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专题01 集合
目录
题型一： 集合的基本概念...............................................................................................................4
题型二： 集合间的基本关系...........................................................................................................6
题型三： 集合的运算.......................................................................................................................9
题型四： 求参数的取值范围.........................................................................................................11
题型五： 集合中的新定义问题....................................................................................................12
知识点一、集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N * ( 或
N ＋)
Z
Q
R
注意
N 为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包
含0.
知识点二、集合间的基本关系
表示
知识点总结
1
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关系
文字语言
符号语言
Venn 图
集合间的
基本关系
相等
构成两个集合的元素是一
样的
A ⊆
B 且B ⊆
A ⇔A＝B
子集
集合A 中任意一个元素都
是集合B 中的元素
A ⊆
B 或
B ⊇
A
真子集
集合A 是集合B 的子集，
但存在元素x∈B，且x∉A
A B 或
B A
结论
任何一个集合是它本身的子集
A⊆A
若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A
是C 的子集
A⊆B，B⊆C⇒
A ⊆
C
空集是任何集合的子集，是任何非空集
合的真子集
∅⊆A
∅B
(B≠∅)
知识点三、集合的基本运算
并集
交集
补集
图形
表示
符号
A∪B＝
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
2
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表示
{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
性质
A∪∅＝A；
A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；
A∪B＝A⇔B ⊆
A
A∩∅＝∅；
A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；
A∩B＝A⇔A ⊆
B
A∪(∁UA)＝U；
A∩(∁UA)＝∅；
∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)
知识点四、区分下列集合的表示含义
集合
{x|f(x)＝0}
{x|f(x)>0}
{x|y＝f(x)}
{y|y＝f(x)}
{(x，y)|y＝f(x)}
含义
方程f(x)＝0 的解
集
不等式f(x)>0 的
解集
函数y＝f(x)的定
义域
函数y＝f(x)的值
域
函数y＝f(x)图象
上的点
【常用结论与知识拓展】
(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空子集有2n－1 个，
非空真子集有2n－2 个．
(2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．
(3)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B.
(4)A∩B＝A∪B⇔A＝B.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.
(6)如图所示，用集合A，B 表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，
A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，∁U(A∪B)．
3
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(7)用card(A)表示有限集合A 中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝
card(A)＋card(B)－card(A∩B).
题型一：集合的基本概念
【要点讲解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集
合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合。集合中元素的互异性常常容易忽略，特别
是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。分类讨
论的思想方法常用于解决集合问题
【例1】（2022•长沙模拟）已知集合
，
，下列选项中均为
的元素的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
，
．
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（2）（4）
【变式训练1】（2022 秋•宜阳县校级月考）集合
的元素个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
【例2】（2022 秋•南昌期末）已知集合
，
，
，则
中元素
例题精讲
4
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的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1】（2022•道里区校级四模）已知集合
，则
中元素的个数为
A．9
B．10
C．11
D．12
【变式训练2】（2022•河北模拟）已知集合
，2，
，
，
，
，则
中所含元素的个数为
A．2
B．4
C．6
D．8
【例3】（2022 秋•西安）集合
，2，
，
，3，
，
，
，
，则
中的元素个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式训练1】（2022 秋•汉滨区）已知集合
，0，1，
，
，
，
，则集合
中所有的元素之和为
A．0
B．2
