文档文本内容
2019 年福建省泉州市永春县数学模拟试卷
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求的.
1．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
2．已知关于x，y 的方程组
的解满足方程3x+2y＝19，则m 值是（ ）
A．1 B．﹣1
C．19
D．﹣19
3．我省2013 年的快递业务量为1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业
务迅猛发展，2014 年增速位居全国第一．若2015 年的快递业务量达到4.5 亿件，设2014 年与2015 年
这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）＝4.5
B．1.4（1+2x）＝4.5
[来源&:z*zstep.co@~m%]
C．1.4（1+x）2＝4.5
D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5[ww%w*.zzs~t&ep.co#m]
4．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5＝0 的两根，则此三角形的周长是
（ ）
A．11
B．7 C．8 D．11 或7[来源:%@中~&教*网]
5．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线
AC 上的点F 处，若∠EAC＝∠ECA，则AC 的长是（ ）
[中国教^育@出~&版网%]
A．
B．6 C．4 D．5
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
经过点A，作AB⊥x 轴于点B，将△ABO 绕点B 顺时针
旋转60°得到△BCD，若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为（ ）
[中%国教^育@出版~*网]
A．
B．
（5，1）C．
D．（6，1）[来^*源:%zzstep&.com@]
7．若0＜m＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37 根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣3m
D．有两个根，其中一根大于﹣m
8．如图，直角边长为1 的等腰直角三角形与边长为2 的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左
向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s 与t
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，点A.B 是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C，且点B 为线段
AC 中点，过点A 作AD⊥x 轴子点D，点E 为线段OD 的三等分点，且OE＜DE．连接AE.BE，若S△ABE＝
7，则k 的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9
D．﹣6
10．如图，已知AD 为△ABC 的高，AD＝BC，以AB 为底边作等腰Rt△ABE，EF∥AD，交AC 于F，连ED，EC，
有以下结论：
①△ADE≌△BCE
②CE⊥AB
③BD＝2EF
④S△BDE＝S△ACE
其中正确的是（ ）[来源:zzs@t#e^*%p.com]
A．①②③
B．②④C．①③D．①③④[来^源~:中国教#育出版网%@]
二、填空题：本题共6 小题，每小题4 分，共24 分.
11．近似数3.60×105 精确到____位．[w&@ww.z%zste~p.c^om]
12．已知m 是关于x 的方程x2﹣2x﹣3＝0 的一个根，则2m2﹣4m＝________．[中~国&^教育出%版网@]
13．在△ABC 中，AB＝9，AC＝6．点M 在边AB 上，且AM＝3，点N 在AC 边上．当AN＝____时，△AMN 与原
三角形相似．
[来源:中国教*%育#^出@版网]
14．将从1 开始的连续自然数按以下规律排列：
第1 行
1
第2 行
2
3
4
第3 行
9
8
7
6
5
第4 行
10
11
12
13
14
15
16
第5 行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
…
则2018 在第_____行．[w^ww.z&zst@e%p.com*]
15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝
x+1 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，以x 轴为对称
轴作直线y＝
x+1 的轴对称图形的直线l2，点A1，A2，A3…在直线l1 上，点B1，B2，B3…在x 正半
轴上，点C1，C2，C3…在直线l2 上，若△A1B1O、△A2B2B1.△A3B3B2.…、△AnBnBn﹣1 均为等边三角
形，四边形A1B1C1O、四边形A2B2C2B1.四边形A3B3C3B2…、四边形AnBn∁nBn﹣1 的周长分别是
l1.l2.l3.…、ln，则ln 为 _______（用含有n 的代数式表示）[来@^源~:#中国教育出版网%]
16．如图，正方形ABCD 中，AB＝2，E 是BC 中点，CD 上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM 沿着BM 翻折得
到△BFM．连接DF、CF，则DF+
FC 的最小值为_________．
三、解答题：本题共9 小题，共86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[w*w^w.zzste&~p.c@om]
17．
（8 分）先化简，再求值：
+（
+1）÷
，然后从﹣
≤x≤
的范围内选取一个
合适的整数作为x 的值带入求值．
18．（8 分）某中学为推动“时刻听党话 永远跟党走”校园主题教育活动，计划开展四项活动：A：党
史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛．校团委对学生最喜欢的一项活
动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2 两幅不完整的统计图．请结合图中
信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______学生；
