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5.4 正余弦定理（精练）
1．（2023·重庆）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
【答案】A
【解析】由题意可得
，
，
由余弦定理可得
，即
，
又
，可得
，利用正弦定理可知
,
所以
.故选：A.
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意，在三角形
中，由余弦定理可得，
，
且
，
，所以
.故选:C
1
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3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在
中，
，则
边上的高等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
中，因为
，
由余弦定理得
因为
，所以
设
边上的高为，则
，
所以
，即
边上的高等于
.故选：B.
4．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）在
中，若
，
，
则
的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理知
，
因为
，
，所以
，所以
，所以
，
因此
，所以
，即
是等边三角形，故选：D.
2
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5．（2023 春·江苏南通）如图所示，河边有一座塔
，其高为
，河对面岸上有
两点与塔底
在
同一水平面上，在塔顶部测得
两点的俯角分别为
和
，在塔底部
处测得
两点形成的视角为
，则
两点之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为在塔顶部测得
两点的俯角分别为
和
，所以在直角三角形
中，
，
可得
，
在直角三角形
中，
，可得
，
在
中，由题知
，由余弦定理得
，得到
.
故选：C.
6．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，
，，若
3
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，则
为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由
，得
，
由正弦定理得
，所以
，
因为
，所以
或
，
所以
或
.即
是等腰或直角三角形.
故选：D.
7．（2023·四川成都·校考模拟预测）在
中，
，
，分别为角
，
，
的对边，已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，由正弦定理可得
，整理可得
，所以
，
为三角形内角，
，∴
，∵
，
，则
，故B 错误；
∵
，
，
，解得
，
由余弦定理
得
，
解得
或
（舍去），故C 正确，D 错误.
又
，所以
，则三角形
为等边三角形，
4
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所以
，则
，故A 错误.故选：C.
8．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）在
中，角
的边分别为
，知
，
，则下列判断中错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
该三角形有两解
C．
周长的最小值为12
D．
面积的最大值
【答案】C
【解析】对于A，
，
，由正弦定理得
，
所以
，故A 正确；
对于B，由正弦定理得
得，所以
，
因为
，则
有两个解，所以该三角形有两解，故B 正确；
对于C，由
，得
，
所以
，当且仅当
时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 错误；
对于D，由选项C 知，
，当且仅当
时取等号，
故
所以
面积的最大值为
，故D 正确.故选：C.
9．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.
据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年
（1057 年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57 米.塔身八面，每面雕有一佛胁
5
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侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视
为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线DB 前进64 米达到E 点，此时看点C 点的仰角为
45°，若
，则该八角观音塔的高AB 约为（ ）（
）
A．63 米
B．61 米
C．57 米
D．54 米
【答案】C
【解析】不妨设
，根据条件可得
，
，
，
，
，
，
米．故选：C．
10．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知
中，角A，B，C 对应的边分别为a、b、c，D 是
AB 上的三等分点（靠近点A）且
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由
，则
，即
，
6
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所以
，
，则
，
设
，则
，且
，
△
中
，则
，
△
中
，则
，
又
，即
，
（
为△
的外接圆半径），
所以
， 即
，
又
，故
，
时，
.
故选：A
11．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）（多选）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
为钝角三角形
C．若
，则
的面积是
D．若
外接圆半径是
，内切圆半径为，则
【答案】BD
【解析】设
，则
，
对于A ，
，故A 不正确；
7
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对于B ，c 最大，所以C 最大，
，故B 正确；
对于C，若
，则
，
，所以
，
所以
的面积是
，故C 不正确；
对于D，若正弦定理
，
的周长
，
，所以内切圆半径为
，所以
.故D 正确.
故选：BD
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）（多选）在
中，内角
，
，
的对边分
别为
，
，，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
边上的中线
长为
B．若
，
，
，则
有两个解
C．若
不是直角三角形，则一定有
D．若
是锐角三角形，则一定有
【答案】CD
【解析】对于A，由
为
的中点得：
，所以
边上的中线
长为
，故A 错误；
对于B，
，
，
，因为
，所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，且
只有一个解，所以
只有一个解，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，
8
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又因为
，所以
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
是锐角三角形，所以
，
又
，所以
，所以
，所以
，
同理
，所以
，故D 正确.故选：CD.