C．
D．
【变式训练2】（2023• 潍坊模拟）已知集合
，0 ，
，
，
，则集合
中所有元素之和为
A．0
B．1
C．
D．
【例4】（2022 秋•武陵区）若关于
的方程
的解集中有且仅有一个元素，则
5
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实数
的值组成的集合中的元素个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1】（2021•江西模拟）已知集合
，
只有一个元素，
则
的取值集合为
A．
B．
C．
，
，
D．
，
【变式训练2】（2023•延边州二模）已知集合
的元素只有一个，则
实数
的值为
A．
B．0
C．
或0
D．无解
【例5】（2022 秋•山西）已知集合
中元素
满足
，且
，
，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】（2022•聊城二模）已知集合
，1，
，
，
，则集
合
中元素个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练2】（2021•麒麟区校级模拟）设集合
，0 ，1 ，
，
，
，
，
，
，则集合
中元素的个数为
A．5
B．6
C．7
D．8
【例6】（2022•全国一模）已知集合
，3，4，5，
，
，
，
，则
中所含元素的个数为
6
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A．2
B．3
C．4
D．6
【变式训练1】（2022•全国一模）已知集合
，3，4，5，
，
，
，
，则
中所含元素的个数为
A．3
B．6
C．8
D．10
【变式训练2】（2022 秋•川汇区校级期末）已知集合
，2，
，
，
，
中所含元素的个数为
A．2
B．4
C．6
D．8
题型二：集合间的基本关系
【要点讲解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空
集的情况，否则会造成漏解；已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素
或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn 图来直观解决这类
问题。
【例7】（2023•咸阳模拟）设集合
，则集合
的真子集个数是
A．6
B．7
C．8
D．15
【变式训练1】（2023•黄埔区校级模拟）设集合
，
，则集合
的真子集个数为
A．8
B．7
C．4
D．3
【变式训练2】（2023•乌鲁木齐模拟）已知集合
满足
，
，2，3，
，那
么这样的集合
的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练3】（2023•全国二模）下列集合关系中错误的是
7
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A．
，
B．
，
C．
D．
，
，
【变式训练4】（2022 秋•阜南县校级月考）已知集合
，
，则
下列说法正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练5】（2022•全国四模）已知
，
，则集合
、
之间的关系为
A．
B．
C．
D．
【变式训练6】（2023• 重庆模拟）已知集合
，
，则下列关系正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练7】（2022• 河南模拟）已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【例8】（2023•延庆区一模）已知集合
，
，
，0，
，且
，则
等于
A．1
B．0
C．
D．
8
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【变式训练1】（2023•香坊区校级一模）已知集合
，
，
，若
，则实数
的取值集合为
A．
，
，
B．
C．
D．
，
，0，
【变式训练2】（2023•湖南模拟）已知集合
，
，且
，则
实数
的取值范围为
A．
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练3】（2023•北碚区校级模拟）已知集合
，4，
，
，
，若
，则实数
组成的集合为
A．
B．
，
C．
，0，
D．
，0，1，
【例9】（2023• 大荔县一模）设三元集合
，则
．
【变式训练1】（2022 秋•新北区校级月考）已知集合
，
，
，
，
，
，若
，则
．
【例10】（2022• 海口模拟）已知集合
，0 ，
，
，若
，则实数
A．2
B．1
C．0
D．
9
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【变式训练1】（2023•铁岭模拟）设
，
，若
，
则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】（2023•2 月份模拟）设集合
，3，
，
，
，
，
．若
，
，则
A．
B．
C．1
D．3
【变式训练3】（2022• 攀枝花模拟）设集合
，
，若
，则实数
的取值范围是
A．
B．
，
C．
D．
，
【变式训练4】（2022•朝阳区校级三模）已知集合
，
，
若
，则实数
的取值组成的集合是
A．
B．
C．
，
D．
，0，
题型三：集合的运算
【要点讲解】
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成人手是解决集合运算问题的前提。有些集
合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。集合
之间的运算要注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图。
【例11】（2023•乌鲁木齐三模）设集合
，0，1，
，
，则
的子集个数为
10
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A．2
B．4
C．8
D．16
【变式训练1】（2023•全国卷模拟）已知集合
，
，
则
A．
B．
C．
或
D．
或
【例12】（2023•天津一模）设全集
，
，0，1，
，集合
，
，
，
1，
，则
A．
B．
，
，
C．
，
D．
，1，
【变式训练1】（2023•全国三模）设集合
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练2】（2023•合肥三模）已知集合
，集合
则集合
的元素个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【例13】（2023•毕节市模拟）已知集合
，
，则如图
中阴影部分表示的集合为
11
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A．
B．
，
C．
，2，
D．
【变式训练1】（2023•吉林模拟）已知全集
，集合
，
，
，则下图阴影部分所对应的集合为
A．
B．
C．
或
D．
【变式训练2】（2022 春•下期末）已知全集
