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专题05 指数函数与对数函数（核心考点精讲精
练）
1. 近几年真题考点分布
指数函数与对数函数近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022 年全国乙（文科），第16 题,5 分
对数型函数奇偶性
求参
2022 年全国乙（理科），第16 题,5 分
指数型函数
根据极值求参
2022 年全国甲（文科），第12 题,5 分
指数、对数型函数比大小
不等式
2022 年全国甲（理科），第5 题,5 分
指数型函数图象
三角函数
2022 年全国甲（理科），第6 题,5 分
对数型函数
导函数
2023 年全国甲（文科），第8 题,5 分
指数型函数
求切线
2023 年全国乙（文科），第5 题,5 分
指数型函数奇偶性
奇偶性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考点，考查指数、对数型函数的性质、图象等；
2.和幂函数一起考查比较大小。
【备考策略】1.了解有理数指数幂的含义，能根据实数指数幂的运算性质进行计算；
2.会画指数函数的图象，知道图象与函数之间的对应关系；
3.掌握指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；
4.会进行对数的运算；会画对数函数的图象，理解对数函数和图象之间的对应.
5.了解指数函数y=ax
与对数函数y=loga x(a>0,
a
且≠1)互为反函数；
6.掌握对数函数的性质与应用。
【命题预测】1.利用指数、对数型函数的性质比较大小；
2.函数解析式中含有指数、对数型函数，求切线、求极值、求参数；
3.根据指数、对数型函数的性质找出正确的函数图象。
1
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知识讲解
一、根式
1.根式的概念
若
,则x 叫作a 的n 次方根,其中n>1 且n∈N*.n√a叫作根式,这里n 叫作根指数,a 叫作被开方数.
2.a 的n 次方根的表示
xn=a⇒{
x =
n√a,n为大于1的奇数且n∈N
*,
x =±
n√a,n为偶数且n∈N
*.
二、有理数指数幂
1.幂的有关概念
(1)正分数指数幂:a
m
n =n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(2)负分数指数幂:a
- m
n = 1
n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(3)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂
.
2.实数指数幂的性质
(1)aras=
(a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s=
(a>0,r,s∈R);
2
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(3)(ab)r=
(a>0,b>0,r∈R).
三、指数函数的图象与性质
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
图象
图象
特征
在x 轴
,过定点
当x 逐渐增大时,图象逐渐上升
当x 逐渐增大时,图象逐渐下降
性
质
定义域
R
值域
单调性
函数值变
化规律
当x=0 时,
当x<0 时,
;
当x>0 时,
当x<0 时,
;
当x>0 时,
1.指数函数图象的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个特殊的点:(1,a),(0,1),(-1, 1
a).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d 与1 之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由
此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象离x 轴越远,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a 的取值有关,要特别注意分a>1 与0<a<1 来研究.
1.指数幂的运算先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂
相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
应用指数函数图象的3 个技巧:
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a)，(0,1)，(−1，1
a).
(2)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变
3
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换而得到的.特别地,当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
比较指数式大小的方法:(1)当底数相同,指数不同时,构造指数函数比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,
构造幂函数比较大小.(3)当底数不同,指数也不同时,常借助1,0 等中间量进行比较.
1.解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),当a>1 时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1 时,等
价于f(x)<g(x).
2.解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
在研究指数型函数的单调性时,一要考虑复合函数的单调性:同增异减;二要注意当底数a 与“1”的大小
关系不确定时,要分类讨论.
涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数的相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单
调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”这一性质分析判断.
四、对数
概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x 叫作以a 为底N 的对数,记作x=logaN,其中a 叫作对数的底数,N 叫作真
数,logaN 叫作对数式
结论
对数式与指数式的互化:ax=N⇔
loga1=0,logaa=1,a
lo ga N=
运算
性质
loga(M·N)=
a>0,且a≠1,M>0,N>0
loga M
N =
logaMn=
(n∈R)
换底
公式
logab=lo gcb
lo gc a(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
换底公式的三个重要结论
(1)logab=
1
lo gba;
(2)loga
mbn= n
mlogab;
(3)logab·logbc·logcd=logad.
五、对数函数的图象与性质
函
数
y=logax(a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
图
象
图
象
特
征
在y 轴
,过定点(1,0)
当x 逐渐增大时,图象是
的
当x 逐渐增大时,图象是
的
性
质
定义域
(0,+∞)
值域
R
单调性
在(0,+∞)上是
在(0,+∞)上是
函数
值变
化规律
当x=1 时,
当x>1 时,y>0;当0<x<1 时,
当x>1 时,y<0;当0<x<1 时,
4
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对数函数图象的特点
(1)对数函数y=logax 的图象恒过点(1,0),(a,1),(
1
a ,-1),依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象.
