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5.4 正余弦定理（精讲）
一．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
边化角：a＝2Rsin A b＝2RsinB c＝2RsinC
角化边：sin A＝ sin B＝， sin C＝；
a∶b∶c＝sinA sin
∶
B sin
∶
C
＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
二．三角形常用面积公式
1
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1.S＝a·ha(ha表示边a 上的高)．
2.S＝absin C＝acsin_B＝bcsin_A．
3.S＝r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)．
三．三角形解的判断
A 为锐角
A 为钝角
或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
四．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
五．盘点易错易混
1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R
2.三角形中的大角对大边：在△ABC 中，A＞B⇔a＞b
sin
⇔
A＞sin
B．
3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
一．正、余弦定理的选用
1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角
形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
二．求解三角形面积问题
1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，
代入公式求面积．
2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形
恰当选择面积公式是解题的关键．
三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
2.若式子中含有
、
、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
2
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4.代数式变形或者三角恒等变换前置；
5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
考法一 常见的边角互换模型
【例1-1】（2023 春·湖南）在
中，内角
的对边分别为
，且满足
，若
，则
外接圆的半径长为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2022·安徽马鞍山·一模）已知
的内角
的对边分别为
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-4】（2022·重庆）在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，记
外接圆半径为
，
且
，则角
的大小为________．
3
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【一隅三反】
1．（2023 春·广东茂名·高三统考阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，
，则A＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已
知
，
，则c＝（ ）
A．4
B．6
C．
D．
3．（2023 春·福建南平）（多选）在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·四川）设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，则A=
（ ）
A．
B．
C．
D．
考法二 三角形的周长与面积
【例2-1】（2023·广东）在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
4
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，
，则
的面积为______.
【例2-2 】（2023·山东青岛·统考三模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B；
(2)若c＝3a，D 为AC 中点，
，求
的周长．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求
积”，设
的三个内角
所对的边分别为
，
，，面积为S，则“三斜求积”公式为
，若
，
，则用“三斜求积”公式求得
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在
中，角A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，其中
，C 为钝角，且
.
(1)求角B 的大小；
(2)若
的面积为6，求
的周长.
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3．（2023·湖北武汉·统考三模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；
(2)若
，求
的面积.
考法三 三角形的中线与角平分线
【例3-1】（2023·湖北）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
.
6
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(1)求B.
(2)若
，
，___________，求
.
在①D 为AC 的中点，②BD 为∠ABC 的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【例3-2】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知
为
的内角
所对的
边，向量
,
，且
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，且
，求线段
的长．
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）在
中，
，
，D 为BC 上一点，AD 为
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的平分线，则
_________．
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
的平分线交AB 于点D，且
，
，求
的面积.
3.（2023 春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设
的内角
所对的边分别为
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，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
边上的中线
，求
的面积．
考法四 三角形中的取值范围
【例4-1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角
中，内角
的对边分别为
，
，，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2023·江西上饶·统考二模）在
中，
，则
的最小值（ ）
A．-4
B．
C．2
D．
【例4-3】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在
中，若
，则
的最大值为______．
【例4-4】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知在
中，角
，
，
的对边分别是
，
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，，面积为，且_____．
在①
，②
；③
这三个条件中任选一个，补充在
上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
(1)求
；
(2)若
，点
是
边的中点，求线段
长的取值范围．
【一隅三反】
1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，
则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，
，
的平分线交
于
，若
，则
的最小值为____.
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
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(1)求A 的大小；
(2)设AD 是BC 边上的高，且
，求
面积的最小值．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
2ccosC=bcosA+acosB.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
的周长的取值范围.
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5．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，且
．
(1)求
的外接圆半径R；
(2)求
内切圆半径r 的取值范围．
考法五 三角形解的个数
【例5】（2023 春·江苏连云港）由下列条件解
，其中有两解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【一隅三反】
1．（2023 春·重庆）
中，
是角
的对边，
，则此三角形有（ ）
A．一个解
B．2 个解
C．无解
D．解的个数不确定
2．（2023·贵州·统考模拟预测）
中，角
的对边分别是
，
，
.若这个三角形
有两解，则
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在下列关于
的四个条件中选择一个，能够使角
被唯一确定的
是：（ ）
①
②
；
③
；
④
.
A．①②
B．②③
C．②④
D．②③④
考法六 正余弦定理在几何中应用
【例6-1】（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在
中，
，点
在边
上，
．
(1)求
的长；
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(2)若
的面积为
，求
的长．
【例6-2】（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形
中，对角线
与
相交于点
，
，
，
，
.
(1)求
的面积；
(2)求
的值及
的长度.
.
【一隅三反】
1．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，过点
作
，交线段
于点
，且
，
，
.
(1)求
；
(2)求
的面积.
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2．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，
中，角
、
、
的对边分别为
、
、.
(1)若
，求角
的余弦值大小；
(2)已知
、
，若
为
外接圆劣弧
上一点，求
周长的最大值.
3．（2023·广东惠州·统考一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，
四边形
的顶点在同一平面上，已知
．
(1)当
长度变化时，
是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
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(2)记
与
的面积分别为
和
，请求出
的最大值．
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