13．（2023 春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）（多选）在
中，内角
、
、
的对边分别是
、
、，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
为等腰三角形
B．若
，则
为等腰三角形
C．若
，
，则
为等边三角形
D．若
，
，
，则
有两解
【答案】AC
【解析】对于A 选项，若
，由正弦定理可得
，则
，
所以，
为等腰三角形，A 对；
对于B 选项，因为
，由正弦定理可得
，
因为
、
中至少有一个是锐角，则
，
从而可知
、
均为锐角，由
可得
，
因为
、
，则
、
，所以，
或
，
所以，
或
，故
为等腰三角形或直角三角形，B 错；
对于C 选项，因为
，
，
9
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由余弦定理可得
，即
，
所以，
，因此，
为等边三角形，C 对；
对于D 选项，因为
，
，
，
由正弦定理
得
，所以，
不存在，D 错.
故选：AC.
14．（2023·天津·统考高考真题）在
中，角
所对的边分別是
．已知
．
(1)求
的值；(2)求的值；(3)求
．
【答案】(1)
(2) (3)
【解析】（1）由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
（2）由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
（舍去）．
（3）由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
故
．
15（2023 春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
且满足
.
10
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(1)求角A；
(2)若
，求△ABC 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，根据正弦定理得：
，
又
，代入上式得：
，
，
又
，所以
，
又
，所以
.
（2）由余弦定理得：
，代入
得：
，
根据基本不等式
，得：
，当且仅当
时，等号成立，
的面积为：
，
故
面积的最大值为
.
16．（2023·天津·校联考模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．满足
．
(1)求角B 的大小；(2)设
，
．（ⅰ）求c 的值；（ⅱ）求
的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
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【解析】（1）由
，
根据正弦定理得，
,
可得
，
因为
，故
，则
，
又
，所以
.
（2）由（1）知，
，且
，
，
（ⅰ）则
，
即
，解得
（舍），
.
故
.
（ⅱ）由
，
得
，
解得
，则
，
则
，
，
则
.
17．（2023·天津河西·统考三模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
12
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.
(1)求
的值；
(2)若
，
（i）求
的值；
（ⅱ）求
的值.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ⅱ）
【解析】（1）由
，且C 是三角形的内角，则
，
因为
，由正弦定理得
，
所以
.
（2）（i）由余弦定理得
，
即
，解得
或
.
（ⅱ）由（1）知
，由
知A 为锐角，得
，
所以
，
，
所以
.
18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角
的内角
的对边分别为
，
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且
．
(1)求
；
(2)若
，角
的平分线交
于点
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，由正弦定理得
，整理得
，
又由余弦定理得
．
因为
，所以
．
（2）如图所示，因为
，
所以
．
又因为
，所以
．
由余弦定理得
，
联立方程组
，可得
，即
，
解得
或
（舍去），
所以
．
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19．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)求
；
(2)已知
的角平分线交
于点
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
所以
，又
，所以
.
（2）因为
，
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，所以
，
所以
，即
的取值范围为
.
20．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且
15
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．
(1)求角A；
(2)若
的外接圆半径为1，求
的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
整理得
，则
，
又因为
，则
．
（2）由正弦定理
，可得
，
由余弦定理得
，
整理得
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的周长为
，
当且仅当
时，取等号，
的周长取到最大值
．
21．（2023·全国·高三专题练习）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A 的值；
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，
16
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即
，
所以
或
（舍去）．
所以
，结合
，得
．
（2）由（1）得:
．
因为
是锐角三角形，所以B，C 均为锐角，
即
，
，所以
，
所以
，
，
所以
的取值范围是
．
22．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，即
，
得
，
17
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由正弦定理可得
，
所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，又
，所以
.
（2）由正弦定理
，
所以
.
因为
为锐角三角形，且
，
所以
，解得
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
的取值范围为
.
23．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）如图，在平面四边形
中，
，
，
．
18
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(1)若
，求
的面积；
(2)若
，
，求
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
，
，由余弦定理得
，
所以
，即
，解得
，
所以
．
（2）设
，
在
中，由正弦定理得
，所以
①，
在
中，
，
，
则
，即
②
由①②得：
，即
，∴
，
整理得
，所以
．
19
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24．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角
中，角
所对的边分别为
，
且
.