(2)函数y=logax 与y=log 1
ax(a>0,且a≠1)的图象关于x 轴对称.
(3)对数函数的图象与底数大小的比较.
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
六、反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线
对称.
1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后
用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.
3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、
零点时,常利用数形结合思想;
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同
可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0 等中间量进行比较
解对数不等式的类型及方法:①形如logax>logab 的不等式,借助y=logax 的单调性求解,如果a 的取值不确
定,那么需分a>1 与0<a<1 两种情况讨论;②形如logax>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再
进行求解.
已知f(x)=loga[g(x)]在区间[m,n]上是单调递增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a 与1 的大
小关系确定g(x)在[m,n]上的单调性;二是g(x)>0 在x∈[m,n]时恒成立,此时只需g(x)min>0 即可.
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:
一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1 的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些
5
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基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
考点一、指数幂运算
1．(2023 年杭州模拟)化简
√a3b23√ab
2
(a
1
4 b
1
2)
4
¿
3√
b
a
(a>0,b>0)
的结果是（ ）.
A．
b
a B．
a
b C．
a2
b D．
b2
a
2．（2023 年浙江省模拟）已知函数
，则
________，
________.
1．(1)计算:
（1
4 ）
1
2⋅√（4ab−1）3
(0.1)−1⋅(a3⋅b−3)
1
2
=
（a>0,b>0）.
(2)若x
1
2+x
−1
2=3( x>0),则
x
3
2+x
−3
2−3
x2+x−2−2
=
.
2．化简求值:(1)
；(2)
（
，
）.
3．（2023 年浙江省模拟）设函数
，若
，则
__________.
考点
二
、
指数函数的性质及应用
1．（2023 年陕西省部分名校模拟）已知函数
,若
，且
，则
的取
值范围是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
2．（2023 年朔州市名校模拟）若函数
，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 年高考全国甲卷（文科）真题）已知函数
．记
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
是R 上的增函数，则实数
的取值范围为__________.
3．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点
三
、
对数的运算
1．(1)(2020 年全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4−a= （ ）.
A．
1
16
B．
1
9
C．
1
8
D．
1
6
(2)计算:
log535+2log1
2
√2−log5
1
50 −log514=
.
7
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(3)计算:log225⋅log3(2√2)⋅log59= .
2．(2022 年浙江卷) 已知2a=5 ,log83=b ,则4a−3b= （ ）.
A．25
B．5 C．
25
9
D．
5
3
3．（2023 年浙江省模拟）已知函数
，则
_______，
_________.
1．计算：（1）
；
（2）
.
（3）
.
2．（2023 年北京高考数学真题）已知函数
，则
____________．
3．已知函数
．则
______；若
，则实数m 的值为______．
考点
四
、
指数、对数函数的图象
1．(2023 年宁波适应性考试)若a−2>a2(a>0
a
且≠1),则函数f (x)=loga(x−1)的图象大致是（
）.
A B C D
2．（2022 年全国高考甲卷（理）高考真题）函数
在区间
的图象大致为
（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
3．(2023 年山东二模)已知函数f ( x)=loga(2x+b−1)(a>0,
a
且≠1)的图象如图所示,则a,b 满足的关系
是（ ）.
A．0<a−1<b<1 B．0<b<a−1<1 C．0<b−1<a<1 D．0<a−1<b−1<1
1．(2023 年山东滕州模拟)函数f (x)=loga/x/+1（0<a<1）的图象大致为（ ）.
A B C D
2．（2023 年新高考天津数学高考真题）函数
的图象如下图所示，则
的解析式可能为
（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
3．已知函数
（
且
）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点
五
、
对数函数的性质及应用
1．（2023 年陕西省模拟）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(2023 年四川绵阳三模)已知a=log72
2
,b=log73
3
,c=log76
6
,则a ,b ,c 的大小关系为（ ）.
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b
D．b>c>a
3．（2023 年浙江省模拟）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
和
D．
和
1．设函数f ( x)是定义在R 上的偶函数,当x≥0 时,f ( x)=lg(3 x+1)−1,则不等式f ( x)>0 的解集为（
10
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）.
A．（−3，0）∪（3，+∞） B．（3，+∞） C．（−3,3） D．（−∞，−3）∪（3，+∞）
2．已知a=log23,b=log46,c=log69,则（ ）.
A．b<c<a B．c<b<a
C．a<c<b D．c<a<b
3．设函数f ( x)=log 1
3
(4×2−4ax +3a)在（0,1）上是增函数,则a 的取值范围是（ ）.
考点
六
、
指数、对数函数的综合应用
1．若函数
f ( x)=loga(x2−ax+ 1
2)有最小值,则实数a 的取值范围是 .
