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第 10 讲 主元法巧解双变量或多变量问题
【典型例题】
例1．（2024·全国·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，对于任意 ， ， 总
有 且 ．若对于任意 ，存在 ，使 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】D
【解析】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
∴当x、x∈[﹣1，1]，且x+x≠0时，有 0，
1 2 1 2
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
∵f（1）＝1，
∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，最大值为f（1）＝1，
若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，
即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立，
∴t2﹣2at≥0，
设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2，
则满足 ，
即 ，
∴t≥2或t≤﹣2或t＝0，
故选D．
例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知任意 ，若存在实数b使不等式 对任意的
恒成立，则b的最小值为 .
【答案】6
【解析】由题意 ，
设 ， ，其图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 ，即 时， ， ；当 ，即 时， ， ；
若要 对于任意 ， 均成立，则 即 ，所以b的最小值为6.
故答案为：6
例3．（2024·浙江衢州·一模）已知实数a，b，c满足 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】先分离出 ，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.若 取最小值，
则 异号， ，
根据题意得： ，
又由 ，即有 ，
则 ，
即 的最小值为 ，
故答案为：
例4．（2024·高一·浙江湖州·期末）已知实数a，b，c满足 ，则abc的最小值是 ．
【答案】 /
【解析】由 可得 ，
当 时， ， ；
当 时， ，所以 ，
令 ，则 ，该方程有正根，
则 ，即 ，解得 ，
因为函数 的对称轴为 ，开口朝下，
所以当 时， 取最小值，最小值为
因此abc的最小值是 ，故答案为：
例5．（2024·高三·全国·竞赛）实数 ， ， 满足 ， .则 的最小值是
.
【答案】 .
【解析】由题设得 ， .
所以， 和 是方程 的实根，则
， .
又 在 时为减函数，
所以 时， 有最小值 .
例6．（2024·江苏徐州·一模）设实数 ， ， ，满足 ， ，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
整理得到 即 ，
又 ，故 在 为增函数，
当 时， ；当 时， ；
所以 的取值范围是
例7．（2024·高三·全国·专题练习）若 ， ，设 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为．
当且仅当 ， 时取等号．
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
例8．（2024·河南商丘·二模）已知函数 .
（1）如图，设直线 将坐标平面分成 四个区域（不含边界），若函数 的
图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的 的取值范围；
（2）当 时，求证： 且 ，有 .
【解析】（1）根据定义域确定只能在 ， 区域，再根据 确定只能在 ，转化为不等式
恒成立，分离变量得 ．利用导数求函数 单调性，根据单调性确定
函数最值，即得 的取值范围；
（2）作差函数 ，再利用二次求导确定 为单调递减函数，最后根据
，得 ，即得结论.
试题解析：（1）函数的定义域为 ，且当 时， ．
又直线 恰好通过原点，
∴函数 的图象应位于区域Ⅳ内，
于是可得 ，
即 ．
∵ ，∴ ．令 ，则 ．
∴ 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．
∴
∴ 的取值范围是 ．
（2）∵ ，
设 ,
则 ，
时， ， 时，
∴ ，
∴ 时 为单调递减函数，
不妨设 ，令 （ ），
可得 ，
，∵ 且 单调递减函数，
∴ ，∴ ， 为单调递减函数，
∴ ，即 ．
例9．（2024·高三·山西太原·阶段练习）知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最小值；
(2)当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 ， 求证： ．
【解析】（1）
令 得 ；令 得： ；
在 上为增函数，在 上为减函数．
故 .
（2）由（1）知：当 时，有 ，
，即： ， ．
（3）将 变形为：
即只证：
设函数
，
令 ，得： ．
在 上单调递增；在 ， 上单调递减；
的最小值为： ，即总有： ．
，即： ，
令 ， ，则
，
成立．
例10．（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）讨论关于x的方程 的解的个数；
（3）当a＞0，b＞0时，求证： ．
【解析】（1） 的定义域为 ，
，令 ，解得 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以， 在 最小值是 ．
（2）当 ， 单调递减且 的取值范围是 ；
当 时， 单调递增且 的取值范围是
下面讨论 的解；
所以，当 时，原方程无解；
当 时，原方程有唯一解；
当 时，原方程有两解
（3）原不等式可化为 ，
设函数 ，
则 ，
令 ，则 ，∴ ，∴ ，
解得： ，
令 ，解得：0＜x
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 上的最小值为
∴当 时，总有 ，
即： ，
令 ，则有： ．
例11．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知函数 .