(1)求角
的大小；
(2)若边
，边
的中点为
，求中线
长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【解析】（1）由余弦定理得
，
即
，
由正弦定理得
，
，即
，
.
（2）由余弦定理得：
，则
.
由正弦定理得
所以
，
20
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因为
是锐角三角形，所以
，即
，
则
.
中线
长的取值范围是
.
25．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知
、
、分别为
的三个内角
、
、
的
对边长，
，且
．
(1)求角
的值；
(2)求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由条件，可得
，
由正弦定理，得
，所以
，
所以
，因为
，所以
．
（2）由正弦定理，可知
，
，
21
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∵
，∴
，∴
.
26．（2023·天津河北·统考二模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，求边c 及
的值.
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】（1）根据正弦定理，
由
可得
.
即
，即
，
因为
，所以
.
所以
，即
.
（2）由正弦定理
，可得
，解得
，
根据余弦定理可得
，
即
，
，解得
或
（舍去）
故
.
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
22
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所以
.
27．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，若
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
，
所以
可化为
，
所以
，又因为
解得
，又因为
，
所以
.
（2）由余弦定理得
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
又因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以三角形的面积
，当且仅当
时等号成立，
所以三角形面积的最大值为
.
28．（2023·山东烟台·统考三模）在
中，
为
中点，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的长．
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，
，
由余弦定理可知
，
因为
，所以
，
所以
;
（2）在
中，设
,
则由正弦定理
，
即
，得
，所以
，
，
所以
，
所以
，
由正弦定理得：
，即
．
29．（2023 春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）在①
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并
作答.
24
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问题：在
中，角
所对的边分别为
，且__________.
(1)求角
的大小；
(2)已知
，且角
有两解，求
的范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）若选①：整理得
，因为
，
所以
，因为
，所以
；
若选②：因为
，
由正弦定理得
，
所以
，所以
，因为
，所以
；
若选③：由正弦定理整理得
，所以
，
即
，因为
，所以
；
（2）将
代入正弦定理
，得
，所以
，
因为
，角
的解有两个，所以角
的解也有两个，所以
，
即
，又
，所以
，解得
.
30．（2023·全国·统考高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1）
，
，即
，
又
，
，
25
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，
，即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
31．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已
知
，
，
(1)求
的值及
的面积；
(2)
的平分线与BC 交于D，
，求a 的值．
【答案】(1)
，
；(2)
．
【解析】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化得
，
即
，因为B，
，
所以
，
，
所以
，因为在锐角
中，
，所以
．
所以
，因为
，
所以
，解得
，
所以
的面积
.
26
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（2）因为
的平分线与BC 交于D，
，所以
，
即
，所以
，由于
，
所以
，
所以
，所以
．
1．（2023·河南开封·校考模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，
则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
中，
因为
，所以
，则
，
所以
，且
均为锐角，故
，
由余弦定理得
，所以
，
又
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最大值是
.故选：B.
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在
中，
平分
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
27
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【答案】C
【解析】如图，记
，
在
中，
，则
，
在
中，
，则
,
∵
平分
，∴
，∴
，
∴
，∴
∴
，∴
∴
，∴
，
∴
或
，
当
时，
为等腰三角形，∴
，
，∴
；
当
时，
，即
，
∴
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
∵
，∴
的最小值为
.
故选：C.
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
且
，
，则下面四个选项中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
周长的最大值为3
28
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【答案】C
【解析】由于
，所以
，
由正弦定理可得
，
由于
，所以
，由于
是三角形内角，则
，故A 正确；
由余弦定理知
，即
，由于
，
所以
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
又由正弦定理知
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，故
周长的最大值为3，故D 正确；
由
得
，
，
所以
，故C 错误.
故选：C.