（2）将图1 的统计图补充完整；
（3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4 个学生中只有1 名女生，现从这4 名学生中任
意抽取2 名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概
率．
19．（8 分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A.B.C，已知AB＝700 米，AC＝500 米，B 点位于A 点的南
偏西60.7°方向，C 点位于A 点的南偏东66.1°方向．景区规划在线段BC 的中点D 处修建个湖心亭，
并修建观景栈道AD．求A，D 间的距离．（结果精确到0.1 米）[来~@^#&源:中教网]
（参考数据：sin53.2°≈0.80 ，cos53.2°≈0.60 ，sin60.7°≈0.87 ，cos60.7°≈0.49 ，
sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，
≈1.414）．
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．
过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C，在y 轴负半轴上取一点D，使OD＝
OC，且△ACD 的面积是6，
连接BC．
（1）求m，k，n 的值；
（2）求△ABC 的面积．
21．（8 分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的
篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC 两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x 的值；
（2）若在P 处有一棵树与墙CD，AD 的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考
虑树的粗细），求花园面积S 的最大值．
22．（10 分）如图，在△ABC 中．AB＝AC，AD⊥BC 于D，作DE⊥AC 于E，F 是AB 中点，连EF 交AD 于点G．
（1）求证：AD2＝AB•AE；
（2）若AB＝3，AE＝2，求
的值．
23．（10 分）菱形ABCD 中，点P 为CD 上一点，连接BP．
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD 边长为10，PD＝4，连接AP，求AP 的长．
（2）如图2，连接对角线AC.BD 相交于点O，点N 为BP 的中点，过P 作PM⊥AC 于M，连接ON、MN．试判断
△MON 的形状，并说明理由．
24．（12 分）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图
1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD 与线段MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB1D1，边AD1 交FM 于点K（如图2），
设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β 的度数；
（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2 与AD 交于点P，A2M2 与BD 交于点N，当
NP∥AB 时，求平移的距离．
25．
（14 分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A.B 两
点，A 点的坐标为（m，4），B 点的坐标为（3，2），连接OA.OB，过B 作BD⊥y 轴，垂足为D，交OA 于C．若
OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）在直线BD 上是否存在一点E，使得△AOE 是直角三角形，求出所有可能的E 点坐标．
[来源%:@中国教~#育出^版网]
[来&源:z*zstep.c@~om%]
参考答案
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求的.
1．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（ ）[中国&^教~育#出*版网]
A．20° B．30° C．40° D．70°
【分析】延长ED 交BC 于F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°，根据三角形
外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．[ww~w.zzs@t^ep&.#com]
【解答】解：延长ED 交BC 于F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC＝75°，
∴∠MFC＝∠B＝75°，
∵∠CDE＝145°，
∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°，[来#%源@:~中教^网]
∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC 的度数，注意：
两直线平行，同位角相等．
2．已知关于x，y 的方程组
的解满足方程3x+2y＝19，则m 值是（ ）[中%国教&育*^~出版网]
A．1 B．﹣1
C．19
D．﹣19
【分析】先解关于x，y 二元一次方程组，求得用m 表示的x，y 的值后，再代入3x+2y＝19，建立关于m
的方程，解出m 的数值．
【解答】解：
，[w#~@ww&.zzste*p.com]
①+②得x＝7m，[来源:zz@s~&tep#.co^m]
①﹣②得y＝﹣m，
依题意得3×7m+2×（﹣m）＝19，
∴m＝1．[中*&%@国教育~出版网]
故选：A．[www.zzste*@p.c&%o~m]
【点评】此题考查二元一次方程组的解，本题实质是解二元一次方程组，先用m 表示的x，y 的值后，再
求解关于m 的方程，解方程组关键是消元．
3．我省2013 年的快递业务量为1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业
务迅猛发展，2014 年增速位居全国第一．若2015 年的快递业务量达到4.5 亿件，设2014 年与2015 年