（1）讨论 的单调性;（2）当 时，证明:
【解析】(1）
，
，
当 时， 恒成立，
则 在 上单调递增
当 时，令 ，则 ，
所以
令 ，则
所以
综上:当 时， 的增区间为 ;
当 时， 的增区间为 ，减区间为 .
(2)由(1)知，当 时，
令 ，
则 ，
令 ，则 .
令 ，则 .
故 ，
所以
又因为 ，
所以
则 ，从而
即 .
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高二·河北衡水·阶段练习）已知函数 ，对于
，若 ，满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ,令
，
故选：C．
2．（2024·高三·江西·阶段练习）设函数 ，若 时， ＞0恒
成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（-∞，0） C．（-∞，） D．（-∞，1）
【答案】D
【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性
显然 是单调递增的奇函数，所以 可变形为 ，
而此函数为单调递增，所以
， ，即 ，而 ， 恒成立， ，即
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数 ，若当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是
A．(-3，+ ) B．(-1，+ ) C．(- ，-3) D．(- ，-1)
【答案】A
【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.由函数 ，则函数 是奇函数，由
恒成立，则函数单调递增， ，得，得 当 时，实数
的取值范围是 ，当 时 恒成立，由 ，即
，故 ，故选A.
4．（2024·高三·全国·专题练习）设 ， 为实数，首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项的和为 ，
满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，
所以 ，整理得： .
此方程可看作关于 的一元二次方程，它一定有实根，
，
整理得 ，解得 或 .
故选：C
5．（2024·高一·浙江金华·期末）若存在正实数 ，使得 ，则
A．实数 的最大值为 B．实数 的最小值为
C．实数 的最大值为 D．实数 的最小值为
【答案】C
【解析】由 得 ，当 时，方程为 不和题意，故这是关
于 的一元二次方程，依题意可知，该方程在 上有解，注意到 ，所以由
解得 ，故实数 的最大值为 ，所以选C.
6．（2024·浙江台州·一模）已知函数 在区间 上有零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设 为函数 的两个零点，其中 ， ，则 ， .则 ，
由 ， ，所以 ，
可令 ，
当 ， 恒成立，所以 .
则 的最大值为 ，此时 ， ，
所以 ， 时， ， .所以 的取值范围是 .
故选：B.
7．（2024·浙江·二模）已知任意 ，若存在实数b使不等式 对任意的 恒成立，
则（ ）
A．b的最小值为4 B．b的最小值为6
C．b的最小值为8 D．b的最小值为10
【答案】B
【解析】转化条件得 ，设 ， ，根据 、 分类，分别求
出函数 的最值即可得解.由题意 ，
设 ， ，其图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 即 时， ， ；
当 即 时， ， ；
若要 对于任意 ， 均成立，
则 即 ，所以b的最小值为6.
故选：B.
8．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知实数 ， ， 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．-1 D．
【答案】B【解析】根据题意利用 与 的基本不等式,再转换为含 的二次不等式求解即可.若 取最小值,
显然 异号且 .故 ,
即 ,故 ,
当且仅当 分别取 时等号成立.
故选：B
二、填空题
9．（2024·高二·全国·假期作业）设首项为 ，公差为 的递增等差数列 的前 项和为 ，其中 ，
为实数，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先求出 ，代入 ，转化为 ，关于 的方程有实数根，由
求解.因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为关于 的方程有实数根，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
又数列 为递增数列，
则 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为：
10．（2024·高三·全国·专题练习）设 ， 为实数，首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，
满足 ，则 的取值范围为 ．
【答案】 或
【解析】 ，由等差数列的求和公式可得
，整理得 ，
由于方程可看作关于 的一元二次方程，
方程一定有根，故 ，
整理得 ，解得 ，或
故答案为： 或 .11．（2024·高二·浙江·期末）若 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
即： 恒成立
所以
故答案为
12．（2024·高三·浙江·阶段练习）若正数 ， ， 满足 ，则 的最大值是 .
【答案】
【解析】把式子 看作是关于 的方程，则问题等价于关于 的方程
有解，则 ，即 ，则问题转
化为关于 的不等式 有解，则 ，化简得 ，所以
，此时 ， ，符合条件.
故答案为：
13．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【解析】 正数 、 、 满足 ， ，
， 所以
同理：有 得到 ，所以
两式相加：
即
又 ,即即 ．
故答案为：
三、解答题
14．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数 ， （ 为自然对数的底数）
(1)当 时，求 的单调区间；
(2) 时，若函数 与 的图象有且仅有一个公共点.
（i）求实数 的集合；
（ii）设经过点 有且仅有3条直线与函数 的图象相切，求证：当 时，
.