4．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC 中，内角A，B，C 的对应边分别为
a，b，c，已知
，且△ABC 的面积为
，则△ABC 周长的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】B
29
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【解析】由题设及三角形内角和性质：
，
根据正弦定理及诱导公式得
，
，
，
，即
，
，则
，则
，解得
,则
，
所以
，则
，
又
仅当
时等号成立，
根据余弦定理得
，即
，
设
的周长为
，则
，
设
，则
，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：
在
上为单调增函数，
故
，故
，当且仅当
时取等.故选：B
5．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（多选）已知
三个内角
、
、
的对
应边分别为
、
、，且
，
.则下列结论正确的是（ ）
A．
面积的最大值为
B．
C．
的最大值为
D．
的取值范围为
30
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【答案】ACD
【解析】对于A 选项，因为
，
，由余弦定理和基本不等式可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，
所以，
的面积的最大值为
，A 对；
对于B 选项，
，B 错；
对于C 选项，由正弦定理可得
，则
，
因为
，则
，所以，
，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为
，C 对；
对于D 选项，因为
，则
，
由题意可知，
，所以，
，
31
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，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
综上所述，
的取值范围为
，D 对.
故选：ACD.
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，且
，则当边取得最大值时，
的周长为________.
【答案】
【解析】因为
，由正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，
因为
、
，所以，
，则
，故
，
由正弦定理可得
，
整理可得
，
因为
，当
时，取最大值，且的最大值为
，
此时，
，
，所以，
，
因此，当边取得最大值时，
的周长为
.
32
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故答案为：
.
7．（2023·河南周口·统考模拟预测）设锐角三角形
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】由
,得
,
由余弦定理得
,
由正弦定理得
,即
,
又
，所以
,
即
,所以
，
因为
为
的内角,所以
(舍去)或
,所以
.
由正弦定理得
因为
,
又
，所以
,
由于
得
，由
，得
，则
，所以
，
当
时，
取最大值
，
33
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当
时，
等于
，
当
时，
等于
，
而
，
所以
取值范围是
，
故答案为：
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且
，边
上有一动点
.
(1)当
为边
中点时，若
，求的长度；
(2)当
为
的平分线时，若
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为
，
所以
，即
.
由正弦定理，得
.
因为
，所以
.
因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
.
因为
为边
中点，所以
，则
.
34
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又
，
所以
，即
，即
，
所以
.
（2）在
中，由余弦定理，得
.
又
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，所以
.
因为
平分
，
所以
，
所以
，
所以
.
令
，则
.
因为
在
上单调递增，
所以当
即
时，
取得最大值为
，
35
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所以
的最大值为
.
9．（2023·全国·统考高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】（1）方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
36
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所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
.
（2）方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
10．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在①
；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
37
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在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若D 为
边上一点，满足
，
，且
______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）选①
，
由正弦定理可得
，
即
，
因为
，故
，
又
，故
.
选②
，
由正弦定理得
，
即
，即
，
即
，而
,
故
，又
，故
.
（2）因为
，故
，
在
中，
，得
,
在
中，
,得
,
38
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故
，而
，
所以
，
由题意知
，
故
，即
的取值范围为
.
11．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，已知
，其中，
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求△ABC 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）方法一：由
，
根据正弦定理边化角得：
，
即
，所以
，
因为
，所以
，又
，所以
，
又
，所以
；
方法二：由
，
根据余弦定理：得
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，又
，得
；
39
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（2）由（1）及余弦定理知
，
所以
，
因为
，
所以
，化简得
，
因为
，
，所以
，
，
所以
，当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的面积
，
所以
面积的最大值为
.
12．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
，且
的面积
.
(1)求
；
(2)若
内一点
满足
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由余弦定理得
，
因为
，所以
，
因为
，则
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
.
（2）解：由（1）知
，
，所以
，所以
，
设
，因为
，所以
，
40
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因为
，所以
，
因为在
中
，由正弦定理
可得
，
在
中，
，则
，则
，
由正弦定理
，即
，所以，
，
因为
，所以
.
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知
分别是
的角
的对边，
.
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由正弦定理及知，
41
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，
由余弦定理得，
，
或
.
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
设
，则
，则
，
设
，
则
在
上单调递增，则
，
即
.
的取值范围为
.
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
.
(1)若
外接圆的半径为
，求
面积的最大值；
(2)若
内切圆的半径为
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
得，
，
42
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所以
，又
，所以
，
所以
，因为
，所以
；
由
外接圆的半径为
，则得
，
由余弦定理得，
，即
，
所以
，解得
所以
，故
面积的最大值为
.
