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专题06 函数的单调性与最值
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题06 函数的单调性与最值
命题解读
命题预测
复习建议
函数的单调性是函数的一个
重要性质，在历年的高考
中，单调性都有考察，这部
分往往与导数去相联系，单
纯的用定义证明函数单调性
的题目几乎没有。对于最值
问题往往与函数单调性相联
系，在闭区间上的最值是出
现最多的，而在导数极值最
值那部分考察的比较多。
预计2024 年的高考函数的单
调性出题还是以选择或者填
空为主，主要是单调性的应
用，应用单调性解不等式，
判断大小，求解闭区间上的
最值等问题。
集合复习策略：
1.理解函数单调性的定义；
2.掌握函数单调性的应用；
3.会利用函数的单调性求参
数的范围。
→➊考点精析←
一. 函数单调性的定义
(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、
x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函
数(或减函数)．
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有
(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，
若函数为减函数则称该区间为减区间．
二. 函数单调性的图像特征
对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递
增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
三. 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)
上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具
有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
四. 函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D 上是增函数；
<0⇔f(x)在D 上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．
(3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
五.常用结论
1．若函数f(x)，g(x)在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：
2
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(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异
减”．
2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
→➋真题精讲←
1. （2023 新高考Ⅰ卷·4）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围
是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
2. （2023 新高考Ⅱ卷·6）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最
小值为（ ）．
A.
B. e
C.
D.
3
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【答案】C
【解析】
【分析】根据
在
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
3.（2023 新高考Ⅰ卷·15） 已知函数
在区间
有且仅有3 个
零点，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
4. （2023 全国理科乙卷·6）已知函数
在区间
单调递增，直线
4
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和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答
案.
【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D.
5. （全国理科乙卷·11）设
，若函数
在
上单调递
增，则a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等
5
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式进行恒等变形，可得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不
等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒
成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
6. （2023 全国文科乙卷·8）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（
）
A
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出
，并求出极值点，转化为极大值大于0 且极小值小于0 即可.
【详解】
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
6
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令
，解得
或
，
且当
时，
，
当
，
，
故
的极大值为
，极小值为
，
若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，
故选：B.
7.（2023 全国文科乙卷·10） 已知函数
在区间
单调递增，直
线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答
案.
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【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D.
8. （2023 新高考Ⅰ卷）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）证明：当
时，
．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论
与
两种情况，结合导数与函数单调性的关
系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为
的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得
即可.
方法二：构造函数
，证得
，从而得到
8
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，进而将问题转化为
的恒成立问题，由此得
证.
【小问1 详解】
因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
【小问2 详解】
方法一：
由（1）得，
，
要证
，即证
，即证
恒成立，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
9
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所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
方法二：
令
，则
，
由于
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，则
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以要证
，即证
，即证
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
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所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
9.（2023 全国理科甲卷） 已知函数
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）求导,然后令
,讨论导数的符号即可;
（2）构造
,计算
的最大值,然后与0 比较大小,得出
的分界点,再
对
讨论即可.
【小问1 详解】
令
,则
则
当
11
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当
,即
.
当
,即
.
所以
上单调递增,在
上单调递减
【小问2 详解】
设
设
所以
.
若
,
即
在
上单调递减,所以
.
所以当
,符合题意.
若
当
,所以
.
.
12
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所以
,使得
,即
,使得
.
当
,即当
单调递增.
所以当
,不合题意.
综上,
的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性
在定义域内是减函
数,若
,当
,对应当
.
10. （2023 全国文科甲卷）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
，求
的取值范围．
【答案】（1）
在
上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）代入
后，再对
求导，同时利用三角函数的平方关系化简
，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数
，从而得到
，注意到
，从而
得到
，进而得到
，再分类讨论
与
两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得
恒成立，再分类讨论
，
与
三种情
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况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得
时不满足题意，从而得解.
【小问1 详解】
因为
，所以
，
则
，
令
，由于
，所以
，
所以
，
因为
，
，
，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减.
