，存在常数
，使
为偶函数，则
的值可能为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由于函数
，存在常数
，
为偶函数，
则：
，
由于函数为偶函数，
故：
，
所以：
，
当
时．
故选：
．
11．（2022•全国）设
是定义域为
的奇函数，
是定义域为
的偶函数．若
，则
（2）
．
【解答】解：由
是定义域为
的奇函数，可得
（2）；
由
是定义域为
的偶函数，可得
（2）．
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若
，则
（2）
（2）
，①
又
（2）
（2）
．②
①
②可得
（2）
，
即有
（2）
．
故答案为：
．
12．（2022•乙卷）若
是奇函数，则
，
．
【解答】解：
，
若
，则函数
的定义域为
，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得，
且
，
且
，
函数
为奇函数，
定义域必须关于原点对称，
，解得
，
，定义域为
且
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
13．（2021•全国）已知函数
，且
，则
（2）
．
【解答】解：因为
，
25
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所以
，
因为
，
所以
（2）
．
故答案为：
．
14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
．
①
；②当
时，
；③
是奇函数．
【解答】解：
时，
；当
时，
；
是奇函数．
故答案为：
．
另解：幂函数
即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取
即可．
15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数
是偶函数，则
1
．
【解答】解：函数
是偶函数，
为
上的奇函数，
故
也为
上的奇函数，
所以
，
所以
．
法二：因为函数
是偶函数，
所以
，
26
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即
，
即
，
即
，
所以
．
故答案为：1．
16．（2020•江苏）已知
是奇函数，当
时，
，则
的值是
．
【解答】解：
是奇函数，可得
，
当
时，
，可得
（8）
，
则
（8）
，
故答案为：
．
17．（2020•上海）若函数
为偶函数，则
1
．
【解答】解：根据题意，函数
为偶函数，则
，
即
，
变形可得：
，
必有
；
故答案为：1．
18．（2019•上海）已知函数
周期为1，且当
时，
，则
．
【解答】解：因为函数
周期为1，所以
，
因为当
时，
，所以
，
故答案为：
．
19．（2019•新课标Ⅱ）已知
是奇函数，且当
时，
．若
，则
．
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【解答】解：
是奇函数，
，
又
当
时，
，
，
，
．
故答案为：
1．（2023•兴庆区校级一模）已知函数
是定义域为
且周期为4 的奇函数，当
，
时，
，
，则下列结论错误的是
A．
（4）
B．函数
的图象关于
对称
C．
的值域为
，
D．函数
有9 个零点
【解答】解：由于
是定义域为
且周期为4 的奇函数，对称中心为原点，对称轴为
，
，
故
（
4
）
，
，
同
理
，故
正确；
因为
是周期为4 的函数，故
也是周期为4 的函数，据此取
，
，此时
，此时在
处有最大值，故
，故
错误；
28
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对称轴为
，
，易知，
时，
正确；
由
，
时，
，作出
与
的图象，结合
时，
，
时，
；
时，
；
时，
，如图所示，
与
共由9 个交点，故
正确．
故选：
．
2．（2023•泸县校级模拟）已知函数
，则
A．
在
上单调递增
B．
的图象关于点
对称
C．
为奇函数
D．
的图象关于直线
对称
【解答】解：
，
在
上单调递减，
故选项
错误；
，
的图象关于点
对称，
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故选项
、
错误；
，
，
故
的图象关于直线
对称，
故选项
正确；
故选：
．
3．（2021•丙卷模拟）已知函数
，且
，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令
，则
，
，
，
，
是
上的奇函数，
可化为
，
又
，
，
所以
在
上是减函数，
，解得，
，
故选：
．
4．（2017•南关区校级模拟）函数
是
上的偶函数，且在
，
上是增函数，若
（a）
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（2），则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
或
【解答】解：由题意，
在
上为单调减函数，
从而有
或
，
解得
或
，
故选：
．
5．（2020•钦州模拟）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，函数
单调递增，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，函数
是定义在
上的奇函数，则函数
的图象关于点
对称，且
（1）
，
当
时，函数
单调递增，则
在
，
上单调递增，且
（1）
，
所以
时，
与
同号，且
，
，所以只需比较
时，
的大小关系即可．
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因为：
，
；
，
．
又
，
故
，
则有
．
故选：
．
6．（多选题）（2023•建水县校级模拟）下列函数中，是奇函数且存在零点的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
，化简得
，显然没有实数根，
错误；
时，显然
，该函数为奇函数，且
解得
，所以
正确；
，显然该函数为偶函数，
错误；
，则
显然为奇函数，且由
得
，
，
对．
故选：
．
7．（多选题）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数
，则
A．
B．
是奇函数
C．
在
上单调递增
D．
的最小值为
【解答】解：
，故
项正确，
，故
是偶函数，故
项错
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误，
当
时，
，故
在
上单调递增，故
项正确，
由于
在
上单调递增，且
为偶函数，故
的最小值为
，
正确，
故选：
．
8．（2023•宝山区校级模拟）设定义在
上的奇函数
，当
时，
，则不等式
的解集是
，
，
．
【解答】解：当
，则
，此时
，
是奇函数，
，
，
即
，
，
当
时，由
，得
，
当
时，
成立，
当
时，由
，得
，即
，则
，
综上
或
，
即不等式的解集为
，
，
，
故答案为：
，
，
，
9．（2022•黄浦区模拟）已知函数
是奇函数，当
时，
，且
（3）
，则
．
【解答】解：
是奇函数，
（3）
，
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当
时，
，
，
，
故答案为：
10．（2022•乌鲁木齐模拟）已知函数
．若
（a）
．则
．
【解答】解：根据题意：
其定义域为：
关于原点对称．
又
是奇函数
（a）
故答案为：
1 ．设函数
的定义域为
，若存在非零实数
使得对于任意
，有
，且
，则称
为
上的高调函数，如果定义域为
的函数
是奇函数，当
时，
，且函数
为
上的1 高调函数，那么实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：定义域为
的函数
是奇函数，
当
时，
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图象如图，
为
上的1 高调函数，当
时，函数的最大值为
，要满足
，
1 大于等于区间长度
，
，
故选：
．
2．（2018•青岛二模）若直角坐标平面内两点
、
满足条件：①
、
都在函数
的图象上；②
、
关于原点对称，则对称点
是函数
的一个“友好点对”（点对
与
看作同一个“友
好点对” ．已知函数
则
的“友好点对”有
2
个．
【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，
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只须作出函数
的图象关于原点对称的图象，
看它与函数
交点个数即可．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2．
即
的“友好点对”有：2 个．
故答案为：2．
3．已知定义在
上的函数
满足条件
，且函数
是奇函数，给出以下四
个命题：
①函数
是周期函数；
②函数
的图象关于点
，
对称；
③函数
是偶函数；
④函数
在
上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是
①②③
（写出所有正确命题的序号）
【解答】解：对于①：
函数
是周期函数且其周期为3．①对
对于②：
是奇函数
其图象关于原点对称
又
函数
的图象是由
向左平移
个单位长度得到．
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函数
的图象关于点
，
对称，故②对．
对于③：由②知，对于任意的
，都有
，用
换
，可得：
对于任意的
都成立．
令
，则
，
函数
是偶函数，③对．
对于④：
偶函数的图象关于
轴对称，
在
上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．
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