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专题04 三角函数
命题解读
考向
考查统计
高考对三角函数的考查，基础方面是
掌握三角函数的定义、同角三角函数
关系式和诱导公式。重点是三角恒等
变换和三角函数的图像、周期性、单
调性、奇偶性、对称性、最值等。三
角恒等变换位于三角函数与数学变换
的结合点上，高考会侧重综合推理能
力和运算能力的考查，体现三角恒等
变换的工具性作用，以及会有一些它
们在数学中的应用。这需要同学熟练
运用公式，进一步提高运用联系转化
的观点去处理问题的自觉性，体会一
般与特殊的思想、换元的思想、方程
的思想等数学思想在三角恒等变换中
的作用。
三角函数的图像与性质
2022·新高考Ⅰ卷，6
2023·新高考Ⅰ卷，15
2024·新高考Ⅰ卷，7
2022·新高考Ⅱ卷，9
2023·新高考Ⅱ卷，16
2024·新高考Ⅱ卷，9
三角恒等变换
2023·新高考Ⅰ卷，8
2024·新高考Ⅰ卷，4
2022·新高考Ⅱ卷，6
2023·新高考Ⅱ卷，7
2024·新高考Ⅱ卷，13
命题分析
2024 年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的
三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，
结合了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查
应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式
进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025 年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差
公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。
试题精讲
一、单选题
1．（2024 新高考Ⅰ卷·4）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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2．（2024 新高考Ⅰ卷·7）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
二、多选题
3．（2024 新高考Ⅱ卷·9）对于函数
和
，下列说法正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图像有相同的对称轴
三、填空题
4．（2024 新高考Ⅱ卷·13）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，
则
.
一、单选题
1．（2022 新高考Ⅰ卷·6）记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
2．（2023 新高考Ⅰ卷·8）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．（2022 新高考Ⅱ卷·6）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 新高考Ⅱ卷·7）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2
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5．（2022 新高考Ⅱ卷·9）已知函数
的图像关于点
中心对称，则（ ）
A．
在区间
单调递减
B．
在区间
有两个极值点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．直线
是曲线
的切线
三、填空题
6．（2023 新高考Ⅰ卷·15）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值
范围是 ．
7．（2023 新高考Ⅱ卷·16）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个
交点，若
，则
．
一、三角函数基本概念
1、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧
度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：180°= π rad，
1°= π
180 rad
，
1rad=180°
π
．
（3）扇形的弧长公式：l=|α|⋅r ，扇形的面积公式：
S=1
2 lr =1
2|α|⋅r2
．
2、任意角的三角函数
3
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（1）定义：任意角α 的终边与单位圆交于点P(x ，y)时，则sinα=y ，cosα=x ，
tanα= y
x ( x≠0)
．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x ，y)是角α 终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O
的距离为r ，则
sinα= y
r ，
cosα= x
r ，
tanα= y
x ( x≠0)
三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象限
符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sinα
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tan α
{α| α≠kπ+ π
2 ，k ∈Z}
＋
－
＋
－
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1．
（2）商数关系：
sinα
cosα =tanα(α≠π
2 +kπ )
；
三、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k ∈Z)
π +α
−α
π−α
π
2 −α
π
2 +α
正弦
sinα
−sinα
−sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
−cosα
cosα
−cosα
sinα
−sinα
正切
tan α
tan α
−tanα
−tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作
；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断
所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当
为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当
为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
四、两角和与差的正余弦与正切
①
；
②
；
③
；
4
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五、二倍角公式
①
；
②
；
③
；
六、降次（幂）公式
知识点四：半角公式
七、辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中
）
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
5
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注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是
；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是
；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离
；
九、
与
的图像与性质
（1）最小正周期：
．
（2）定义域与值域：
，
的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设
．
①对于
，
②对于
，
（4）对称轴与对称中心．
假设
．
①对于
，
②对于
，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与
轴交点的
位置．
（5）单调性．
假设
．
①对于
，
6
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②对于
，
（6）平移与伸缩
由函数
的图像变换为函数
的图像的步骤；
方法一：
．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺
负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二：
．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期
后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量
而言
的，即图像变换要看“变量
”发生多大变化，而不是“角
”变化多少．
【三角函数常用结论】
1、利用sin2α+cos2α=1可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用
sinα
cosα =tanα
可以实现角α 的弦切互
化．
2、“sinα+cosα ，sinαcosα ，sinα−cosα ”方程思想知一求二．
7
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3、两角和与差正切公式变形
tanα±tan β=tan(α±β)(1∓tanα tan β)；
tanα⋅tan β=1−tanα+tan β
tan(α+β)
=tanα−tan β
tan(α−β)
−1
．
4、降幂公式与升幂公式
sin2α=1−cos2α
2
；cos2α=1+cos2α
2
；sinα cosα=1
2 sin2α
；
1+cos2α=2cos
2α ；1−cos2α=2sin
2α ；1+sin2α=(sinα+cosα)
2 ；1−sin2α=(sinα−cosα)
2
．
5、其他常用变式
sin2α= 2sinα cosα
sin2α+cos2α
= 2tanα
1+tan2α
；cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
1+tan2α
；tan α
2 =sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
．
6、拆分角问题：①
；
；②
；③
；
④
；⑤
．
注意：特殊的角也看成已知角，如
．
7、关于三角函数对称的几个重要结论
（1）函数
的对称轴为
，对称中心为
；
（2）函数
的对称轴为
，对称中心为
；
（3）函数
函数无对称轴，对称中心为
；
（4）求函数
的对称轴的方法；令
，得
；对称中心的求取方法；令
，得
，即对称中心为
．
（5）求函数
的对称轴的方法；令
得
，即对称
中心为
8
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一、单选题
1．（2024·江苏南通·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山东济南·三模）若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
3．（2024·重庆·三模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·浙江·三模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河北保定·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·湖北荆州·三模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山东青岛·三模）为了得到
的图象，只要把
的图象上所有的点
（ ）
A．向右平行移动
个单位长度
B．向左平行移动
个单位长度
C．向右平行移动
个单位长度
D．向左平行移动
个单位长度
8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数
，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数
的图象关于点
中心对称
9
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（2）函数
的图象关于直线
对称
（3）函数
在区间
内有4 个零点
（4）函数
在区间
上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（2024·河北石家庄·三模）已知角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
10．（2024·重庆·三模）已知函数
的部分图像如图所示，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·安徽合肥·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·江西九江·三模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是
的一个单调增区间
B．
是
的一个对称中心
10
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C．
在
上值域为
D．将
的图象向右平移
个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为
14．（2024·黑龙江·三模）已知函数
在区间
内恰有3 条对称轴，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024·河北·三模）已知函数
在区间
内没有零点，则
周期的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
16．（2024·山东威海·二模）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．将
图象上的所有点向左平移
个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称
C．
在
上有两个零点
D．
17．（2024·云南昆明·三模）已知函数
的最小正周期大于
，若曲线
关于
点
中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是函数
的一个极值点
D．
在
单调递增
18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为2
11
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B．函数
的图象关于直线
对称
C．不等式
的解集为
D．若
在区间
上单调递增，则
的取值范围是
19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
C．函数
在
上单调递增
D．方程
的解为
，
20．（2024·河南·三模）已知函数
的最小正周期为
，则下列说法正确
的有（ ）
A．
的图象可由
的图象平移得到
B．
在
上单调递增
C．
图象的一个对称中心为
D．
图象的一条对称轴为直线
21．（2024·广西钦州·三模）已知函数
，则下列命题正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
12
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B．
的图象关于直线
对称
C．若
，则
D．将
的图象往右平移1 个单位长度后可以得到函数
的图象
22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数；
B．
是周期为
的周期函数；
C．
在
上单调递增；
D．
的最小值为
.
23．（2024·安徽芜湖·三模）已知
，下面结论正确的是（ ）
A．
时，
在
上单调递增
B．若
，且
的最小值为
，则
C．若
在
上恰有7 个零点，则
的取值范围是
D．存在
，使得
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称
三、填空题
24．（2024·全国·二模）已知
，则
.
25．（2024·安徽合肥·三模）已知
，则
.
26．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
，则
．
27．（2024·黑龙江·三模）已知
，则
.
28．（2024·江西宜春·三模）已知
，且
，则
．
29．（2024·北京·三模）已知函数
，若
是偶函数，则
；若圆面
恰好覆盖
图象的最高点或最低点共3 个，则
的取值范围是 .
30．（2024·河北衡水·三模）已知
是函数
的一条对称轴，
在区间
内恰好存在3 个对称中心，则的取值范围为 ．
13
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31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数
在区间
上只有一个零
点和两个最大值点，则
的取值范围是 ．
32．（2024·江西九江·三模）已知函数
在区间
上有且仅有三个零点，则
的取值范围是 .
33．（2024·湖北荆州·三模）设
，
，
，若满足条件的
与
存在
且唯一，则
，
.
14