【小问2 详解】
法一：
构建
，
则
，
若
，且
，
14
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则
，解得
，
当
时，因为
，
又
，所以
，
，则
，
所以
，满足题意；
当
时，由于
，显然
，
所以
，满足题意；
综上所述：若
，等价于
，
所以
的取值范围为
.
法二：
因为
，
因为
，所以
，
，
故
在
上恒成立，
所以当
时，
，满足题意；
当
时，由于
，显然
，
所以
，满足题意；
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当
时，因为
，
令
，则
，
注意到
，
若
，
，则
在
上单调递增，
注意到
，所以
，即
，不满足题意；
若
，
，则
，
所以在
上最靠近
处必存在零点
，使得
，
此时
在
上有
，所以
在
上单调递增，
则在
上有
，即
，不满足题意；
综上：
.
【点睛】关键点睛：本题方法二第2 小问讨论
这种情况的关键是，注意到
，从而分类讨论
在
上的正负情况，得到总存在靠近
处的一个区间，使得
，从而推得存在
，由此得解.
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→➌模拟精练←
1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
．若对任意
有
，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造
，确定函数单调递增，计算
，
，转化得到
，根据单调性得到答案.
【详解】设
，则
恒成立，故函数在
上单调递增.
，则
，即
，
故
.
，即
，即
，故
，解得
.
故选：D
2．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较
，构造函数
，
，利用导数判断函数的单调性，
再根据函数的单调性即可得解.
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【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上递增，
所以
，即
，即
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造函数
，
，利用中间量
来比较
的大小是解决本题的关键.
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数
在
上存在零点，且在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】由三角函数的图象与性质可得
及
，
继而可得
，计算可得结果.
【详解】化简
，
在
时，
，该区间上有零点，故
，
又
时
单调，则
，即
，
故
故选：C
4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线
与函数
的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大
的两个值分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据结论恒成立可只考虑
的情况，假设切点坐标，则只需考虑
，
，其中
的情况，可将
表示为
；构
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造函数
，
，利用导数可求得
的单调性，从而对
进行放缩即可求得所求范围.
【详解】
对于任意
，
，
，
的范围恒定，
只需考虑
的情况，
设
对应的切点为
，
，
，
设
对应的切点为
，
，
，
，
，
，
只需考虑
，
，其中
的情况，
则
，
，其中
，
；
又
，
，
，
；
令
，则
，
在
上单调递增，又
，
20
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，又
，
，
；
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
，
在
上单调递减，
，
，
；
综上所述：
.
故选：C.
5．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数
．设s 为正数，则在
中（ ）
A．
不可能同时大于其它两个
B．
可能同时小于其它两个
C．三者不可能同时相等
D．至少有一个小于
【答案】D
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【分析】利用导数分析函数
的单调性和最值，并结合
的大小关系，通过赋值
或分类讨论分析判断.
【详解】∵
，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，且
，
对A：若
，则
，则
，A 错误；
对B、C：当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
综上所述：
不可能同时小于
，B、C 错误；
对D：构建
，则
当
时恒成
立，
故
在
上单调递减，则
，
令
，可得
，则
，
故
，即
，使得
，
反证：假设
均不小于
，则
，
显然不成立，假设不成立，D 正确.
22
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故选：D.
【点睛】关键点点睛：在比较
与
的大小关系时，通过构建函数
，结合导数分析判断.
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数，也是周期函数
B．
的最大值为
C．
的图像关于直线
对称
D．
在
上单调递增
【答案】BD
【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，求导得到
，从而得到其极值，即可判断
B，根据对称性的定义即可判断C，由
在
的正负性即可判断D.
【详解】因为
，定义域为
，关于原点对称，
且
，
则
是奇函数，故A 错误；
因为
，
令
，则
或
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
23
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所以
，故B 正确；
因为
，
，
所以不关于
对称，故C 错误；
因为
，当
时，
，
则
，所以
在
上单调递增，故D 正确.