这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）＝4.5
B．1.4（1+2x）＝4.5
C．1.4（1+x）2＝4.5
D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5[来源^:%zzstep.com~#*]
【分析】根据题意可得等量关系：2013 年的快递业务量×（1+增长率）2＝2015 年的快递业务量，根据
等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2014 年与2015 年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2＝4.5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化
前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
4．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5＝0 的两根，则此三角形的周长是
（ ）
A．11
B．7 C．8 D．11 或7
【分析】本题要先通过解方程求出等腰三角形的两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形
的腰和底的长，进而求出三角形的周长．[来^源#:中教&~网%]
【解答】解：解方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝5，x2＝1；
∵当底为5，腰为1 时，由于5﹣1＞1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
∴等腰三角形的底为1，腰为5；
∴三角形的周长为1+5+5＝11．
故选：A．
【点评】此题是一元二次方程的解法结合几何图形性质的应用，结果要结合三角形三边关系来检验．
是一道难度适中的综合题．
5．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线
AC 上的点F 处，若∠EAC＝∠ECA，则AC 的长是（ ）
A．
B．6 C．4 D．5
【分析】根据折叠的性质得到AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，根据等腰三角形的性质得到AF＝CF，于是
得到结论．
【解答】解：∵将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
经过点A，作AB⊥x 轴于点B，将△ABO 绕点B 顺时针
旋转60°得到△BCD，若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为（ ）
A．
B．
（5，1）C．
D．（6，1）
【分析】根据直线解析式求出点A 的坐标，然后求出AB.OB，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出
∠C＝30°，CD∥x 轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定
理列式求出CE，然后求出点C 的横坐标，再写出点C 的坐标即可．
【解答】解：∵AB⊥x 轴于点B，点B 的坐标为（2，0），
∴y＝2
，
∴点A 的坐标为（2，2
），
∴AB＝2
，OB＝2，
由勾股定理得，OA＝
＝
＝4，
∴∠A＝30°，∠AOB＝60°，
∵△ABO 绕点B 顺时针旋转60°得到△BCD，
∴∠C＝30°，CD∥x 轴，
设AB 与CD 相交于点E，则BE＝
BC＝
AB＝
×2
＝
，
CE＝
＝
＝3，[来%源#:@中教&^网]
∴点C 的横坐标为3+2＝5，[中国~@^教#&育出版网]
∴点C 的坐标为（5，
）．
故选：A．
[中国~教育出@*版&网%]
【点评】本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出△AOB 的
各角的度数以及CD∥x 轴是解题的关键．
7．若0＜m＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37 根的情况是（ ）[www.z%@z#step.~co&m]
A．无实数根
B．有两个正根
[中@*国&教育^出#版网]
C．有两个根，且都大于﹣3m
D．有两个根，其中一根大于﹣m
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝37（m2﹣4），然后根据m 的范围得到△＜0，
从而根据判别式的意义可得到正确选项．
【解答】解：方程整理为x2+7mx+3m2+37＝0，[来#^&源*:@中教网]
△＝49m2﹣4（3m2+37）
＝37（m2﹣4），
∵0＜m＜2，[来#源%@:*中教网&]
∴m2﹣4＜0，[来源:zz@s%tep~.c*&om]
∴△＜0，[来#源:~中国%教*育@出版网]
∴方程没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的
交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了判别式的意义．
8．如图，直角边长为1 的等腰直角三角形与边长为2 的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左
向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s 与t
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据直角边长为1 的等腰直角三角形与边长为2 的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线
从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤
时，以及当
＜t≤2 时，当2＜t≤3 时，求出函数关系
式，即可得出答案．[中^国教育&#*~出版网]
【解答】解：∵直角边长为1 的等腰直角三角形与边长为2 的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线
从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s，[来源#~@:*zzstep&.com]
由勾股定理得，
＝
∴s 关于t 的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s 增大，[来&源:zz~s#t*ep.@com]
