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4.5 正余弦定理的综合运用
1
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2
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考点一 三角形的角平分线、中线与高
【例1-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△
中，点D 在
边上，
平分
，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
,
即
，代入
，
，
可得
，则
，
解得
．
故选：B.
【例1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）在
中，已知
，当边BC 的中线
时，
的面积为 ．
【答案】
【解析】
因为边BC 的中线
，
，所以
，
，
，
又
，
3
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所以
，
，
.
故答案为：
.
【例1-3】（2024·广东广州·模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，
，
的平分线
的长为
，则
边上的中线
的长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，设
，则
，如图所示，
由
可得
，
整理得
，即
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
由
是
边上的中线，得
4
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.
所以，中线长
.
故选：A
【例1-4】（2024·河北·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，若
的平
分线
的长为
，则
边上的高线
的长等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】由题意知，设
，则
，如图所示，
由
可得
，
整理得
，即
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
5
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由
可得
，解得
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·河南·阶段练习）记
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
，
，
的平分线交边AC 于点D，且
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】D
【解析】因为
及
，可得
，
由余弦定理得
，
又由
，所以
，
因为
，即
，解得
，
由余弦定理得
，即
．
故选：D．
2．（2024 湖北·阶段练习）已知
分别为锐角三角形
三个内角
的对边，且
.
(1)求
;
(2)若
，
为
的中点，求中线
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
是锐角三角形
的三个内角，所以
，
，
根据正弦定理可得
，即
，
6
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所以
，则
，
整理得
，即
，
又
，所以
，即
.
（2）因为
为
的中点，所以
，
两边平方得
，
在
中，由余弦定理得
，即
，所以
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
且
，解得
，
所以
，所以
，所以
，
所以中线
的取值范围是
.
3．（2024·吉林延边·一模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求B；
(2)若点D 在AC 上，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
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【解析】（1）因为
，即
，
由正弦定理可得：
，整理得
，
由余弦定理可得
，
且
，所以
．
（2）因为
，则
，
可得
，
则
，即
，
整理得
，
由余弦定理可得
，则
，
即
，所以
．
4．（2024·江西宜春·三模）在
中，设角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
，
的周
长为15，面积为
．
(1)求
的外接圆面积；
(2)设D 是边AB 上一点，在①CD 是边AB 上的中线；②CD 是
的角平分线这两个条件中任选一个，求
线段CD 的长．
【答案】(1)
(2)答案见解析
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【解析】（1）解：由
的面积为
，可得
，解得
，
又由
的周长为
，可得
，即
，
由余弦定理得
，解得
，
设外接圆半径为R，由正弦定理得
，所以
，
所以
的外接圆面积为
．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，
及
，
由
，可得
，
所以
，即
．
法2：不妨设
，由
及
，解得
，
在
和
中，可得
，
由余弦定理得
，解得
．
若选择②，不妨设
，由
及
，解得
，
法1：由
，
可得
，解得
．
法2：由张角定理，得
，
即
，解得
，
考点二 三角形的周长与面积的取值范围
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【例2-1】（2024·全国·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且
，则△ABC 周长的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，由于
，故
，则
，
由正弦定理得
，
故
，
又
，则
，所以
，则
，
故△ABC 周长
的最大值为
.
故选：D.
【例2-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，则
面积的最大值为 .
【答案】
/
【解析】因为
，
，所以
，
由正弦定理可得
，即
，
，因为
，所以
，故
，
由余弦定理
得
，
所以
，即
，当且仅当
时取等号，
由
，
，得
，
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所以
.
故答案为：
.
【例2-3】（2024·陕西·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．15.
【答案】C
【解析】由
，由正弦定理得
，即
，
所以
，
由余弦定理得
，
所以
，
所以
，
当
，即
时，
取得最大值
.
故选：C.
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
，则
的面积S 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意及正弦定理，得
．
因为
，所以
．
因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
，
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由正弦定理
，得
，
所以
，
因为
是锐角三角形，所以
解得
，
所以
，所以
，从而
．
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）
中角
所对的边分别为
，其面积为，且
.
