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专题05 函数图像及函数与方程
【考点1 作函数图像】
【考点2 识别与辨图的常见方法】
【考点3 以函数图像为背景的问题】
【考点4 函数零点所在区间的判断】
【考点5 函数零点个数的判断】
【考点6 函数零点的应用】
【考点7 构建函数模型的实际应用】
知识点1：函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)
在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝
0 的解.
知识点2：二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断
地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零
点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的步骤
①确定零点
的初始区间
，验证
1
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②求区间
的中点
③计算
，进一步确定零点所在的区间：
若
（此时
），则
就是函数的零点；
若
（此时
），则令
；
若
（此时
），则令
.
④判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复（2）~
（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
【考点1 作函数图像】
为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线的方法之外，还要做到以下两点
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如 y=
的函数图象;
(2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,
利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
【典例1】（高一上·山西·期中）已知函数f (x)=¿，
(1)在平面直角坐标系中，画出函数f ( x)的简图；
(2)根据函数f ( x)的图象，写出函数f ( x)的单调区间；
(3)若f (t )=6，求实数t 的值．
【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)=2|x +3|+|x−3|.
(1)求f (x)≤−x +9的解集；
2
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(2)求曲线y = f (x)与直线y =12所围成的图形的面积.
【变式2】（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数f (x)=|x
2−x −2|+|x −2|．
(1)画出函数f (x)的图象；
(2)求关于x的不等式f (x)≤|x +1|的解集．
【考点2 识别与辨图的常见方法】
1.识别函数图象的常见方法:(1)利用函数的值域和定义域判断;(2)利用函数的性质,如奇偶
性、对称性、单调性等判断;(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点或者极
限思想等判断
2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对
数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等
【典例2】（24-25 高三上·重庆·开学考试）函数f (x)= xcos x
e|x|−1
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·天津·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能
是（ ）
3
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A．f (x)= x
2|x|
B．f (x)=2|x|−2
C．f (x)=2|x|−x
2
D．f (x)=e|x|−|x|
【变式2】（2025·陕西安康·模拟预测）函数f ( x)= ln( x +1)−ln x的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知函数f ( x)的部分图象如下，则f ( x)的解析式可能
为（ ）
A．sin
2 x
x
2+1
+1
B．sin x
x
2+1
+1
C．cos
2 x
x
2+1
D．cos x
x
2+1
【考点3 以函数为背景的问题】
【题型1 研究函数的性质】
4
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一般根据图象研究函数的性质有以下几方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低
点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y 轴对称,确定函数是否具有奇偶性;
三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性
【典例3】（2025 高二下·浙江·学业考试）已知函数f (x)的定义域为R，且y = f (1−x)为奇
函数，当x<1时，f (x)= x
2−4，则f (1)+ f (2)=（ ）
A．−7
B．−4
C．−3
D．4
【变式1】多选题（24-25 高一下·广东广州·期中）已知函数f (x)= x + 1
x
，则下列结论中正
确的是（ ）
A．f (x)最小值是2
B．f (x)是奇函数
C．f (x)在(0,1)上单调递减
D．f (x)在(1,+∞)上单调递增
【题型2 解不等式】
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难但其对应函数的图象可作出时，
常结合图象，利用数形结会思想求解
【典例4】（2025·河南·三模）若f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f ( x)=2
x−4，
则不等式f ( x)≥0的解集为（ ）
A．[−2,2]
B．[−2,0]∪[2,+∞)
C．[−2,0)∪[2,+ ∞)
D．(−∞,−2]∪[2,+∞)
【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知奇函数f (x)在R上单调递增，且f (2)=1，则不等式
f (x)+1<0的解集为（ ）
A．(−1,1)
B．(−2,2)
C．(−2,+∞)
D．(−∞,−2)
【变式2】（2024·山西·三模）设函数f ( x)= log2| x|−x
−2，则不等式
f ( x−2)≥f (2 x +2)的解集为（ ）
A．[−4,0]
B．[−4,0) C．[−4 ,−1)∪(−1,0]D．[−4 ,−1)∪(−1,0)
【变式3】（23-24 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数f (x)= x
3+ x +1
，若
f (1−x)+ f (2 x)>2，则x的取值范围是（ ）
5
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A．(−∞,−1)
B．(−∞,1)
C．(−1,+∞)
D．(1,+∞)
【题型3 求参数的取值范围】
当参数的不等关系不易找出时，可将不等式或方程的两边转化为方便作图的两个函数，再
根据题设条件和图象确定参数的取值范围
【典例5】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数f ( x)为定义在R 上的奇函数，且在
[0,+ ∞)上单调递增，满足f (log2a)−f (log 1
2
a)≤2f (3)，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．[8,+ ∞)
B．[
1
8 ,8]
C．(0, 1
8)
D．(0,8]
【变式1】（2023·全国·模拟预测）若函数f ( x)为偶函数，且当x ≥0时，
f ( x)= x
3+2 x
2+3．若f (−9)≥f (a
2−2a+1)，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−2√3,4 ]
B．[−4,2]
C．[−2,4 ]
D．[−4,2√3]
【变式2】（2025·河南·三模）已知f (x)为定义在(−4,4)上的奇函数，若f (x)在[0,4)上单调
递减，则满足不等式f (a+1)+ f (1−a
2)>0的实数a 的取值范围是（ ）
A．(−√5,+∞)
B．(−√5,2)
C．(−√5,−1)∪(2,√5)
D．
(−√5,−1)∪(1,√5)
【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数f (x)=2
x
2+ax−3在(1,+∞)上单调，则a的取值
范围是（ ）
A．[−2,+∞)
B．[−1,+ ∞)
C．(−∞,−2]
D．(−∞,−1]
【变式4】（2025·广东茂名·一模）已知函数f (x)=√x
2−6 x +5在区间(a,+ ∞)上单调递增，
则a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,3]
C．[3,+∞)
D．[5,+∞)
6
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【考点4 函数零点所在区间的判断】
判断函数零点所在区间的方法:
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在
所给区间上的交点的横坐标来判断.