当0≤t≤
时，s＝
×1×1+2×2﹣
＝
﹣
t2；
当
＜t≤2 时，s＝
×12＝
；
当2＜t≤3 时，s＝
﹣
（3﹣t）2＝
t2﹣3t，
∴A 符合要求，故选A．
【点评】此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出函数关系式情况
是解决问题的关键．
9．如图，点A.B 是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C，且点B 为线段
AC 中点，过点A 作AD⊥x 轴子点D，点E 为线段OD 的三等分点，且OE＜DE．连接AE.BE，若S△ABE＝
7，则k 的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9
D．﹣6
【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（
m，0），由AB＝BC，推出B（
，
），根据点B 在y＝
上，推出
•
＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据
S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设A（m，
），C（0，n），则D（m，0），E（
m，0），
∵AB＝BC，
∴B（
，
），
∵点B 在y＝
上，[来%源:@~z&zste#p.com]
∴
•
＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA．
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，[来@源:zz#ste&p%.com*]
∴14＝
•（﹣
m）•
+
•n•（﹣m）﹣
•（﹣
m）•n，
∴14＝﹣
k﹣
+
，
∴k＝﹣12．
故选：A．[来源:&中#教*@网~]
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中
考选择题中的压轴题．
10．如图，已知AD 为△ABC 的高，AD＝BC，以AB 为底边作等腰Rt△ABE，EF∥AD，交AC 于F，连ED，EC，
有以下结论：
①△ADE≌△BCE[www.zz&ste@p%.com*^]
②CE⊥AB
③BD＝2EF
④S△BDE＝S△ACE
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②④C．①③D．①③④
【分析】只要证明△ADE≌△BCE，△KAE≌△DBE，EF 是△ACK 的中位线即可一一判断；
【解答】解：如图延长CE 交AD 于K，交AB 于H．设AD 交BE 于O．
∵∠ODB＝∠OEA，∠AOE＝∠DOB，
∴∠OAE＝∠OBD，
∵AE＝BE，AD＝BC，[中国^*教育#&~出版网]
∴△ADE≌△BCE，故①正确，
∴∠AED＝∠BEC，DE＝EC，
∴∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴∠ECD＝∠ABE＝45°，
∵∠AHC＝∠ABC+∠HCB＝90°+∠EBC＞90°，
∴EC 不垂直AB，故②错误，
∵∠AEB＝∠HED，
∴∠AEK＝∠BED，
∵AE＝BE，∠KAE＝∠EBD，[来#%源:中&^*教网]
∴△KAE≌△DBE，
∴BD＝AK，
∵△DCK 是等腰直角三角形，DE 平分∠CDK，[中国&教育%出版~网*#]
∴EC＝EK，
∵EF∥AK，
∴AF＝FC，
∴AK＝2EF，
∴BD＝2EF，故③正确，
∵EK＝EC，[中*国教^&%育#出版网]
∴S△AKE＝S△AEC，
∵△KAE≈△DBE，
∴S△KAE＝S△BDE，
∴S△BDE＝S△AEC，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．[w^&ww.zzst%~ep.#com]
二、填空题：本题共6 小题，每小题4 分，共24 分.
11．近似数3.60×105 精确到 千 位．
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：因为0 所在的数位是千位，所以3.60×105 精确到 千位．
故答案是：千．
【点评】本题主要考查科学记数法和有效数字，对于用科学记表示的数，有效数字的计算方法，与精确
到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
12．已知m 是关于x 的方程x2﹣2x﹣3＝0 的一个根，则2m2﹣4m＝ 6 ．
【分析】根据m 是关于x 的方程x2﹣2x﹣3＝0 的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m 值，本题得以解
决．
【解答】解：∵m 是关于x 的方程x2﹣2x﹣3＝0 的一个根，[ww@w%.zzstep^.#com~]
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m＝6，[中^国教@育出版~*&网]
故答案为：6．[来源:中%@#国教育出~版&网]
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．在△ABC 中，AB＝9，AC＝6．点M 在边AB 上，且AM＝3，点N 在AC 边上．当AN＝ 2 或4.5 时，
△AMN 与原三角形相似．
【分析】分别从△AMN∽△ABC 或△AMN∽△ACB 去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答
案．
【解答】解：由题意可知，AB＝9，AC＝6，AM＝3，
①若△AMN∽△ABC，
则
＝
，
即
＝
，
解得：AN＝2；
②若△AMN∽△ACB，
则
＝
，
即
＝
，
解得：AN＝4.5；
故AN＝2 或4.5．
故答案为：2 或4.5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关
键．[来&源:中教^网%~@]
14．将从1 开始的连续自然数按以下规律排列：
第1 行
1
第2 行
2
3
4
第3 行
9
8
7
6
5
第4 行
10
11
12
13
14
15
16
第5 行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
…
则2018 在第 45 行．[中&国教育*%出@~版网]
【分析】通过观察可得第n 行最大一个数为n2，由此估算2018 所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，