(1)求
；
(2)已知
，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为三角形的面积为
，
则
，
所以
，又
，则
；
（2）由于
，所以
，
即
，
取等号，
故
，
故
2．（2024·全国·模拟预测）在①
；②
两个条件中
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任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在
中，内角
所对的边分别是
，且
______．
(1)求角
的大小；
(2)若点
满足
，且线段
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）选①，
，
所以
．
因为
，所以
，即
，
所以
．
选②．由
及正弦定理得
，
所以
．
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
．
（2）如图，
点
满足
，则
，故
，又
，
故
，
即
，即
，当且仅当
时，取等号，
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故
，即
面积的最大值为
．
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)求
.
(2)求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）方法一：由余弦定理，得
，解得
.
又
，所以由正弦定理，得
.
又
为锐角三角形，所以
.
方法二：由题意知，
.
由正弦定理得
，
所以
，
所以
，即
；
又因为
，所以
，又因为
，所以
.
（2）由正弦定理，得
；
因为
为锐角三角形，所以
，
解得
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
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故
面积的取值范围为
.
4．（2024·四川德阳·二模）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
中，
，即
，
而
，故
，
故
，又
，
则
；
（2）由（1）以及题设可得
；
由正弦定理得
，
因为
为锐角三角形，
，
，
则
，
则
，则
，
即
，则
，
即
面积的取值范围为
.
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考点三 取值范围
【例3-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则边b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
得，
，
由正弦定理可得
，即
，
所以
，所以
或
（舍去），所以
，
由正弦定理得,
，
而
，
，所以
，
所以
，所以
，所以
的取值范围为
.
故选：B
【例3-2】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角
的三个内角
的对边分别为
，且
，
则
的取值范围为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在
中，由
可得
，
由正弦定理
得：
又
为锐角三角形，所以
，解得
，
令
，则
，
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因为
在
时单调递增，
所以
，则
.
故选：C
【例3-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）在
中，已知角
，
，
所对的边分别为
，
，，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，
，
因为
，
所以
，
化简得
，由余弦定理得
，
又
，所以
；
（2）由正弦定理知
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，
由
为锐角三角形可知
，而
，
所以
得
，
所以
，
所以
，即
，
则
的取值范围为
.
【一隅三反】
1．（2024 上海·期末）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、．若
是
、的等比中项，则角
的最大值为 ．
【答案】
/
【解析】因为
是
、的等比中项，
所以
，即
，
由余弦定理
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
，所以角
的最大值为
.
故答案为：
2．（2024·湖南衡阳·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a、b、c，且
．
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(1)求A；
(2)如图所示，D 为平面上一点，与
构成一个四边形ABDC，且
，若
，求AD 的最大值．
【答案】(1)
.
(2)4
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，因为
，所以
.
（2）方法一：设
，则：
在
中，
，①，在
中，
，②
：
，所以
，所以
，所以AD 的最大值是4
解法二：在
中，由余弦定理得，
=
，
因为
，
所以四边形
存在一个外接圆
，所以圆
的直径为
因为
，即
，当AD 为圆O 直径时取等号，故
的最大值为4.
3．（2024·全国·模拟预测）在①
，②
，③
的面积为
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这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形
中，角
所对的边分别为
，______．
(1)求
；
(2)已知
是
的平分线与
的交点，求
的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）方案一：选择条件①
，
，
，
，
．
，
．
方案二：选择条件②
，
，
，
，
．
，
，
．
方案三：选择条件③
由题，
，
，
．
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，
，
，
．
（2）
是
的平分线，
．
在
中，
，由正弦定理得
，
，
是锐角三角形，
，
，
，
的取值范围为
．
考点四 正余弦定理与三角函数的性质
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知函数
，将
的图象横坐标变为原来的
，纵
坐标不变，再向左平移
个单位后得到
的图象，且
在区间
内的最大值为
.
（1）求
的值；
（2）在锐角
中，若
，求
的取值范围.
