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专题03 三角函数的图象与性质
（零点或根的问题）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................1
题型一：已知根（零点）的个数求参数.....................1
题型二：零点（根）的代数和问题.........................4
三、专项训练..............................................7
一、必备秘籍
实根问题，换元法令
将函数
化简为
，
在利用正弦函数
的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
题型一：已知根（零点）的个数求参数
1．（23-24 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
，将函数
向右平移
个单位得到的图像关于
轴对称且当
时，
取得最大值.
(1)求函数
的解析式：
1
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(2)将函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，若
，且
，求
的值.
(3)方程
在
上有4 个不相等的实数根，求实数
的取值范
围.
2．（23-24 高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数
，其中
，
，
.
(1)求函数
的最小正周期和对称轴；
(2)求函数
在
上的单调递减区间；
(3)已知函数
在
上存在零点，求实数
的取值范围.
3．（23-24 高一下·广东中山·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当
时，求函数
的单调递增区间；
(3)将函数
的图象向左平移
个单位后，所得图象对应的函数为
.若关于
的方程
在区间
上有两个不相等的实根，求实数
的取值范围.
2
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4．（23-24 高一下·河北张家口·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的最大值及取最大值时x 的取值集合；
(2)求函数
的单调递增区间；
(3)已知函数
在
上存在零点，求实数a 的取值范围．
5．（23-24 高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)若
，求
的最值及取最值时
的值；
(3)若函数
在
内有且只有一个零点，求实数
的取值范围．
6．（2024·上海金山·二模）已知函数
，记
，
，
，
.
(1)若函数
的最小正周期为
，当
时，求
和
的值；
(2)若
，
，函数
有零点，求实数
的取值范围.
3
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题型二：零点（根）的代数和问题
1．（23-24 高一下·湖北·阶段练习）函数
（
，
，
）的
部分图像如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调递增区间；
(3)将函数
的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图像，若
时，
的图像与直线
恰有三个公共点，记三个公
共点的横坐标分别为
，
，
且
，求
的值.
2．（23-24 高一下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两对
称轴间的距离为
．
(1)当
时，求
的单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标
4
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变），得到函数
的图象，当
时，求函数
的值域．
(3)对于第（2）问中的函数
，记方程
在
上的根从小到依次为
，
，……，
，试确定
的值，并求
的值．
3．（23-24 高一下·江西抚州·阶段练习）函数
的部
分图象如图所示，
(1)求函数
的解析式和单调递增区间；
(2)将函数
的图象上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图象，若
时，
的图象与直线
恰有三个公共点，记三个公共
点的横坐标分别为
且
，求
的值
4．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式及其单调递增区间；
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(2)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐
标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.若方程
在
上有三个不相等的实数根
，求
的值.
5．（23-24 高一下·重庆·阶段练习）已知函数
，把函数
的图像先向右平移
个单位长度，再向下平移个单位，得到函数
的图像.
(1)求
的单调递增区间及对称轴方程；
(2)当
时，若方程
恰好有两个不同的根
，求
的取值范围及
的值.
6．（23-24 高一下·江西·阶段练习）函数
（
，
，
）的
部分图象如图.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍，再将所得图象向右平移
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个单位长度，得到函数
的图象.已知函数
若函数
的零点从左到右依次为
，
，…，
，求
的值，并求
的
值.
三、专项训练
1．（23-24 高一下·河南·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，
的最小值为
，求
的对称中心；
(2)已知
，函数
图象向右平移
个单位得到函数
的图象，
是
的一个
零点，若函数
在
（
且
）上恰好有12 个零点，求
的最小值．
2．（23-24 高一下·四川内江·阶段练习）已知函数
．
(1)求
的周期和对称中心；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变
为原来的2 倍后所得到的图象对应的函数是
，求
在
上的
零点个数．
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3．（23-24 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数
，若
的图象向左平
移
个单位得到
.
(1)求不等式
的解集；
(2)若函数
的最大值为9，求
的值；
(3)若
，方程
在
内有一个解，求实数
的取值范围.
4．（23-24 高一下·广东江门·阶段练习）已知函数
的图
象相邻对称轴之间的距离是
，若将
的图象向右移
个单位，所得函数
为奇函
数．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
的零点为
，求
；
(3)若对任意
，
有解，求a 的取值范围．
5．（23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某同学用“五点法”画函数
（
，
，
）在某一个周期内的图象时，列表并填入了
部分数据，如下表：
0
0
2
0
0
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(1)根据以上表格中的数据求函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象．当
时，关于
的方程
恰有两个
实数根，求实数
的取值范围．
6．（23-24 高一下·四川绵阳·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，若关于
的方程
在
上恰有一解，求实数
的取值范围．
7．（23-24 高一下·安徽·阶段练习）给出以下三个条件：①直线
，
是函数
图象的任意两条对称轴，且
的最小值为
，②
，③对任意的
，
．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数
，
，______．
(1)求
的表达式；
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(2)将函数
的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若关于
的方程
在区间
上有
且只有一个实数解，求实数
的取值范围．
8．（23-24 高一上·山西·期末）如图，已知函数
的图象与
轴相交于点
，图象的一个最高点为
．
(1)求
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，求函数
的所有零点之和．
9．（23-24 高一上·云南德宏·期末）函数
（
，
，
）的
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部分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标
不变），得到函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等
实根
，
，求实数
的取值范围，并求
的值．
10．（23-24 高一上·安徽·期末）已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两对
称轴间的距离为
.
(1)求
的最小值.
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
倍（纵坐标不
变），得到函数
的图象，记方程
在
上的根从小到依次为
试确定
的值，并求
的值.
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