文档文本内容
重难点专训05 导数中的“距离”问题
题
解
方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题
点
的距离
型一：
与曲线
....................................................................................................................................2
题
的距离
型二：直线与曲线
................................................................................................................................5
题
的距离
型三：曲线与曲线
................................................................................................................................6
题
的距离
型四：曲线与圆
....................................................................................................................................9
题
距离
型五：水平
..............................................................................................................................................13
题
距离
型六：竖直
..............................................................................................................................................15
题
数
的距离
型七：与反函
有关
..........................................................................................................................18
重难专题分层过关练..........................................................................................................................21
巩固过关...............................................................................................................................................................21
创新提升...............................................................................................................................................................26
一、核心解题思想
利用数形结合与化归转化思想，将距离问题转化为函数最值问题，通过导数分析函数单调性，进而求
解距离的极值或最值。关键在于构造含距离的可导函数，借助导数的几何意义（如切线斜率）简化计算。
二、常见题型与方法步骤
题型1：曲线到直线的距离最值
适用场景：求曲线上动点到定直线的最短（长）距离。 核心方法：平行切线法转化距离表达式：
（1 ）设曲线上任意一点为
，根据点到直线距离公式，构造距离函数
。
（2）简化计算：因距离非负，可构造距离平方函数
，可避免根号求导。
（3）求切点坐标：令曲线在该点的切线斜率等于直线斜率（即
，解得切点横坐标
。计
算最值：
（4）将切点
代入距离公式，得最小（大）距离。
题型2：两点间距离最值
适用场景：两动点分别在两条曲线（或直线与曲线）上，求距离最值。
分情况处理：单曲线内两点：设两点坐标
，构造距离函数
，求导分析单调性。
两不同曲线：若曲线对称（如互为反函数，关于
对称），转化为单曲线到对称轴距离的2 倍。
含参数方程曲线：若曲线为参数形式
，则距离函数为参数的函数，直接对求导
找极值点。
题型3：隐函数与距离问题
适用场景：曲线由隐函数
确定，求动点到直线/点的距离最值。
关键步骤：用隐函数求导法（两边对
求导）得切线斜率
。结合题型1 或2 的方法，通过斜率关系
找切点，计算距离。
题型一：点
的距离
与曲线
典例1-1．设点
，P 为曲线
上动点，若点A，P 间距离的最小值为
，则实数t 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例1-2．若点
与曲线
上点
距离最小值为
，则实数为 .
变式1-1．已知二次函数
，定点
，求函数图象上动点
到定点
的最小距离．
变式1-2．函数
的最大值为
，
(1)求
的值．
(2)
，P 为
上的动点，
到P 的最小距离
，求的取值范围．
题型二：
的距离
直线与曲线
典例2-1．设点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的最小距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2-2．点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的最小距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．设点
是曲线
上的任意一点，则
到直线
的最小距离是 ．
变式2-2．设点
是曲线
上任意一点，且
到直线
的最小距离为
，若
，且有
，则
=（ ）
A．2
B．
C．
D．3
题型三：
的距离
曲线与曲线
典例3-1．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
典例3-2．记曲线
关于直线
的对称曲线为
，则
上任意一点与
上任意一
点之间距离的最小值为 ．
变式3-1．实数
满足：
，则
的最小值为
变式3-2．如图所示，动点P，Q 分别在函数
，
上运动，则
的最小值为
．
题型四：
的距离
曲线与圆
典例4-1．在同一平面直角坐标系中，
分别是函数
和函数
图
象上的动点，若对任意
，有
恒成立，则实数
的最大值为 .
典例4-2．对于平面曲线S 上任意一点P 和曲线T 上任意一点Q，称
的最小值为曲线S 与曲线T 的距
离.已知曲线
和曲线
，则曲线S 与曲线T 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．2
变式4-1．已知
且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．8
变式4-2．已知
为函数
图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线段
长
度的最小值为 ．
题型五：
距离
水平
典例5-1．已知直线
分别与曲线
和曲线
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
典例5-2．已知函数
与直线
交于
，
两点，则
所在的区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（多选）若直线
与两个函数
的图象分别交于点
，则（ ）
A．
取得最小值时，
B．
取得最大值时，
C．
的最小值在区间
内
D．
的最大值在区间
内
变式5-2．已知函数
，若直线
与
和
的图象分别交于点
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型六：
距离
竖直
典例6-1．设函数
，
，直线
与
、
的图像分别交于
点
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例6-2．已知
为坐标原点，直线
与函数
的图象分别交于
两点，
则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．已知
，
，与y 轴平行的直线l 与
和
的图象分别交于A，B 两
点，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
变式6-2．已知O 为坐标原点，直线
与函数
的图象分别交于M，N 两点，
则
面积的最大值为 ．
题型七：
数
的距离
与反函
有关
典例7-1．已知直线
与函数
，
的图象分别交于
，
两点，则
取最小值时，
，最小值为 ．
典例7-2．已知
，点P 在曲线
上，点Q 在曲线
上，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-1．已知点
，定义
为
的镜像距离．若点
“
”
在
曲线
上，且
的最小值为2，则实数
的值为 .
变式7-2．已知点
，
，定义
为
的镜像距离，若点
“
”
在曲线
上，则
的镜像距离的最小值为
“
”
.
巩固过关
1．已知
是函数
图象上的点，则
到直线
的最小距离为 ．
2．已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线段
长度的最
小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．若
，
分别是函数
与圆
上的点，则
的最小值为 ．
4．已知直线
分别与函数
和
的图象交于点A，B，则
的最小值为 .
5．函数
，
的图象与直线
分别交于
，
两点，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．
C．3
D．2
6．已知直线
与曲线
，
分别交于点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
7．已知函数
，直线
，点
是曲线
上任意一点，点
是直
线上任意一点.设点
间的距离为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
8．已知
是函数
图象上任意一点．若点
的坐标
满足：
，则
的最小
值为 ．
9．已知
，对于两点
，
称
为
，
间的镜
“
像距离，点
”
，
都在曲线
上，且
的最小值是
，则a 的值为 .
创新提升
1．在同一平面直角坐标系中，P，Q 分别是函数
和
图象上的动点，若
对任意
，有
恒成立，则实数m 的最大值为 ．
2．存在实数x，使得
成立.则
的最小值为 .
3．设
，
，则
的最小值为 ．
4．曲线
，过直线
上的动点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，则原点
到直线
的距离
的最大值为 ．