2．（2023 重庆市名校模拟）已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 昆明市名校模拟）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．设函数
，若实数a，b，c 满足
，且
.则下列结论不
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．甲、乙两人解关于x 的方程2x+b⋅2−x+c=0 ,甲写错了常数b,得到的根为
x=−2
x
或=log2
17
4 ,乙写错
了常数c,得到的根为x=0
x
或=1,则原方程的根为( ).
A．x=−2
x
或=log23 B．x=−1
x
或=1 C．x=0
x
或=2
D．x=−1
x
或=2
3．已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
考点
七
、
情景设置
1．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定
义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 湖南省名校模拟）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其
增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，
我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是
，一年后是
；而把“不见其损”量化为每
天的“落后率”都是
，一年后是
.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的
倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的
倍，大约需要
经过（
，
）（ ）
A．17 天 B．19 天
C．23 天
D．25 天
3．（2020 年新课标Ⅲ（理科）高考真题）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有
学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
，其中K 为最大确诊病例数．当I(
)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则
约为
（ ）（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
12
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1．苏格兰数学家纳皮尔（J. Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理
“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成
，则
，这样我们可以知道N 的位数.已知正整数
是35 位数，则M 的值为（ ）
N
2
3
4
5
11
12
13
14
15
0.30
0.48
0.60
0.70
1.04
1.08
1.11
1.15
1.18
A．3 B．12
C．13 D．14
2．（2023 年重庆市部分名校模拟）2020 年12 月17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子
王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回
弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接
触水面的速率为
，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的
速率为上一次的
，若要使石片的速率低于
，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）
（参考数据：取
）
A．9
B．10
C．11 D．12
3．设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，例如:
，
．已知
函数
，若
，
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【基础过关】
1．（2023 年安徽省部分名校模拟）集合
，集合
，全集
，则(CU A)∪B 为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的
能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为
.据此，地震震级每提高1 级，释放
出的能量是提高前的（参考数据：
）（ ）
A．9.46 倍 B．31.60 倍
C．36.40 倍 D．47.40 倍
3．lg 4+2lg5+log28+8
2
3= （ ）.
A.8 B.9
C.10 D.1
13
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4．（2023 河南省部分名校模拟）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为
℃，空气温度为
℃，则分钟后物体的温度
（单位：℃，满足：
)若常数
，空气温度为
℃，
某物体的温度从
℃下降到
℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：
）
A．39 分钟 B．41 分钟
C．43 分钟
D．45 分钟
6．（2023 年浙江省部分名校模拟）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023 届高三下学期5 月八模文科数学试题）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2002 年普高招生考试理科）函数
在
上的最大值与最小值的和为3，则
______________．
9．函数
的值域为______．
10．已知函数
f ( x)=loga
1+ax
1−ax +2(a>0
a
且≠1)
,f (m)=3 ,则f (−m)= （ ）.
A.3
B.1 C.5 D.-3
11．（2023 年广西河池市模拟）已知函数
其中
，若函数
无最大值，则实
数a 的取值范围是______．
14
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12．（2023 年天津市部分名校模拟）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 太原市名校模拟）已知函数
，若
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【能力提升】
1．(2023 年陕西西安模拟)已知函数f ( x)=lg ex−e−x
2
,则f ( x)是（ ）.
A．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递增 B．奇函数,且在R 上单调递增
C．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递减 D．偶函数,且在R 上单调递减
2．（2023 河南省名校模拟）已知函数
的最大值为0，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 年河南省部分名校模拟）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．定义域为
的函数
满足
，且当
时，
恒成立，
设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 年浙江省部分名校联考试题）已知实数
，其中
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023 江苏省部分名校模拟）已知函数
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2001 年普高招生考试（广东卷））若定义在区间
内的函数
满足
，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 海南省模拟）下列四个函数中的某个函数在区间
上的大致图象如图所示，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
是定义在
上的奇函数．
（1）求实数
的值；
（2）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
11．（2005 年普高招生考试（文）（北京卷））对于函数
定义域中任意的
，有如下结
论：
①
；
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②
；
③
；
④
当
时，上述结论中正确结论的序号是________．
12．（2023 浙江省名校模拟）设函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【真题感知】
1．(2021 年全国甲卷高考真题)下列函数中是增函数的是（ ）
A．f ( x)=−x
B．
f (x)=（2
3 ）x
C．f ( x)=x2
D．f ( x)=
3√x
2．（2022 年北京市高考真题）已知函数
，则对任意实数x，有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 年新课标全国Ⅰ卷真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 年北京高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 年全国高考甲卷（文科）试题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021 年全国高考乙卷高考真题）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
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7．（2021 年全国高考甲卷高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6
8．（2020 年新课标Ⅲ（理科）高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（
）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
9．（2020 年新课标Ⅰ（理科）高考真题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2020 年北京市高考真题）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
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