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【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）将函数
的图象横坐标变为原来的
，纵坐标不变，再向左平移
个单位后
得到
的图象，
则
，
，
，
当
，即
时，
最大值
，所以，
；
（2）
，
，则
，所以，
，所以，
，
，
是锐角三角形，由
，解得
，
所以，
，
，则
.
【一隅三反】
1．（2024 北京昌平·期末）已知
，
，
（1）求
的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角
的内角
的对边分别为
，且
，
，求
边上的高的最大值．
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【答案】（1）最小正周期为
；单调递减区间为
；（2）
．
【解析】（1）
．
的最小正周期为：
；
当
时，
即当
时，函数
单调递减，
所以函数
单调递减区间为：
；
（2）因为
，所以
，
，
，
．
设
边上的高为，所以有
，
由余弦定理可知：
，
，
，
（当用仅当
时，取等号），所以
，
23
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因此
边上的高的最大值
.
2．（2024 湖南常德·期中）已知向量
.
(1)求
的取值范围；
(2)记
，在
中，角
的对边分别为
且满足
，求函数
的值
域.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）（1）因为
，
可得
，
因为
，所以
.
（2）解：由题意得
，可得
，
因为
，由正弦定理得
，
所以
，所以
，
又因为
，则
，且
，所以
，
因为
，所以
，所以
，则
，
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则
，所以函数
的值域是
.
3．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）设函数
，其中向量
，
.
(1)求
的最小值；
(2)在△
中，
，
，分别是角
，
，
所对的边，已知
，
，△
的面积为
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由题设，
，
所以，当
时
的最小值为
.
（2）由
，得：
，则
，又
，
所以
，故
，则
.
由
，可得：
.
在△
中，由余弦定理得：
，
所以
.
由
，则
.
考点五 正余弦定理在几何中运用
【例5-1】（2024 福建三明·阶段练习）如图，在四边形
中，
，
，
，
.
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（1）若
，求
；
（2）记
，当
为何值时，
的面积有最小值？求出最小值.
【答案】（1）
；（2）
，取最小值
.
【解析】（1）在四边形
中，因为
，
，
，所以
，
在
中，可得
，
又
，
，
由正弦定理得:
，即
，
解得：
，.
（2）因为
，
可得
，
因为四边形内角和
，所以
，
在
中，
，
在
中，
，
，
，
，
当
时，取最小值
.
【一隅三反】
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1．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形
中，
，
，
.
(1)当四边形
内接于圆O 时，求角C；
(2)当四边形
面积最大时，求对角线
的长.
【答案】(1)
(2)
.
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以
.
又四边形
内接于圆
，
所以
，
所以
，
化简可得
，又
，
所以
.
（2）设四边形
的面积为S，
则
，
又
，
所以
，即
平方后相加得
，即
，
又
，
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所以
时，
有最大值，即S 有最大值.
此时，
，代入
得
.
又
，所以
在
中，可得：
，即
.
所以，对角线
的长为
.
2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，且
的外接圆半径为4.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，求
的最大值.
【答案】(1)4；
(2)
.
【解析】（1）因为
，
的外接圆半径为4，所以
，解得
.
在
中，
，则
，解得
.
又
，所以
；
在
中，
，
，
，
所以
.
（2）设
，
.
28
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又
，所以
.
因为
，所以
.
在
中，
，由正弦定理得
，
即
，解得
.
在
中，
，由正弦定理得
，
即
，解得
，
所以
.
又
，所以
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值1，
所以
的最大值为
.
3．（2024·浙江·开学考试）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
．
的内角A，
B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求四边形ABCD 的外接圆半径R；
(2)求
内切圆半径r 的取值范围．
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，
，
所以
，由正弦定理，
，可得
，
再由余弦定理，
，又
，所以
.因为
，
所以
，所以A，B，C，D 四点共圆，
则四边形ABCD 的外接圆半径就等于
外接圆的半径.
又
，所以
.
（2）由（1）可知：
，则
.
，
则
.
在
中，由正弦定理，
，所以
，
，则
，
又
，所以
，所以
，
，所以
.