（2）如图，圆
是
的内切圆，切点分别是
、
、
，
由
，内切圆的半径为
，所以
，
则
，
，
所以
，
即得
，
而
，所以
，
所以
，解得
舍去），
所以
，
故
面积的最小值为
.
15．（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图，在
中，
，点
在
延长线上，且
43
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．
(1)求
；
(2)若
面积为
，求
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
,设
,则
,
由余弦定理得
，因为
，
所以
在
中,由正弦定理得
,
在
中,由正弦定理得
,
因为
,所以
整理得
.
（2）由
得
,
由（1）得
,所以
,
44
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在
中,
,
由余弦定理得
.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知锐角三角形
的内角
的对边分别为
，
，，
.
(1)求A；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵
，即
，
由于
，则
，即
，
两边同乘以
可得：
，
则
，且
，解得
.
（2）由题意及正弦定理
，得
，
，
则
，
由（1）可知
，且
为锐角三角形，
45
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则
，解得
，
则
，所以
，
故
的取值范围是
.
17．（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD 中，
，再从条件①，条件②
这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求BD 的长；
(2)求四边形ABCD 的面积．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选①，
；选②，
(2)选①，
；选②，
【解析】（1）选①，由余弦定理得
，
解得
，
选②，在
中，由余弦定理得
，
46
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在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
即
，解得
.
（2）选①，
，
，
故
，
在
中，
，所以
⊥
，故
，
所以四边形ABCD 的面积为
；
选②，
，故
，故
，
因为
，所以
，
故
，
，
故四边形ABCD 的面积为
.
18．（2023·广东广州·统考二模）记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)若点
在
边上，且
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为
，
47
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由余弦定理可得
，
化简可得
，由余弦定理可得
，
因为
，所以，
.
（2）解：因为
，则
为锐角，所以，
，
因为
，所以，
，
所以，
，
设
，则
，
在
和
中，由正弦定理得
，
，
因为
，上面两个等式相除可得
，
得
，即
，
所以，
.
19．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，
.
(1)求
；
48
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(2)若
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：
，
.
由正弦定理得
.
.
因为
，则
，
，
，
则
，
所以，
，即
，
所以，
，
，即
.
（2）解：由（1）得
.
若
，则
、
均为钝角，则
，矛盾，
所以，
，
，此时
、
均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当
时，等号成立，且
为钝角.
，则
，且
为锐角，
49
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由
，解得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
，
.
因此，
面积的最小值为
.
20．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD 中，
，
，
．
(1)求
；
(2)若
，
，求四边形ABCD 的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图，在
中，由正弦定理可得
，
在
中，由正弦定理可得
．
因为
，所以
，所以
．
而
，
，故
，
又
，所以得到
．
因为
，故
，故
．
（2）因为
，且
，
50
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故
，
为等边三角形．
所以
，
因为
，
，所以
，
故梯形ABCD 的面积
．
21．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
为
的垂心，
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可得，
结合正弦定理可得
，即
，
∴
，又
，∴
.
（2）设边
，
上的高分别为
，
则
为
与
的交点，
则在四边形
中，
，
∵
，∴
，故
，
在
中，
，
，
则
，即
，
当且仅当
时取等号.∴
，故
面积的最大值为
.
51
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22．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形
内接于圆O，内角
，对角线AC 的长为
7，圆
的半径为
.
(1)若
，
，求四边形
的面积；
(2)求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图所示，连结
，
在
中，
，
，
52
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所以
，
因为
，所以
，则
，
因为
，所以
为等边三角形，
，
，
，
在
中，
，即
，
又
，
，
.
（2）设
，
，
则在
中，
，
，则
，即
，故
，
因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
，则
，
，故
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
周长的最大值为
.
23．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
53
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．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求四边形ABCD 的外接圆半径R；
(2)求
内切圆半径r 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，
，
所以
，由正弦定理，
，可得
，
再由余弦定理，
，又
，所以
.因为
，
所以
，所以A，B，C，D 四点共圆，
则四边形ABCD 的外接圆半径就等于
外接圆的半径.
又
，所以
.
（2）由（1）可知：
，则
.
，
则
.
在
中，由正弦定理，
，所以
，
，则
54
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，
又
，所以
，所以
，
，所以
.
55