∴2018 在第45 行．
故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用
发现的规律解决问题．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝
x+1 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，以x 轴为对称
轴作直线y＝
x+1 的轴对称图形的直线l2，点A1，A2，A3…在直线l1 上，点B1，B2，B3…在x 正半
轴上，点C1，C2，C3…在直线l2 上，若△A1B1O、△A2B2B1.△A3B3B2.…、△AnBnBn﹣1 均为等边三角
形，四边形A1B1C1O、四边形A2B2C2B1.四边形A3B3C3B2…、四边形AnBn∁nBn﹣1 的周长分别是
l1.l2.l3.…、ln，则ln 为
（用含有n 的代数式表示）[来源%&:#中国教育出版~网*]
【分析】依据直线l1：y＝
x+1，可得∠BAO＝30°，进而得出∠AA1O＝30°，AO＝A1O＝
，C1O＝
A1B1＝
，分别求得四边形A1B1C1O、四边形A2B2C2B1.四边形A3B3C3B2 的周长，根据规律可得四边
形AnBn∁nBn﹣1 的周长．
【解答】解：由直线l1：y＝
x+1，可得A（﹣
，0），B（0，1），[www.zzst&ep#@.c^o%m]
∴AO＝
，BO＝1，[来源:zzst%^ep#*.c~om]
∴∠BAO＝30°，
又∵∠A1OB1＝60°，
∴∠AA1O＝30°，
∴AO＝A1O＝
，
由轴对称图形可得，C1O＝A1B1＝
，
∴四边形A1B1C1O 的周长l1 为4
；
同理可得，AB1＝A2B1＝2
，四边形A2B2C2B1 的周长l2 为8
，
AB2＝A3B2＝4
，四边形A3B3C3B2 的周长l3 为16
，
以此类推，AnBn∁nBn﹣1 的周长ln 为
，
故答案为：
．
[来&#源@:^*中教网]
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的
性质的运用，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．如图，正方形ABCD 中，AB＝2，E 是BC 中点，CD 上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM 沿着BM 翻折得
到△BFM．连接DF、CF，则DF+
FC 的最小值为
．
【分析】取BG＝
，连接FG，首先证明△BGF∽△BFC，从而可得到FG＝
FC，然后依据三角形的三边关
系可知DF+
FC＝DF+FC≤DG，然后依据勾股定理求得DG 的值即可．
【解答】解：如图所示：取BG＝
，连接FG．[来~^#源:中国教育出版网&@]
∵BC＝2，E 是BC 的中点，
∴BE＝1．
由翻折的性质可知BF＝BE＝1．
∵BF＝1，BC＝2，GB＝
，
∴BF2＝BC•GB．
∴
．
又∵∠FBG＝∠FBC，
∴△BGF∽△BFC，
∴
＝
＝
，
∴FG＝
FC．[来源:@&zzstep#^.%com]
∴DF+
FC＝DF+FC≤DG＝
＝
＝
．
∴DF+
FC 的最小值为
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、三角形的三边关系，够造△NGF
使△BGF∽△BFC 是解题的关键．
三、解答题：本题共9 小题，共86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．
（8 分）先化简，再求值：
+（
+1）÷
，然后从﹣
≤x≤
的范围内选取一个
合适的整数作为x 的值带入求值．[来源:中国%^@教*育~出版网]
【分析】根据分式的加减、乘除法则，先对分式进行化简，然后选取合适的整数代入．注意代入的整数
需使原分式有意义．[中*@^国%教育出~版网]
【解答】解：原式
+
×
＝﹣
+
＝
∵﹣
≤x≤
所以x 可取﹣2．﹣1，0，1
由于当x 取﹣1.0、1 时，分式的分母为0，所以x 只能取﹣2．
当x＝﹣2 时，原式＝8．
【点评】本题主要考查了根式的化简求值．解决本题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序．注意
代入的值需满足分式有意义．
18．（8 分）某中学为推动“时刻听党话 永远跟党走”校园主题教育活动，计划开展四项活动：A：党
史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛．校团委对学生最喜欢的一项活
动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2 两幅不完整的统计图．请结合图中
信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生；
（2）将图1 的统计图补充完整；
（3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4 个学生中只有1 名女生，现从这4 名学生中任
意抽取2 名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概
率．
【分析】（1）根据A 活动的人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数减去A.C.D 的人数求出B 活动的人数，据此补全统计图可得；[中#国*教育%出&版网@]
（3）列表得出所有等可能结果，再从中找到恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而根据概率公式
计算可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为6÷15%＝40 人，[w#~ww.zz&ste%p.c@om]
故答案为：40；
[来源^*:&@中~教网]
（2）B 项活动的人数为40﹣（6+4+14）＝16，
补全统计图如下：
（3）列表如下：[中@~国教*%育出版#网]
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
由表可知总共有12 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果
有6 种，
所以抽到一名男生和一名女生的概率是
，即
．[来&源:中^国@教育出*版网#]
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A 或B 的结果数目m，求出概率．
