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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
【知识点梳理】
1、一元二次不等式
一元二次不等式
，其中
，
是方程
的两个根，
且
（1）当
时，二次函数图象开口向上.
（2）①若
，解集为
.
②若
，解集为
.
③若
，解集为
.
(2) 当
时，二次函数图象开口向下.
①若
，解集为
②若
，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）
；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
1
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由
的解集为
，得:
的解集为
，即关于
的不等式
的解集为
．
已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不
等式
的解集为
．
2、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不等式
的解集为
．
3、已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的
不等式
的解集为
，以此类推．
4、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
5、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
6、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
7、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
．
【典型例题】
例1．（2024·全国·高三专题练习）若实数
满足不等式
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】不等式
，即
，解得
，则
的取值范围是
.
故答案为：
.
例2．（2024·全国·高三专题练习）不等式
的解集为 ．
2
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【答案】
或
【解析】根据分式不等式解法可知
等价于
，
由一元二次不等式解法可得
或
；
所以不等式
的解集为
或
.
故答案为：
或
例3．（2024·全国·高三专题练习）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：
，
当
时，可知
，对应的方程的两根为1，
，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：
.
故选：A.
例4．（2024·云南德宏·高三统考期末）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，方程
的两根为2 和3，
则
，
则
为
，其解集为
.
故选：D.
例5．（2024·广东·高三学业考试）若不等式
的解集为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
3
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【解析】由题意知
，
是方程
的两个根，且
，
则
，解得
，
所以
.
故选：D.
例6．（2024·全国·高三专题练习）关于
的一元二次方程
有两个不相等的
正实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【答案】B
【解析】根据题意可知；
，
由韦达定理可得
，解得
，
故选：B
例7．（2024·全国·高三专题练习）已知一元二次方程
的两根都在
内，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，由题意可得
，解得
.
4
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因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】结合图像易知，
不等式
的解集
，
故选：A.
例9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）若不等式
对任意实数x 均成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，不等式
对任意实数x 均成立，
即不等式
恒成立，
当
时，不等式可化为
恒成立，
当
时，
，解得
，
综上所述，
的取值范围是
.
故选：B
例10．（2024·山东滨州·高三统考期末）若不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不等式
对任意
恒成立，则
，
成立，
5
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而
，当且仅当
，即
时取等号，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
例11．（2024·全国·高三期末）若命题“
，
”为真命题，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】D
【解析】因为命题“
，
”为真命题，
若
，即
，则
，
；
若
，即
，要使得命题为真命题，则
，
即
，解得
或
，
又因为
，所以此时
；
若
，即
，则满足命题“
，
”为真命题；
综上，
，
故选:D.
例12．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于
的内接
矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长
（单位：m）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
6
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如图，过
作
于
，交
于
，易知
，即
，
则
，
．所以矩形花园的面积
，
解得
．
故选:C．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）若集合
，集合
，满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得：
，解得：
，即
；
由
得：
，
，
，
，解得：
.
故选：D.
2．（2024·全国·高三专题练习）关于
的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为不等式
的解集为
，
所以
和为方程
的两根且
，
，解得
，
7
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则不等式
可化为
，
因为
，所以
，解得
，
所以不等式的解集为：
.
故选：A
3．（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程
至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【解析】当方程没有根时，
，即
，
解得
；
当方程有根，且根都不为负根时，
，
解得
，
综上，
，
即关于x 的方程
没有一个负根时，
，
所以关于x 的方程
至少有一个负根的充要条件是
，
故选:B.
4．（2024·全国·高三专题练习）一元二次方程
有一个正根和一个负根的一个充要条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为一元二次方程
有一个正根和一负根，设两根为
和
，
所以
，解得
，故
.
故选：A.
5．（2024·全国·高三专题练习）关于
的方程
有两个不相等的实数根
且
，
那么
的取值范围是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，解得：
，
即
的取值范围为
.
故选：D.