【解析】（1）当 时， ， ，
，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）（i） ，
因 ，当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
在 处取得最小值；
，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
在 处取得最大值，
故若函数 与 的图象有且仅有一个公共点，当且仅当 ，得 ，得 ，
故实数 的集合为 .
（ii）因 ，所以 ，
设点 为经过点 的直线与函数 的图象相切的切点，
则 ， ，
故切线方程为 ，
因 在切线上，故 ，
整理得 ，
因经过点 有且仅有3条直线与函数 的图象相切
则设 ， 有且仅有3个零点.
，
因 ，
故当 ， ， 在区间 上单调增，
当 ， ， 在区间 上单调减，
当 ， ， 在区间 上单调增，
故 有且仅有3个零点时， ， ，
由 得
由 得 ，
要证 成立，
只需证 成立，
即证 ，因 ，故只需证 ，
因 ，所以 ，
故只需证 ，
因 ，故当 时， 在 单调递增，
因 ，
所以 ，即证.
故当 时， .
15．（2024·高三·北京·开学考试）已知 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)设 ，求 的单调区间；
(3)求证：当 时， .
【解析】（1）当 时， ，
故 在 处的切线斜率为 ，而 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意得 ，则 ，
令 ，即 ，
令 ，即 ，
时，单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
（3）证明：由（2）可知，当 时， 在 上单调递增，而 ，
即 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，而 ，则 ，即 ，而 ，
故 ，即 .
16．（2024·高三·全国·专题练习）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明： .
【解析】（1）函数 ，则 ，
令 ，解得： ，且当 时， ， 时，
因此： 的极小值为 ，无极大值.
（2）
令 ，则 ，
注意到： ，若要 ，必须要求 ，即 ，亦即
另一方面：当 时，因为 单调递增，则当 时，
恒成立，所以 在 时单调递增，故 ；故实数 的取值范围为： ；
（3）构造函数 ， ， ，
， ， ， 在 上是单调递增的；
故 即：
另一方面，构造函数 ，
，
在 上是单调递减的
故 即：
综上， .
17．（2024·高一·湖南·阶段练习）设 是有序实数对构成的非空集， 是实数集，如果对于集合 中的任
意一个有序实数对 ，按照某种确定的关系 ，在 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称
为从集合 到集合 的一个二元函数，记作 ，其中 称为二元函数 的定
义域.(1)已知 ，若 ，求
(2)非零向量 ，若对任意的 ，记 ，都有 ，则称
在 上沿 方向单调递增.已知 .请问 在 上沿向量 方向
单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有 ，
② ，使得 .
那么，我们称 是二元函数 的最小值.求
的最大值.
【解析】（1）由已知有 ，
则 ；
（2） ，
，
又 ，
，
故 在 上沿向量 方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道 的最大值的含义，
，其中 ，
（或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当 时取等号.）
故 ，当 时取等号，（或当 时取等号），
又 ，根据对勾函数单调性易知当 或2时，函数 取最大值为 .18．（2024·高三·浙江湖州·期中）设 是定义在 上的函数，若存在区间 和 ，使得
在 上严格减，在 上严格增，则称 为“含谷函数”， 为“谷点”， 称
为 的一个“含谷区间”.
(1)已知实数 ， 是含谷函数，且 是它的一个含谷区间，求 的取值范围；
(2)设 ， .设函数 是含谷函数， 是它的一个含谷区
间，并记 的最大值为 .若 ，且 ，求 的最小值.
【解析】（1）由题意可知函数 在区间 内先减后增，且存在谷点，
令 ，所以 ，
设 ，
所以 ，由 可知 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
若满足谷点，则有 ，解得 ，
故m的取值范围是 .
（2）因为 ，
所以 ，
若 恒成立，
则函数 在 时严格增，在 时严格减，不是含谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程 有两个相异实根，即 ，
设两根为 且 ，
因为 ，所以函数 在区间 上不为严格增，
但是当 时， 为严格增，
所以 在区间 上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即 ，
同理，因为 ，所以 ，
因此， 在区间 和 上严格增，在区间 和 上严格减，
从而函数 的含谷区间 必满足 ，即 ，
因为 ， ，
由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
因此 的最小值为 ，当 时成立.