考点六 证明题与存在性
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知
的外心为
，点
分别在线段
上，且
恰为
30
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的中点．
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由正弦定理，得
，
所以
，
又
，所以
或
，
当
时，
由余弦定理，得
，
所以
，
的面积
，
当且仅当
时，取等号；
当
时，
同理可得
，
的面积
，
当且仅当
时，取等号．
综上，
面积的最大值为
；
（2）证明：设
，
由余弦定理知
，
，
因为
，
31
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所以
，
化简整理得
，
而
，因此
，
又因为
是
外心，故
，
同理可知
，
因为
恰为
的中点，
因此
，所以
．
【例6-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得
存在且唯一确定，求
的面积.
条件①：
；条件②：
；条件③：
的周长为9.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为
，
由正弦定理得
，
即
，
又因为
，可得
，
所以
，可得
.
（2）解：由（1）得
，由正弦定理得
，
32
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若选条件①：由余弦定理得
，即
，
又由
，解得
，则
，此时
存在且唯一确定，
因为
，则
，可得
，
所以
；
若选条件②：由
，因为
，即
，
若
为锐角，则
，
由余弦定理
，即
，
整理得
，且
，解得
，则
；
若
为钝角，则
，
由余弦定理得
，即
，
整理得
，且
，解得
，则
；
综上所述，此时
存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为
，即
，解得
，则
，
所以此时
存在且唯一确定，
由余弦定理得
，
因为
，可得
，
所以
．
【一隅三反】
1.（2024 山西运城）
中，内角
的对边分别为
的外接圆半径为
，已知
33
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.
(1)求
；
(2)已知
的平分线交
于点
，从以下三个条件中选择两个，使
唯一确定，并求
和
的长
度.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
【答案】(1)
(2)选择条件②和③；
，
【解析】（1）由已知得
，
得
，
即
，即
，
又因为
，故
；
（2）由（1）得
中，
由余弦定理得
，
所以
，
而条件①中
，所以
，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②
，条件③
，解得
，
由余弦定理可得
，
所以
，所以
，
在
中，因为
为
的平分线，
所以
，
又因为
，所以
，
在
中，
，
34
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所以
.
2．（2024·浙江金华）记
的内角
的对边分别为
.已知
.
(1)求
；
(2)证明：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由
，得
，由题意可知，
存在，
所以
，即
，所以
，
所以
.
（2）由
，
得
，
故
，
令
，则
，
，
当
时，
；当
时，
；
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，所以
，
进而
，
，
可得
，所以
.
35
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而
，故
.
所以
.
3（2024 广东）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若
，求C；
(2)证明：
【答案】(1)
；
(2)证明见解析．
【解析】（1）由
，
可得，
，而
，
所以
，即有
，而
，显然
，所以，
，
而
，
，所以
．
（2）由
可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
考点七 三角形的四心
【例7】（2023 春·浙江温州 ）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
，角
B 为钝角．
(1)求
；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若
，
，
为
的___________，求
的面积．
【答案】(1)
；
36
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(2)若选①，
；若选②，
；若选③，
【解析】（1）由正弦定理可得
，因为
，所以
.
因为
，所以
.
（2）若选①，连接
并延长交
边于点
，
因为
为
的重心，所以
为
的中点，且
，
所以点
到
的距离等于点
到
的距离的
，
所以，
；
若选②，由余弦定理可得
，
若
为
的内心，设
的内切圆的半径为，
则
，则
，
因此，
；
若选③，若
为
的外心，设
的外接圆半径为
，
由余弦定理可得
，则
，
在优弧
上任取一点
，则
，则
，
因此，
．
37
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【一隅三反】
1．（2024·安徽）已知ΔABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求
的值；
(2)设M 和N 分别是ΔABC 的重心和内心，若MN//BC 且c=2，求a 的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）由已知得，
，即sinAcosC=2sinC-cosAsinC 得sin(A+C)=2sinC 即sinB=2sinC
由正弦定理得
，所以
；
（2）由(1)知
，因为
，所以
设△ABC 的内切圆半径为r，则内心N 到BC 边的距离为r，
因为MN∥BC，所以重心M 到BC 边的距离为r，根据重心的性质，顶点A 到BC 边的距离为3r，
根据面积关系得
即
，
所以
2．（2024 四川内江）
的内角A，B，C 所对的边分别为
．
(1)求A 的大小；
(2)M 为
内一点，
的延长线交
于点D，___________，求
的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使
存在，并解决问题．
①M 为
的重心，
；
②M 为
的内心，
；
③M 为
的外心，
．
38
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【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）∵
，∴
，即
由正弦定理得，
，即
，
∵
，∴
，∴
，又
，∴
，∴
（2）设
外接圆半径为
，则根据正弦定理得，
，
若选①：∵M 为该三角形的重心，则D 为线段
的中点且
，
又
，∴
，
即
， 又由余弦定理得
，即
，解得
，∴
；
若选②：∵M 为
的内心，∴
，由
得
，∵
，∴
，即
，
由余弦定理可得
，即
，∴
，
即
，∵
，∴
， ∴
．
若选③：M 为
的外心，则
为外接圆半径，
，与所给条件矛盾，故不能选③.
