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同角三角函数的基本关系与诱导公式
课前必备知识
课标要求
1.理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．2.借助单位圆的
对称性，利用定义推导诱导公式.3.能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求
值．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系：__sin
2 α ＋
cos
2 α ＝
1 __．
商数关系：__tan
α ＝
__
．
2．诱导公式
公式一：(其中k∈Z)
sin (2kπ＋α)＝__sin_α__，cos (2kπ＋α)＝__cos_α__，tan (2kπ＋α)＝__tan_α__．
公式二：
sin (π＋α)＝__－
sin
_α__，cos (π＋α)＝__－
cos
_α__，tan (π＋α)＝__tan_α__．
公式三：
sin (－α)＝__－
sin
_α__，cos (－α)＝__cos_α__，tan (－α)＝__－
tan
_α__．
公式四：
sin (π－α)＝__sin_α__，cos (π－α)＝__－
cos
_α__，tan (π－α)＝__－
tan
_α__．
公式五：
sin (－α)＝__cos_α__，cos (－α)＝__sin_α__．
公式六：
sin (＋α)＝__cos_α__，cos (＋α)＝__－
sin
_α__．
常用结论
1．同角三角函数关系的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α.
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α＝2sin 2α.
2．诱导公式的记忆
(1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α 的三角函数等于α 的同名三角函数值，前面加上一
个把α 看成锐角时原函数值的符号．
(2)±α，±α 的正弦(余弦)函数值等于α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α 看成锐
角时原函数值的符号．
可利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．
课前训练
1．(教材母题必修习题5.2T6)已知角α (
∈－，0)，cos α＝，则tan α＝( )
A．－
B．－
C．
D．－
2．若cos (＋x)＝，则sin (－x)＝( )
A． B．－
C． D．－
3．sin 300°cos 600°＝( )
A．
B．
C．－
D．－
4．(2025·辽宁三模)已知tan α＝，则＝________．
5．(教材母题必修习题5.2T17)若＝，则＝________．
课堂核心考点
考点1 同角三角关系的应用
【例1】 (1)(教材母题必修习题5.2T15 改编)已知tan α＝2，则＝________；＋＝
________.
(2)已知A 为三角形的内角，且sin A＋cos A＝，则tan A＝( )
A．－
B．－
C． D．
利用sin2α＋cos2α＝1 可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用＝tan α 可以实现角α 的
弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对
于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos
α，可以知一求二．所求式是关于sin α，cos α 的齐次式时，分子分母同除以cos α，可化
成tan α 的函数式求值．
变式探究
1．已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________．
2．若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝( )
A． B．
C． D．
考点2 诱导公式的应用
【例2】(1)计算：sin (－1395°)cos 1110°＋cos (－1020°)sin 750°.
(2)已知f(α)＝(sin α≠0 且1＋2sin α≠0)，则f(－)＝________.
(1)应用诱导公式时，需要准确记忆和运用诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象
限”是关键．
(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其
一般步骤是“去负—脱周—化锐”．
变式探究
3．(多选)已知sin (＋α)＝，则下列结论正确的是( )
A．cos (＋α)＝
B．cos (－α)＝
C．sin (＋α)＝
D．cos (－α)＝－
4．已知角x 的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，角x 的终边经过点P(3，
4).则tan (－6π＋α)＝__________；·sin (α－2π)·cos (2π＋α)＝__________．
考点3 诱导公式与同角关系的综合应用
【例3】(1)已知cos (＋α)＝，则cos (－α)＝________.
(2)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°＝( )
A． B．－
C． D．－
(3)(多选)已知锐角三角形ABC，则下列说法正确的是( )
A．sin A＋sin B＋sin C<cos A＋cos B＋cos C
B．tan A＋tan B＋tan C>0
C．sin A＝，tan B＝3，则A<B
D．cos A＋cos B<
1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联
系，灵活使用公式进行变形．
2．注意角的范围对三角函数值符号的影响．
变式探究
5．已知α 为锐角，且2tan (π－α)－3cos (＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，
则sin α＝( )
A．
B．
C．
D．
6．(2025·江苏南通期末)已知x [0
∈
，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝( )
A．3
B．－3
C．－
D．2