19．（2024·高三·山西晋中·阶段练习）设函数 ，a，b， ， 为 的导函
数．
（1）若 ， ，且 和 的零点均在集合 中，求 的极小值；
（2）若 ， ， ，且 的极大值为M，比较M与 大小关系，并说明理由？
【解析】（1）由 ，可得 ，
则 ．
令 ，得 或 ．
因为 ，都在集合 中，且 ，
所以 ， ， ．
此时 ， ．
令 ，得 或 ，
列表如下：
x 1
0 0
极大值 极小值
所以 的极小值为 ．
（2）因为 ， ，所以 ，可得 ．
因为 ，所以 ，
则 有2个不同的零点，设为 ， ．
由 ，解得 ， ．
列表如下：
x
0 0
极大值 极小值
所以 的极大值 ．
．
因此 ．
20．（2024·高三·浙江杭州·期中）已知实数a≠0，设函数 ．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意 均有 ，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．
【解析】（1）由题意，当 时， ，定义域为 ，
∴ ，
①令 ，即 ，解得 ；
②令 ，即 ，解得 ．
∴函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）令 ，
对任意的 ， 恒成立，
∴ ， 得 ，
下证当 时， 恒成立，
先证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，显然成立，
∴ ，
，
当 时， ， ，
∴ 当 时恒成立，
∴函数 在 上单调递减，
∴当 时， 恒成立．
21．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知实数 ，设函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围.
(注： 为自然对数的底数.)
【解析】(1)当 时， ，则
当 时， ，故 的单调递增区间为 ；
当 时， ，故 的单调递减区间为
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为(2) ，即 . (*)
法一：令 ，得 ，则 .
当 时，不等式(*)显然成立，当 时，两边取对数，即 恒成立
令函数 ，即 在 恒成立.
，得
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
因此
令函数 ，其中 ，令 ，得 ，
故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
又 ，
当 时， 恒成立，因此 恒成立，
综上知，当 时，对任意的 ，均有 成立.
法二：令 ，得 ，则 .
等价于
令 ，
当 ，得 ， 在 单调递增；
当 ，得 ， 在 单调递减.因此 . 故 ，等价于 .
令 ，则 ， 在 单调递增，
，得 ，
故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，又
，
综上所述，当 时， 成立，即 成立.
22．（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知实数 ，设函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)对任意 均有 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ．
，
令 即 ，解得 或 (舍去)，
所以当 时， ，当 时， ，
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）由 ，得 ．
当 时， 等价于 ．
令 ，则 ．
设 ，
则 ．
（i）当 时， ，则
．记 ，则
．
故
1
0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以， ．
因此， ．
（ii）当 时， ．
令 ，则 ，
（因为 ，
而 ）
故 在 上单调递增，所以 ．
又 ， ，得由（i）得， ．
所以 ．
因此 ．
由（i）（ii）知对任意 ， ，
即对任意 ，均有 ．
综上所述，所求a的取值范围是 ．
23．（2024·福建泉州·二模）已知函数 ， ．
（1）若 ， ，求实数 的值．
（2）若 ， ，求正实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意，得 ， ，
由 ， …①，得 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 单调递增，
又 ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，当且仅当 时等号成立．
故方程①有且仅有唯一解 ，实数 的值为0．
（2）解法一：令 （ ），
则 ，
所以当 时， ， 单调递增;
当 时， ， 单调递减;
故
．令 （ ），
则 ．
（i）若 时， ， 在 单调递增，
所以 ，满足题意．
（ii）若 时， ，满足题意．
（iii）若 时， ， 在 单调递减，
所以 ．不满足题意．
综上述： ．
解法二：先证明不等式， ， ， …（*）．
令 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ．
变形得， ，所以 时， ，
所以当 时， .
又由上式得，当 时， ， ， .
因此不等式（*）均成立．
令 （ ），
则 ，
（i）若 时，当 时， ， 单调递增;
当 时， ， 单调递减;
故
．
（ii）若 时， ， 在 单调递增，
所以 ．
因此，①当 时，此时 ， ， ，
则需由（*）知， ，（当且仅当 时等号成立），所以 ．
②当 时，此时 ， ，
则当 时，
（由（*）知）；
当 时， （由（*）知）．故对于任意 ， ．
综上述： ．
24．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数 ，
(1)当 为何值时，曲线 在 处的切线与 轴垂直；
(2)讨论 的单调性；
(3)当 时，试证明 ．
【解析】（1） ，则 ，
曲线 在 处的切线与 轴垂直，则 ，解得 .
（2） .
当 时， ， ，则 在 上单调递增；
当 时，由 ，可得 ，由 ，可得 .
所以， 在 上单调递增，在 单调递减.
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 单调递减.
（3）证明：由（2）知，当 时， ，
则 ，
令 ，设 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，所以， ，所以， ，即 ，故 .