3．（2024·广东广州）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求
；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若
，
，
为
的___________，求
的面积.
39
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注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）解：
，
，
则
，即
，
，则
，
，即有
，
可得
，
，则
，
，解得
.
（2）解：若选①，连接
并延长交
边于点
，
因为
为
的重心，所以，
为
的中点，且
，
所以点
到
的距离等于点
到
的距离的
，
所以，
；
若选②，由余弦定理可得
，
若
为
的内心，设
的内切圆的半径为，
则
，则
，
因此，
；
40
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若选③，若
为
的外心，设
的外接圆半径为
，
由余弦定理可得
，则
，
在优弧
上任取一点
，则
，则
，
因此，
.
一．单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）在
中，
边上的高等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，
边上的高为
，
，且
，
所以
，则
，
则
，
，
所以
，则
.
41
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故选：B
2．（2024 江苏宿迁·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的
形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】B
【解析】
，
故
，
由正弦定理得
，
其中
，
即
，
故
，
因为
，所以
，故
，
因为
，所以
，
的形状为直角三角形.
故选：B
3．（2024·山东日照·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
中
，
由余弦定理可得：
，整理可得
，
又
，则
，
42
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，
，则
，
可得
，则
，即
，
故选：C
4．（2024·青海·一模）在梯形ABCD 中，
，
，
，
，
，E，F 分别为AD，BC
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
过点
作
，交
于
，
，交
于
，
又因为
，
所以四边形
和四边形
为平行四边形，
所以
，
，
因为
，
，
，
，
所以
，
因为E，F 分别为AD，BC 的中点，
所以
，
，
所以
，
所以在
中，
，
所以在
中，
，
所以
，
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）已知
是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．若
，则
的取值范围是（ ）
43
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，得
．
由余弦定理得
，
所以
，即
．
由正弦定理得
，
因为
，则
，
所以
，即
．
因为
是锐角三角形，所以
，
，所以
．
又
在
上单调递增，所以
，则
．
因为
是锐角三角形，所以
，
，
，
所以
，
由正弦定理得
，
令
，因为
，所以
．
在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，
故
故选：C．
44
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6．（2023·安徽·校联考模拟预测）在
中，
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
边上的中线长为2
B．
为锐角三角形
C．
D．
的周长为12
【答案】A
【解析】如图，在边AB 上取一点D，使
.
设
，则
，∴
.
，解得
，∴
.
在
中，
，
∴
，解得
，∴
，∴
为直角三角形，B 错误.
CD 为斜边AB 上的中线，所以A 正确；
，C 错误；
的周长为
，D 错误.
故选A.
7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知
三个内角
、
、
的对应边分别为
、
、，且
，
.则下列结论不正确的是（ ）
A．
面积的最大值为
B．
C．
的最大值为
45
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D．
的取值范围为
【答案】B
【解析】对于A 选项，因为
，
，由余弦定理和基本不等式可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，
所以，
的面积的最大值为
，A 对；
对于B 选项，
，B 错；
对于C 选项，由正弦定理可得
，则
，
因为
，则
，所以，
，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为
，C 对；
对于D 选项，因为
，则
，
46
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由题意可知，
，所以，
，
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
综上所述，
的取值范围为
，D 对.