6．（2024·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15 元，若每盏按最低售
价销售，每天能卖出45 盏，每盏售价每提高1 元，日销售量将减少3 盏，为了使这批台灯每天获得600 元
以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，得
，即
，∴
，解得
．
又每盏的最低售价为15 元，∴
．
故选：B．
7．（2024·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160 元的商品征收附加税，税率为
（即每销
售100 元征税
元），若年销售量为
万件，要使附加税不少于128 万元，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，要使附加税不少于128 万元，
则
，
整理得：
，
解得：
.
所以
的取值范围是
，
故选：A.
二、多选题
8．（2024·广东广州·仲元中学校考一模）已知关于
的不等式
的解集是
，则
（ ）
A．
9
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B．
C．
D．不等式
的解集是
或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3 是方程
的两个根，且
，
，
A：由以上可知
，故A 正确；
B：当
时，代入方程可得
，故B 正确；
C：因为
，不等式
的解集是
，故将
代入不等式左边为
，
故C 错误；
D：原不等式可变为
，且
，约分可得
，解集为
或
，故
D 正确；
故选：ABD
9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）已知不等式
的解集为
或
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
或
【答案】ABC
【解析】由不等式和解集的形式可知，
，且方程
的实数根为
或
，
那么
，所以
，
所以
，且
，故ABC 正确；
不等式
，
即
，解得:
,
10
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所以不等式的解集为
，故D 错误.
故选：ABC
10．（2024·全国·高三专题练习）对于给定实数
，关于
的一元二次不等式
的解集可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
，分类讨论
如下：
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
或
；
当
时，
；
当
时，
或
.
故选：AB.
11．（2024·广东广州·广州市培正中学校考二模）已知不等式
的解集为
，不等式
的解集为
，不等式
的解集是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由不等式
，即
，解得
，即
，
又由
，解得
，即
，
，A 正确，B 错误；
，则
是
的两根，
则
，
，C 错误，D 正确.
故选：AD
12．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）命题“
”是真命题的一个充分不必要
条件是（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，
则
对
都成立，
又
，所以
，
观察选项可得命题“
”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2024·全国·高三对口高考）已知集合
，则
．
【答案】
【解析】原不等式等价于
，化简得
，
所以，又等价于
，解得：
所以，
故答案为：
．
14．（2024·上海·高三上海市进才中学校考期末）不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】不等式
等价于
，解得
.
故解集为：
.
故答案为：
15．（2024·上海·高三开学考试）不等式
的解集是 ．
【答案】
或
【解析】由
,可得
，
即
，
解得
或
．
12
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故答案为：
或
．
16．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】由
得
，
故答案为：
.
17．（2024·全国·高三专题练习）若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【解析】原不等式可化为
对
恒成立．
（1）当
时，若不等式对
恒成立，
只需
，解得
；
（2）当
时，若该二次不等式恒成立，
只需
，解得
，
所以
；
综上：
.
故答案为：
18．（2024·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实根
，且
．则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数
，依题意，
的两个不等实根
满足
，
而函数
图象开口向上，因此
，则
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
19．（2024·全国·高三专题练习）已知方程
的两根分别在区间
，
之内，
则实数
的取值范围为 ．
【答案】
.
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【解析】方程
方程两根为
，
若要满足题意，则
，解得
，
故答案为：
.
20．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若命题“
”为假命题，则实数
m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题“
”的否定为：“
”
命题“
”为假命题等价于命题“
”为真命题；
当
时，
，成立；
当
时，结合一元二次函数的图象可得：
，解得
，
综上，实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
21．（2024·全国·高三专题练习）若命题
，
是真命题，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】已知命题
，
是真命题，
则二次函数图像
与
轴有交点，所以
，
解得
或
.
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
22．（2024·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式
在区间
上有解，则实数a 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】因为
，所以由
得
，
因为关于
的不等式
在区间
上有解，
所以只需
小于等于
的最大值，
当
时，
，
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当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
故
的最大值为1，
所以
，
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
23．（2024·全国·高三专题练习）某地每年销售木材约
万m3，每立方米的价格为
元．为了减少木
材消耗，决定按销售收入的
征收木材税，这样每年的木材销售量减少
万m3，为了既减少了木材消耗
又保证税金收入每年不少于
万元，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设按销售收入的
征收木材税时，税金收入为
万元，
则
，
令
，即
，解得
.
故答案为：
15
