第 11 讲 解三角形中的相关定理公式综合
（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为10-12分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解
1. 海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:2. 三倍角公式
，
3. 射影定理
a=bcosC+ccosB
，
b=acosC+ccosA
，
c=acosB+bcosA
4. 角平分线定理
AB AC
=
1）在
ΔABC
中，
AD 为∠BAC
的角平分线，则有
BD CD
（
（2）
（3） （库斯顿定理）
（4）
5. 张角定理
sinβ sinα sin(α+β)
+ =
AB AC AD
6. 倍角定理
在 中,三个内角 的对边分别为 ,
(1)如果 ,则有:
(2)如果 ,则有:
(3)如果 ,则有:
倍角定理的逆运用
在 中,三个内角A、B、C的对边分别为 ,
(1)如果 ,则有: 。
(2)如果 ,则有: 。
(3)如果 ,则有: 。
7. 中线长定理
为 的中线,则中线定理:证明:
在 和 中,用余弦定理有:
8. 三角恒等式
在 中，
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ ；
⑩ 。
考点一、海伦 - 秦九韶公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设 ，则该三角形的面积 ，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若 的三边长分别为5，6，7，
则该三角形的面积为 ．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求
积”，设 的三个内角 所对的边分别为 ， ， ，面积为S，则“三斜求积”公式为
，若 ， ，则用“三斜求积”公式求得
的面积为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·全国·高三专题练习）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式
和海伦公式 ，其中 ，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数
学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则
，其中 ， 为一组对角和的一半.已知四边形四
条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21 B． C． D．
1．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求
积”公式，设 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为
.在 中，若 ， ，则用“三斜求积”公式
求得 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三
边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 、 、 ，则面积 可由公式
求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现
有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，
提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在 中，设 分别为 的内角 的对边，S
表示 的面积，其公式为 .若 ， ， ，则
.
考点二、三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，且
为锐角，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1. 已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 的最小值为
A.-1 B. C.3 D.
考点三、射影定理及其应用
1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若
，则 ．
1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知在 中，角 的对边分别为 ，
且满足 ， ，则 的面积为 .
考点四、角平分线定理及其应用1．（2023·全国·高三专题练习） 中，边 内上有一点 ，证明： 是 的角平分线的充要条
△
件是 ．
2．（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在 中，角A的角平分线交 于点D，且 ，
则 等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
若 ， ， ，则角A的角平分线 .
4．（2023春·安徽滁州·高一统考期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
1．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设 为 的外心， ， ， 的
角平分线 交 于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，且
满足 .
(1)求 ；
(2)若 在 上， 是 的角平分线，且 ，求 的最小值.
考点五、张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 .
（1）用正弦定理证明： ；
（2）若 ， ， ，求 的长.
2. 在 中,角 所对的边分别为 ,已知点 在 边上,
,则
__________1. 在 中 , 角 所 对 的 边 分 别 为 是 的 角 平 分 线 , 若
,则 的最小值为_______
考点六、倍角定理及其应用
1．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足
．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．
1．（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）已知 的三条边是连续的三个正整数，且
，则 的周长为 .
考点七、中线长定理及其应用
1．（2023春·湖北·高三统考）已知 中， ， ， ，则 边上的中线长为（ ）
A． B．8 C．7 D．6
2．（2023·江苏·高三专题练习）（多选）在 中， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． 的周长有最大值为21
B． 的平分线长的最大值为C．若 ，则 边上的中线长为
D．若 ，则该三角形有两解
1．（2023春·河南·高三联考）已知△ABC中， ，且△ABC的面积为 ，则
△ABC的边AB上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，
增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.
已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边：
(1)请用向量方法证明余弦定理 ；
(2)若 ，其中 为 边上的中线，求 的长度.
考点八、三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若
.
(1)求 ；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
1．（2023春·浙江台州·高三校考期中）在① ，② ，
③ 的面积为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；(2)若 ， 的内切圆半径为 ，求 的面积．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023春·辽宁沈阳·高三校考期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 与
平行．若 ， ，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知 分别为 的边 上的中线，设 ，
,则 ＝（ ）
A． ＋ B． ＋
C． D． ＋
3．（2016春·山东济宁·高二阶段练习）在平面几何里有射影定理：设 的两边 ， 是 点
在 上的射影，则 ．拓展到空间，在四面体 中， ⊥面 ，点 是 在面
内的射影，且 在 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（2023·江苏·高三专题练习）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 的三边是 ，它
们所对的角分别是 ，则有 ， ， ．请利
用上述知识解答下面的题：在 中，若 ，则 ．5．（2023春·江苏盐城·高三校考期中）在 中，角 所对的边分别为 ，且
，若 的面积为 ，则 边上中线长的最小值为 .
三、解答题
6．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）如图，在 中， ， 的角
平分线交 于点 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的长.
7．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长
的三个正三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 外接圆面积为 ，求 的最大值；
(3)若 ，且 的角平分线 ，求 ．
8．（2023春·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考期中）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， .
(1)求角A的大小；
(2)若 是 角平分线，求证： .
【能力提升】
1．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）在 中， 的角平分线交 边于 点.
(1)证明： .
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的长.
2．（2015·全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分 BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ,求 .3．（2023春·山东济宁·高一统考期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
．
(1)求角 的大小;
(2)若 ， 的角平分线交 于点 ，求线段 长度的最大值．
4．（2023·江苏南通·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，证明： .
5．（2023·浙江·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的取值范围．
6．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）在 中，角 所对的边分别为 ，
且 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
7．（2023·江苏盐城·统考三模）在 中, 为 的角平分线,且 .
(1)若 , ,求 的面积;
(2)若 ,求边 的取值范围.
【真题感知】
一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在 中,角 所对的边分别为 , 若 , 则
的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于D，则 ．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分 BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ,求 .
5．（全国·高考真题） 中，D是BC上的点，AD平分∠BAC， 面积是 面积的2倍．
(1)求 ；
(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长．