19．（8 分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A.B.C，已知AB＝700 米，AC＝500 米，B 点位于A 点的南
偏西60.7°方向，C 点位于A 点的南偏东66.1°方向．景区规划在线段BC 的中点D 处修建个湖心亭，
并修建观景栈道AD．求A，D 间的距离．（结果精确到0.1 米）[来@源%:&中国*教~育出版网]
（参考数据：sin53.2°≈0.80 ，cos53.2°≈0.60 ，sin60.7°≈0.87 ，cos60.7°≈0.49 ，
sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，
≈1.414）．[中国教育出版~*#%@网]
【分析】作CE⊥BA 于E．在Rt△ACE 中，求出CE，连接AD，作DF⊥AB 于F．，则DF∥CE．首先求出DF、
AF，再在Rt△ADF 中求出AD 即可．
【解答】解：作CE⊥BA 于E，
在Rt△AEC 中，∠CAE＝180°﹣60.7°﹣66.1°＝53.2°，[来~@源^:中国教#育*出版网]
∴CE＝AC•sin53.2°≈500×0.8＝400 米．
连接AD，作DF⊥AB 于F，则DF∥CE，
∵BD＝CD，DF∥CE，
∴BF＝EF，
∴DF＝
CE＝200 米，[www.zz^s%#t@ep.~com]
∵AE＝AC•cos53.2°≈300 米，
∴BE＝AB+AE＝1000 米，
∴AF＝
EB﹣AE＝200 米，
在Rt△ADF 中，AD＝
＝200
≈282.8 米，
答：A，D 间的距离为282.8m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．
过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C，在y 轴负半轴上取一点D，使OD＝
OC，且△ACD 的面积是6，
连接BC．
（1）求m，k，n 的值；
（2）求△ABC 的面积．
【分析】（1）由点A 的纵坐标为2 知OC＝2，由OD＝
OC 知OD＝1.CD＝3，根据△ACD 的面积为6 求得m
＝4，将A 的坐标代入函数解析式求得k，将点B 坐标代入函数解析式求得n；[ww^w.%zzste~p*.@com]
（2）作BE⊥AC，得BE＝2，根据三角形面积公式求解可得．
【解答】解：（1）∵点A 的坐标为（m，2），AC 平行于x 轴，
∴OC＝2，AC⊥y 轴，
∵OD＝
OC，
∴OD＝1，
∴CD＝3，
∵△ACD 的面积为6，
∴
CD•AC＝6，
∴AC＝4，即m＝4，[中国教*&%育出^版网~]
则点A 的坐标为（4，2），将其代入y＝
可得k＝8，
∵点B（2，n）在y＝
的图象上，
∴n＝4；[来源@:#%zzste~&p.com]
（2）如图，过点B 作BE⊥AC 于点E，则BE＝2，
∴S△ABC＝
AC•BE＝
×4×2＝4，
即△ABC 的面积为4．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据三角形的面积求得点A 的坐标及待定
系数法求函数解析式是解题的关键．
21．（8 分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的
篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC 两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x 的值；
（2）若在P 处有一棵树与墙CD，AD 的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考
虑树的粗细），求花园面积S 的最大值．
【分析】（1）根据AB＝x 米可知BC＝（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；
（2）根据P 处有一棵树与墙CD.AD 的距离分别是18 米和8 米求出x 的取值范围，再根据（1）中的函数
关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）设AB＝x 米，可知BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝252．
解这个方程得：x1＝18，x2＝14，
答：x 的长度18m 或14m．
（2）设周围的矩形面积为S，
则S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256．
∵在P 处有一棵树与墙CD，AD 的距离是17m 和6 米，
∴6≤x≤15．
∴当x＝15 时，S 最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）．
答：花园面积的最大值是255 平方米．[中国教育出@^&版网#*]
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解答此题的关键．
[来源:中#国教育^@出版网*%]
22．（10 分）如图，在△ABC 中．AB＝AC，AD⊥BC 于D，作DE⊥AC 于E，F 是AB 中点，连EF 交AD 于点G．
（1）求证：AD2＝AB•AE；
（2）若AB＝3，AE＝2，求
的值．
【分析】（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得
＝
，推出AD2＝AC•AE 即可解决问题；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得
＝
＝
＝
，由此即可解决问
题；
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC 于D，作DE⊥AC 于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，[中国&教育%出~版网#*]
∴
＝
，
∴AD2＝AC•AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB•AE．
[来源:中%@#国教育出~版&网]
（2）解：如图，连接DF．
∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DF＝
AB＝
，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，[中&国^教育出#版网@~]
∴DF∥AC，
∴
＝
＝
＝
，
∴
＝
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻