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）已知
外接圆的半径为
，
为边
的中点，
，
为钝角，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解法一：
根据正弦定理得
，所以
，
因为
为钝角，所以
；
延长
到
，使得
，连接
，如下图所示：
易知四边形
为平行四边形，且
．
设
，则
，所以
，
即
，
47
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所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
可得
的取值范围是
．
解法二：
根据正弦定理得
，
所以
，因为
为钝角，所以
因为
为边
的中点，所以
，可得
，
设
，则
①．
设
，则
，
将其代入①得
②，
所以关于
的方程
至少有1 个正根；
当
，即
，
经检验，当
时，方程②即
，解得
，则
，不合题意；
当
时，方程②即
，解得
，不符合题意；
所以
或
，解得
，
故
的取值范围是
．
解法三：
根据正弦定理得
，
48
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所以
，因为
为钝角，所以
；
设
，根据余弦定理得
，
在
中易知
，
又在
中可得
，
所以可得
，即
，
将
代入，得
①，
设
，则
，
将其代入①得
②，
所以关于
的方程
至少有1 个正根；
当
，即
，
经检验，当
时，方程②即
，解得
，则
，不合题意；
当
时，方程②即
，解得
，不符合题意；
所以
或
，解得
，
故
的取值范围是
．
故选：C
二．多选题
9．（2024·江苏·阶段练习）如图，
的角
所对的边分别为
，
，且
，若点
在
外，
，则下列说法中正确的有（ ）
49
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A．
B．
C．四边形
面积的最大值为
D．四边形
面积的最大值为
【答案】ABC
【解析】因为
，由正弦定理得
，
即
，
因为
，可得
，所以
，
又因为
，可得
，所以
，所以
为等边三角形，
可得
，
，所以A、B 正确；
设
，
在
中，由余弦定理得
，
且
，
可得
，
所以四边形的面积为
，
当
时，四边形
的面积最大，最大值为
，所以C 正确，D 错误.
故选：ABC.
50
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10．（2024 黑龙江佳木斯·期中）已知△ABC 三个内角A，B，C 的对应边分别为a，b，c，且
，c=2．
则下列结论正确（ ）
A．△ABC 面积的最大值为
B．
的最大值为
C．
D．
的取值范围为
【答案】AB
【解析】由余弦定理得：
，解得：
，
由基本不等式得：
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，故
，A 正确；
，
其中由正弦定理得：
，
所以
，
因为
，所以
，
故
最大值为
，
的最大值
为
，
51
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B 正确；
，
故C 错误；
，
因为
，所以
，
所以
，D 错误.
故选：AB
11．（2025·福建厦门·阶段练习）已知锐角
三个内角
的对应边分别为
，且
．则
下列结论正确的是（ ）
A．
的面积最大值为
B．
的取值范围为
C．
的值可能为3
D．
的最小值为
【答案】BC
【解析】因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
同理可得
，
由正弦定理
得
，
所以
，
52
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因为
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
A 选项，
，A 错误；
B 选项，由余弦定理得
，即
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，B 正确；
C 选项，因为
，
而
，所以
的值可能为3，C 正确；
D 选项，
，当且仅当
时取等号，
但
，
而
，所以
，
故
，等号取不到，D 不正确.
故选：BC.
53
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三．填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】
中，
，
，
所以
，所以
，
根据正弦定理，
，
即
，
因为
，所以
，
由
为三角形内角可知，
，
根据正弦定理，
，
所以
，
其中
，
，
当
时取得最大值
，所以
的最大值为
.
故答案为：
13．（2025·海南海口·模拟预测）锐角
中，
，角A 的角平分线交
于点
，
, 则
的取值范围为 .