，集合
，
，
则图中阴影部分表示的集合为
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【例14】（2023• 商洛二模）设集合
，
，
，
．若
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练1】（2023•宜章县模拟）已知集合
，
，若
，则
12
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A．
B．
C．2
D．6
【变式训练2】（2023•济宁二模）已知集合
，5，
，
，
，若
，则
A．
B．
C．2
D．3
【变式训练3】（2013• 武昌区校级模拟）若集合
，
，且
，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】（2010• 项城市校级模拟）已知：
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值．
题型四：求参数的取值范围
【要点讲解】
根据集合的运算结果求参数时，可先把符号语言转化为文字语言，然后应用数形结合法求
解。
【例15】（2023• 郴州模拟）已知集合
，
，
，若
，则实数
的取值范围是
13
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
【变式训练1】（2023• 山西模拟）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练2】（2023• 怀仁市校级四模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【变式训练3】（2023•茂名二模）已知集合
，
，若
，
则实数
的取值范围是
A．
B．
，
C．
D．
，
【变式训练4】（2023• 黄山模拟）已知集合
，
，且
，则实数
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【例16】（2023• 乐山三模）已知集合
，
，且
，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练1】（2023•四川模拟）设集合
，
，
14
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集合
中恰好含有2 个元素，则实数
的取值范围为
A．
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练2】（2023•铁岭模拟）设
，
，若
，
则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】（2023•湖北模拟）已知集合
，
，若
中
有且仅有三个整数，则正数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型五：集合中的新定义问题
【要点讲解】
集合新定义问题的“三定”：一定元素，确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所
有元素；二定运算，根据要求及新定义，将所求集合的运算转化为集合的交集、并集与补
集的基本运算，或转化为数的有关运算；三定结果，根据新定义，利用列举法或描述法写
出所求集合中的所有元素。
【例17】（2023• 五河县模拟）对于数集
，
，定义
，
，
，
，
，
若集合
，
，则集合
中所有元
素之和为
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】（2023•湖北模拟）用
（A）表示非空集合
中的元素个数，定义
15
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若
，
，
，且
，设实数
的所有可能取值组成的集合是
，则
等于
A．7
B．5
C．3
D．1
【变式训练2】（2022• 长丰县校级模拟）若
，
，定义
且
，则
A．
或
B．
或
C．
D．
一．选择题（共12 小题）
1．（2023•南通二模）已知
，
为
的两个非空真子集，若
，则下列结论正
确的是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2022•渭滨区校级模拟）设集合
，
，
，若
，则
A．
或
或2
B．
或
C．
或2
D．
或2
3 ．（2023• 江西模拟）已知集合
，
，
，
，
，
，若
，则
课后练习
16
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A．
B．0
C．1
D．2
4．（2023•定西模拟）已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
5．（2023•河南模拟）已知集合
为英文单词“
”的字母组成的集合，集合
为英文
单词“
”的字母组成的集合，则集合
的子集个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2023•西宁一模）已知集合
，
，
，则
中元素的个
数为
A．3
B．4
C．8
D．9
7．（2021•江西模拟）已知集合
，
，
，若
，则符合条
件的实数
的值组成的集合为
A．
，
B．
，
C．
，0，
D．
，
8．（2023•渝中区校级一模）已知集合
，
，
，
则
A．
，
B．
C．
D．
17
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9．（2023•福建二模）
是正整数集的子集，满足：
，
，
，并有
如下性质：若
，
，则
，则
的非空子集数为
A．2022
B．2023
C．
D．
10．（2021•石家庄模拟）已知集合
，
，
，
，
，
，
，
若
，则
A．
B．2
C．
D．1
11．（2023•桃城区校级模拟）已知集合
，
，则下列结
论中正确的是
A．
B．
C．
D．
12．（2023•南京二模）集合
的子集个数为
A．2
B．4
C．8
D．16
13．（2022•泉州模拟）已知集合
，
均为
的子集，若
，则
A．
B．
C．
D．
14．（2021•武汉模拟）图中矩形表示集合
，
，
是
的两个子集，则阴影部分可以
18
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表示为
A．
B．
C．
D．
15 ．（2010• 南通模拟）记集合
，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，
，
，将
中的元素按从大到小的顺序排列，则第
2009 个数是
．
16．（2022•宝山区模拟）已知集合
，
，
，是虚数单位，对任意
，
，
可以相等）均有
，则符合条件的元素个数最多的集合
．
17．（2012•南通模拟）已知数集
，0，
中有3 个元素，则实数
不能取的值
构成的集合为
．
18．（2018•武清区校级模拟）用列举法表示集合
21．（2023•沛县校级模拟）设
，
，若
，求实
数
的取值范围．
19
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20