【典例6】（2025·天津·高考真题）函数f ( x)=0.3
x−√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
【变式1】（2025·河北沧州·二模）函数f (x)=2
x+ ln x−1
的零点所在的区间为（ ）
A．(0, 1
2)
B．(
1
2 ,1)
C．(1, 3
2)
D．(
3
2 ,2)
【变式2】（2014 高三·全国·专题练习）函数f (x)=ln(x +1)−2
x
的零点所在的区间是
（ ）
A．(0,1)
B．(3,4)
C．(2,3)
D．(1,2)
【变式3】（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）函数f (x)=ln x + x
2−e x的零点所在的区
间是（ ）
A．(
1
e ,1)
B．(1,2)
C．(2,e)
D．(e,3)
【变式4】多选题（23-24 高三上·甘肃白银·期中）函数f ( x)= 1
3 x−ln x的零点所在区间是
（ ）
A．（0,1）
B．（1,2）
C．（2,3）
D．（3,+∞）
【考点5 函数零点个数的判断】
求解函数零点个数的基本方法有:
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
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（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的
零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T 的奇函数,则必有f(
)=0.
【典例7】（2025·安徽·模拟预测）函数f (x)=(a+1)
x−a
x+ x (a>1)的零点的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．无法确定，与a的取值有关
【变式1】（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线y =2cos(2 x +π
2 )与直线y = x−1的交点个
数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式2】（2024·江西景德镇·一模）函数f ( x)= x
2−sin(3π x)的零点个数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式3】（2024·广东湛江·一模）函数f (x)=lg(x +1)−1
x
零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式4】（2024 高三·全国·专题练习）函数f (x)=2√x|cos x|−x的零点个数为 ．
【考点6 函数零点的应用】
【题型1 根据零点的个数求参数范围】
已知函数的零点范围求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建
关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求
解
【典例8】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数f (x)= x
2−acos x +2有且仅
有一个零点，则实数a的值为（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．2
D．−2
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【变式1】（2025·宁夏·一模）已知函数f ( x)= x
3+a x
2, g( x)=2a x
2−x，若函数y = f ( x)
与y = g( x)的图象有三个交点，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(2,+ ∞)
C．(−∞,−2)∪(2,+∞)
D．
(−∞,−2]∪[2,+∞)
【题型2 根据零点所在区域求参数范围】
函数零点的应用主要体现在三类问题:
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结
合思想或分离参数的方法求解。
【典例9】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数f (x)=kx −4+ x log2 x在区间[1,4)内有零点，
则实数k的取值范围为（ ）
A．[−4,1)
B．(−4,1]
C．[−1,4)
D．(−1,4]
【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数f (x)=2a x
2+3 x−1在区间(−1,1)内恰有一个零
点，则实数a 的取值集合为（ ）
A．{a|−1<a<2}
B．{a|a=−9
8
或−1<a<2}.
C．{a|−1≤a≤2}
D．{a|a=−9
8
或−1≤a≤2}.
【变式2】（2023·宁夏银川·三模）函数f (x)= log2 x + x
2+m在区间(2,4)上存在零点，则实
数m的取值范围是（ ）
A．(−∞,−18)
B．(5,+∞)
C．(5,18)
D．(−18,−5)
【题型3 复合函数的零点】
求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t 的值(t 的值可能有多个);
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(2)根据不同的t 的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x 的值,可结合函数y=g(x)与y-t 的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点
个数.
【典例10】（2025·北京海淀·三模）已知函数f (x)=¿，若函数g(x)= f (x)−|x−k|恰有2
个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．[−1,e)
B．¿
C．(−1,1]
D．(−∞,−1)∪[1,+ ∞)
【变式1】（2025·山东临沂·三模）已知函数f (x)=¿，若函数y = f (f (x))有8 个零点，则实
数a的取值范围为（ ）
A．a>1
B．a<0
C．−1<a<0
D．a<−1
【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知函数f ( x)=¿，若函数g( x)= f ( x)−f (1−m)至少
有2 个零点，则实数m 的取值范围为 ．
【变式3】（2025·山西临汾·二模）已知a>0，函数f (x)=¿，若函数F (x)= f (x)−g(x)有
三个零点，则实数a的取值范围是 .