故选:BD
7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数
，则下列
说法中正确的是（ ）
A．
B．
的最大值是
C．
在
上单调递增
D．若函数
在区间
上恰有
个极大值点，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.
【详解】
，
A 选项：
，A 选项正确；
B 选项：设
，则
，
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解得
，
，即
，即
的最大值为
，B 选项正确；
C 选项：因为
，所以
在
上不单调，C 选项错误；
D 选项：
，
令
，解得
，即
或
，
，
当
，
时，
，函数单调递减，
当当
，
时，
，函数单调递增，
所以函数
的极大值点为
，
，
，
，
又函数
在区间
上恰有
个极大值点，则
，即
，D 选项正确；
故选：ABD.
8．（2023·广东·统考一模）已知函数
.
(1)求
的极值；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）求导得
，
所以当
时，
；当
时，
，
25
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，无极大值.
（2）方法一：由题知不等式
在
上恒成立，
则原问题等价于不等式
在
上恒成立，
记
，
则
，
记
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，又
，
所以存在
，使得
，
即当
时，
，此时
；当
时，
，此时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
，得
，
即
，
所以
，
①当
时，
因为
，所以不等式恒成立，
所以
；
②当
时，
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因为存在
，使得
，而
，
此时不满足
，
所以
无解.
综上所述，
.
方法二：由题知不等式
在
上恒成立，
原问题等价于不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
记
，则
，当
单调递减，
单调递增，
因为
即
，
①当
时，
因为
，所以不等式恒成立，所以
；
②当
时，令
，显然
单调递增，且
，
故存在
，使得
，即
，而
，此时不满足
，所以
无解.
综上所述，
.
9.（2023·广东深圳·统考一模）已知函数
，其中
且
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
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(2)若存在实数
，使得
，则称
为函数
的“不动点”求函数
的“不
动点”的个数；
(3)若关于x 的方程
有两个相异的实数根，求a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，定义域为R．
，令
，得
．
当
时，
；当
时，
．
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
．
（2）函数
的不动点即为方程
的根，即方程
的根．
显然，
不是方程
的根，所以
．
记
，因为
（当且仅当
取等号），所以
在
和
上均单调递增．
由
，记
．
①当
时，
（ⅰ）当
时，
，
（可设
当
，
当
，
在
单调递减，在
单调递增，所以
），
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存在
，使得
，即存在唯一
使得
；
（ⅱ）当
时，
，
（设
当
，
当
，
在
单调递增，在
单调递减，
所以
），存在
，使得
，即存在唯一
使得
．
②当
时，
（ⅰ）当
时，
无零点；
（ⅱ）当
时，因为
，
，存在
，使得
，即存在唯一
使得
．
综上所述，
当
时，函数
有两个“不动点”
，
；当
时，函数
有一个“不动点”
．
（3）记
，由（1）知，
当
时，函数
单调递增，且
；
当
时，函数
单调递增，且
；
当
时，函数
单调递减，且当
趋向于无穷时，
的增长速率远远大于
一次函数的增长速率，则
．
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当
，由（2）知
（其中
）．
由
，代入得
．
因为
，所以此时
只有一个解；
因为
，所以此时
有两个解，
故
共有三个解，不满足题意；
当
，由（2）知
由
，代入得
，
当
时，
只有一个解
，不满足题意，此时
；
时，
共有两个解，满足题意，
综上所述，当
且
时方程有两个不同实数根．
10．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若函数
恒成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）函数
的定义域是
，
当
时，
，
令
得
，所以函数
在
上单递递增；
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令
得
，所以函数
在
上单调递减．
所以函数
的单调递增区间为
，单调递区间为
．
（2）
恒成立，等价于
恒成立，
令
，
因为
恒成立，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
恒成立，等价于
恒成立
令
，问题等价于
恒成立
①若
时，
恒成立，满足题意；
②若
时，则
，所以
，不满足题意；
③若
时，因为
，令
，得
，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，
所以
在
处取得最小值
，
要使得
，恒成立，只需
，
解得
综上：
【解法二】
恒成立，等价于
，
令
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①若
时，
，所以
在
上单调递增，
，即
，满足
，
②若
时，则
，
，所以
在
上单调递增，
由
，
函数
在
上单调递增，值域为
；函数
在
上单调递增，值域为
；
所以
，使得
，不满足题意．
③若
时，令
，∴
，
令
，则
在
上单调递增，
函数
在
上单调递增，值域为
；函数
在
上单调递减，
值域为
；
则
，
；
，
，；
，
，
所以
，
，
，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，
只需
即可，
∴
，∴
，
令
，
，∴
在
上单调递增，
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，∴
时，
，
，
，
所以
在
上单调递增，∴
，
即
，
综上：
11．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过
程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
12．.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多
问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
→➍专题训练←
1．（2023·安徽黄山·统考三模）定义在
上的奇函数
，满足对
且
，都有
成立，则当不等式
成立时，
的
最小值为________.
