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6.3 利用递推公式求通项（精讲）
一．公式法求通项
1.条件特征：前n 项和与项或项数的关系
2.解题思路
①当n＝1 时，由a1＝S1求a1的值．
②当n≥2 时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式
③检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an．
④写出an的完整表达式．
二．累加法
1. 条件特征：a后−a前= f (n)
2. 解题思路
1
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三．累乘法
1.条件特征：
2.解题思路
四．构造法
1.形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a 型
(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；
(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；
(3)若p≠1 且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，
又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝(p≠1)，所以an＋1＋＝p，
即构成以a1＋为首项，以p 为公比的等比数列．
2.形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)型
（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，引入辅助数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，再用待定系
数法解决；
（2）也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得＝＋·，引入辅助数列{bn}，得bn＋1－bn＝，再利用叠加法(逐
差相加法)求解．
3.形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b 型
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0 的两个根，若1 是方程的根，则直接
构造数列{an－an－1}，若1 不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
2
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4. 形如an＋1＝型
两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q 型，求出的表达式，再求an．
考法一 公式法求通项
【例1-1】（2022·四川·什邡中学）数列
的前
项和
，则它的通项公式是_______．
【例1-2】（2023 春·安徽合肥）已知数列
的前
项和
，则
的通项公式
【例1-3】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列
满足
，
，
则数列
的通项公式为___________.
【一隅三反】
1．（2023 陕西）已知数列
前
项和为
，且
，则求数列
的通项公式；.
2．（2023·全国·高三专题练习）记
为数列
的前n 项和，若
，则
______
3．（2023 云南）已知正项数列
的前
项和为
，且满足
求
的通项公式：
4．（2023 春·安徽）在数列
中
，当
时，
，则其通项公式为
___．
考法二 累加法求通项
3
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【例2-1】（2023 春·北京）若数列
满足
，则通项公式为
__________.
【例2-2】（2023 春·安徽马鞍山）在数列
中，
，
，则
【例2-3】（2023 江苏）已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式 ；
【一隅三反】
1．（2023 春·江苏盐城）设等差数列
满足
，
，且
，
，则
2．（2023 北京）设数列
满足
，则
=_______.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列
满足
，
，则数列
的通
项公式为______．
考法三 累乘法求通项
【例3-1】（2023 海南）已知在数列
中，
，求数列
的通项公式
【例3-2】（2023 春·广东佛山·）已知
，
，则数列
的通项公式是
【一隅三反】
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1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
满足
，
，则
的通项公式为
___________．
2．（2023 黑龙江）设数列
是首项为1 的正项数列，且
，则它的通项公式
______.
3．（2023·广东深圳）数列
满足：
，
，则数列
的通项公式
考法四 构造等比数列
【例4-1】（2023·吉林）已知数列
中，
，且
（
，且
），则数列
的通
项公式为__________．
【例4-2】（2023·北京）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
_____________.
【例4-3】（2023·辽宁抚顺市）已知
是数列
的前
项和，
，
，
，求数列
的通项公式 ；
【一隅三反】
1．（2023 广西）若数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为
_________.
2.（2023 黑龙江）已知数列
的前
项和为
，且
，求数列
的通项公式 ；
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3（2023 湖北）设
为数列
的前
项和，
，且
，数列
的通项公式 ；
考法五 构造等差数列
【例5-1】（2023 春·云南临沧）已知数列
中，
数列
的通项公式
【例5-2】（2023 河北）已知数列
的首项
，且各项满足公式
，则数列
的
通项公式为
A．
B．
C．
D．
【例5-3】（2022·江西）已知数列
满足：
，
（
，
），则
___________.
【一隅三反】
1．（2023·安徽）已知数列
满足
，求数列
的通项公式 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列
中，
，
．求数列
的通项公式
；
3（2023 广东湛江）已知数列中，，，求数列的通项公式 .
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