【变式4】（2025·山西·三模）已知函数f (x)=¿有两个零点，则实数a的取值范围是
．
【变式5】（2025·河南·三模）已知函数f (x)=¿，若存在实数b，使函数y = f (x)−b恰有三
个零点，则a 的取值范围为 ．
【考点6 构建函数模型的实际应用】
构建函数模型解决实际问题的步骤:
(1)认真审题，分析理解实际问题的题意,为解题找出突破口;
(2)依题意确定变量间的关系，构建函数模型，将实际问题转化为数学问题:
(3)利用数学知识求解构建的函数模型,得出结论解决问题
【典例11】（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方
法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
M = M 0 E
ρ
ρ0，其中M 表示每一轮优化时使用的学习率，M 0表示初始学习率，E 表示
衰减系数，ρ表示训练迭代轮数，ρ0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型
的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16 时，学习率衰减为
0.48，则学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
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（参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477）
A．75
B．77
C．79
D．81
【变式1】（2025·广东·一模）随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交
通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间(如图)建立一
条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数f (x)=a
x(a>1)
的图象，且正好与直线y = x相切，而岛屿海岸线可近似看作函数
g(x)=loga(x−3)(a>1)的图象．(每单位代表十万米)
(1)试求a的值及切点坐标．
(2)已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过300km /h，试
问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由．
【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（α-因子是主要
成分），根据国家规定：服用新药后100mL 血液中α-因子含量达到20∼79 mg认定为
有效Ⅰ级，80mg 及以上认定为有效Ⅱ级，20mg 以下认定为无效．经过大量试验得知，
服用该药后一开始血液中α-因子的浓度呈线性增长，当其上升到1.2mg/ mL时，血液
中α-因子的浓度将会以每小时20 %的速度减少（函数模型如图）．
(1)请写出服用该药后血液中α-因子浓度y（单位：mg/mL）随时间x（单位：小时）变
化的关系式；
(2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中α-因子才能降至无效？（结果取整数）．
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（参考数据：lg2≈0.30,lg3≈0.48）
【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生
态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研
过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本30 x（单位：
元）满足如下关系：W (x)=¿，已知这种水果的市场售价为10 元/千克，且供不应求.
水果树单株获得的利润为f (x)（单位：元）.
(1)求f (x)的函数关系式；
(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
一、单选题
1．（23-24 高一上·山东临沂·期中）已知偶函数f ( x)在区间[0,+∞)单调递增，则满足
f (2 x−1)<f(
1
3)
的x取值范围是（ ）
A．(
1
3 , 2
3)
B．[
1
3 , 2
3)
C．(
1
2 , 2
3)
D．[
1
2 , 2
3)
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上的偶函数，f ( x)在[0,+∞)上
12
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单调递减，且f (3)=0，则不等式(2 x−5)f ( x−1)<0的解集为（ ）
A．(−∞,−2)∪(
5
2 ,4)
B．(4 ,+ ∞)
C．(−2, 5
2)∪(4 ,+∞)
D．(−∞,−2)
3．（2025·江苏扬州·三模）当x∈[0,2π]时，曲线y =sin 2 x与y =2sin(2 x−π
4 )的交
点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
4．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知A，B 两地相距150km，某人开汽车以60km /h的
速度从A 地到达B 地，在B 地停留1h后再以50km /h的速度返回A 地，把汽车离开A
地的距离x 表示为时间t 的函数，表达式是（ ）
A．x =60t
B．x =60t +50
C．x =¿
D．x =¿
5．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以
神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为L= L0 D
G
G0，其中L
表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练
迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，
衰减速度为12，且当训练选代轮数为12 时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2
以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：lg2≈0.301）（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
6．（2025·四川凉山·三模）已知函数f (x)=2sin(2 x +π
2 )在[−m,m]上有且仅有2 个零
点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．[
π
2 , 3 π
2 )
B．[
π
2 ,π)
C．[
π
4 , 3π
4 )
D．[
π
4 ,π
2 )
7．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S =ae
−kt
（a，k 为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t 分钟末未溶解糖块的质量．现将一
块质量为7 克的糖块放入到一定量的水中，在第5 分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5
克，则k =（ ）
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A．ln 2
5
B．ln3
5
C．ln2
D．ln3
二、多选题
8．多选题（2024·广东·模拟预测）设函数f (x)=(x +1)
2(x −2)，则（ ）
A．f (x)有三个零点
B．x =1是f (x)的极小值点
C．f (x)的图象关于点(0,−2)中心对称
D．当0< x<1时，f (x)>f (x
2)
三、填空题
9．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sin(2ωx +π
3 )(ω>0)在区间[0,π
6 ]内恰有3
个零点，则ω的取值范围为 .
10．（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于x的方程x
3−3 x +a=0在区间[−2,2]上有实数根，
则a的取值范围为 .
11．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿有三个零点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
12．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才
能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽
车的车速x（千米／时）满足下列关系：y = x
2
200 +mx +n（m，n是常数，x ≥0）.根
据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图，如图
所示.
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(1)求m，n的值；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 米，求该型号汽车行驶的最大速度.
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