【答案】
【详解】由题设
在
上递减，又在R 上为奇函数，
所以
在
上递减，则
在R 上递减，
由
，则
，可得
，
，仅当
，即
时等号成立，
所以，上述等号取不到，而
，且
在
上递增，
时
，
所以
的最小值为4.
故答案为：4
2．（2023·河南·校联考三模）已知函数
，若
，则
的取值范围是__________.
【答案】
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【详解】因为函数
，定义域为
，且
，
则
，
即
，即
为奇函数，
当
时
，
，
均单调递增，所以
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，
所以
是奇函数且在
上单调递增，
由
，可得
，则
，解得
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
3．（2023·河南·校联考三模）已知函数
.若
.则
的取值
范围是__________.
【答案】
【详解】因为函数
定义域为
，
，
，
所以
是奇函数且在
上单调递增，
由
0，可得
，则
，解得
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2023·全国·校联考三模）已知函数
在
上的最小值为
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，函数
在
上的最小值为
，
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所以对
，
恒成立，
所以
恒成立，即
恒成立，
当
时，
，
当
时，可得
恒成立.
当
或
时，不等式显然成立；
当
时，
，
因为
，所以
，
，
，
所以
；
当
时，
，
因为
，所以
，
，
，
所以
.
综上可得，实数b 的取值范围是
.
故选：D.
5．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数
，则
_____；若
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是____________．
【答案】 3
【详解】由
，则
，所以则
，
所以
可转化为
，
因为
在R 上为增函数，所以
在R 上为增函数，
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所以
对
恒成立，即
对
恒成立，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，即实数
的取值范围
．
故答案为：
．
6．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）因为函数
，
所以
，
当
时，
，所以函数
在
单调递增，
当
时，另
，得
，
当
时，
，所以函数
单调递增，
当
时，
，所以函数
单调递减，
综上所述，当
时，函数
在
单调递增，
当
时，函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减；
（2）若不等式
恒成立，则有
，
即
，
化简得
，
设函数
，
，
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，
令
得
，即
，
所以存在
，使得
成立，
所以
，①，
且
，即
，②，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
代入①②，可得
，
要使得
恒成立，则
即可，
所以
.
7．（2023·广东揭阳·高三联考模拟考试）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：函数
有且仅有两个零点
，且
．
【解析】（1）
的定义域为
.
当
时，
在
上单调递增；
当
时，由
，得
或
（舍去），
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当
时，
，函数
单调递增，
当
，
，函数
单调递减，
综上：当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，
，由（1）知，
在
单调递增，
在
单调递减，所以
又
，所以在区间
上
存在零点，
又因为
在
单调递减，故
在区间
上存在唯一的零点；
因为
，所以在区间
上存在零点，
又因为
在
单调递增，所以
在区间
存在唯一的零点.
所以，函数
有且仅有两个零点
，不妨设
.
要证
，只需证明
，
又因为
，
且
，
所以只需证明
，又
，只需证明
，
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即证明
，
构造函数
，
，所以
，
所以
在区间
上单调递增，所以
，
所以
，从而
得证，所以
得证.
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