【答案】
54
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【解析】由已知得，
,
在
中，由正弦定理得，
,
同理可得
,
故
,
而
，
因为锐角
中，
,
故
，则
，
，
故
，
故答案为：
14．（2024·四川自贡·三模）如图，D 为
的边AC 上一点，
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】设
，则
，
在
中，
，所以
，
所以
，
55
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因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，当
时，
有最小值，此时
取最小值，
所以
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024·北京·三模）已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的值；
(2)在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.c 为
在
上的最大值，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，求
的取值范围.条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为S，且
.注：如果选择多个条件分别
解答，按第一个条件计分.
【答案】(1)1
(2)
【解析】（1）由题意可知：
，
因为函数
的最小正周期为
，且
，所以
.
（2）由（1）可知：
，
56
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因为
，则
，
可知当
，即
时，
取到最大值3，即
.
若条件①：因为
，
由正弦定理可得
，
又因为
，
可得
，且
，则
，
可得
，所以
，
由正弦定理可得
，可得
，
则
，
因为
锐角三角形，则
，解得
，
可得
，则
，可得
所以
的取值范围为
；
若条件②；因为
，
由正弦定理可得：
，
则
，
因为
，则
，
可得
，
57
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即
，且
，所以
，
由正弦定理可得
，可得
，
则
，
因为
锐角三角形，则
，解得
，
可得
，则
，可得
所以
的取值范围为
；
若选③：因为
，则
，
整理得
，且
，所以
，
由正弦定理可得
，可得
，
则
，
因为
锐角三角形，则
，解得
，
可得
，则
，可得
58
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所以
的取值范围为
.
16．（2024·全国·模拟预测）在
中，点D，E 都是边BC 上且与B，C 不重合的点，且点D 在B，E 之间，
．
(1)求证：
．
(2)若
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）如图．在
中，由正弦定理，得
．
在
中，由正弦定理，得
．
在
中，由正弦定理，得
．
所以
，
所以
．
（2）因为
，
所
，所以
．
由
可知
，
均为锐角．
由（1）知，
．
设
，则
，
．
由
，得
．
在
中，由正弦定理，得
．
在
中，由正弦定理，得
．
59
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所以
．
17．（2024·山东青岛·期中）已知函数
，若锐角
的内角
所对的边
分别为
，且
．
(1)求角
；
(2)求
的取值范围；
(3)在
中，
，其外接圆
直径为
（如图），
，求
和
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：由函数
，
因为
，可得
，即
，
又因为
，可得
，所以
，可得
.
（2）解：由（1）知
，可得
,
因为
为锐角，所以
，解得
，
则
，
60
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因为
，可得
，所以
，
所以
的取值范围为
.
（3）解：因为
为圆
直径，所以
且
设
，可得
，
，
设圆
的半径为
，在
中，可得
，
在
中，可得
，
所以
，即
，可得
，
又因为
，解得
，
所以
，
又由
，
所以
，
四边形
的面积为
.
18（2024 湖南·阶段练习）已知
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，
.
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，且外接圆的半径为
，求
的取值范围.
61
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为
，
可得
，
则
，
所以
，
即
，由正弦定理得
，
显然
，
，所以
，
所以
，因为
，
所以
.
（2）解：因为
，即
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形且
，所以
，所以
，
即
，
令
，
，
根据对勾函数的性质可知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
62
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且
，
，
，
所以
，即
，所以
，
即
的取值范围为
.
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中
百米，
百米，
，
，草坪内需要规划4 条人行道DM、DN、EM、EN 以及两条排水沟AC、
BD，其中M、N、E 分别为边BC、AB、AC 的中点．
(1)若
，求排水沟BD 的长；
(2)若
，试用
表示4 条人行道的总长度．
【答案】(1)
百米；
(2)
百米.
【解析】（1）因为
，
百米，
百米，
所以
百米，所以
，
又
，
，所以
为等腰直角三角形，
所以
百米，
因为
，
所以在
中，由余弦定理得
百米.
63
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（2）因为M、N、E 分别为边BC、AB、AC 的中点，
所以
百米，
百米，
设
，其中
，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由正弦定理可得
，
连接
，则
，
在
中，
，
，
由余弦定理得
，
在
中，
，
，
由余弦定理得
，
所以4 条人行道的总长度为
百米.
64