找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．[来源^:&*@中~教网]
23．（10 分）菱形ABCD 中，点P 为CD 上一点，连接BP．
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD 边长为10，PD＝4，连接AP，求AP 的长．
（2）如图2，连接对角线AC.BD 相交于点O，点N 为BP 的中点，过P 作PM⊥AC 于M，连接ON、MN．试判断
△MON 的形状，并说明理由．[来源:%中国教@^育#*出版网]
【分析】（1）在RT△BCP 中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP 中利用勾股定理求出PA 即可．
（2）如图2 中，延长PM 交BC 于E．先证明PD＝BE，再利用三角形中位线定理证明MN＝
BE，ON＝
PD
即可．
【解答】解：（1）如图1 中，∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD
∵PD＝4，
∴PC＝6，
∵PB⊥CD，[来源&:^*%中#教网]
∴PB⊥AB，[中%国教^育@出版~*网]
∴∠CPB＝∠ABP＝90°，[来源*%:zzstep.@com^&]
在RT△PCB 中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，
∴PB＝
＝
＝8，
在RT△ABP 中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，
∴PA＝
＝
＝2
．
（2）△OMN 是等腰三角形．
理由：如图2 中，延长PM 交BC 于E．
∵四边形ABCD 是菱形，[来@源:中*&国%教育#出版网]
∴AC⊥BD，CB＝CD，
∵PE⊥AC，
∴PE∥BD，
∴
＝
，
∴CP＝CE，[ww#w.zzs*tep.com~@^]
∴PD＝BE，
∵CP＝CE，CM⊥PE，
∴PM＝ME，
∵PN＝NB，
∴MN＝
BE，
∵BO＝OD，BN＝NP，
∴ON＝
PD，
∴ON＝MN，
∴△OMN 是等腰三角形．
【点评】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添
加辅助线构造，利用三角形中位线定理解决问题，属于中考常考题型．
24．（12 分）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图
1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD 与线段MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；[来源:zzs^@te*#p.c~om]
（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB1D1，边AD1 交FM 于点K（如图2），
设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β 的度数；
（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2 与AD 交于点P，A2M2 与BD 交于点N，当
NP∥AB 时，求平移的距离．
【分析】（1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图
1），得BD＝MF，△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM＝30°，进而可得∠DNM 的大小．[w#@~w*w.zzst&ep.com]
（2）分两种情形讨论①当AK＝FK 时，②当AF＝FK 时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A 的长度．在矩形PNA2A 中，A2A＝PN，只要求出PN 的长度就行．用
△DPN∽△DAB 得出对应线段成比例，即可得到A2A 的大小．[中#国教育~&出版网*@]
【解答】解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM 交BD 于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．
又∵∠DMN＝∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，
∴∠DNM＝90°，
∴BD⊥MF．[www&.z~z*s#tep.com@]
（2）如图2，
①当AK＝FK 时，∠KAF＝∠F＝30°，
则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
即β＝60°；[来&源:@中教#*~网]
②当AF＝FK 时，∠FAK＝
（180°﹣∠F）＝75°，
∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，
即β＝15°；
综上所述，β 的度数为60°或15°；
（3）如图3，[www#.z@zs*tep.c%om~]
[来源*:%@中#教网&]
由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x，[来源:#z~zstep&.c%o*m]
在Rt△A2M2F2 中，∵F2M2＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，
∴A2M2＝8，A2F2＝8
，
∴AF2＝8
﹣x．
∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，
∴AP＝AF2•tan30°＝8﹣
x，
∴PD＝AD﹣AP＝8
﹣8+
x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP＝∠B．
∵∠D＝∠D，
∴△DPN∽△DAB，
∴
＝
，
∴
＝
，
解得x＝12﹣4
，即A2A＝12﹣4
，
∴平移的距离是（12﹣4
）cm．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，
等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类
思想的运用．
25．
（14 分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A.B 两
点，A 点的坐标为（m，4），B 点的坐标为（3，2），连接OA.OB，过B 作BD⊥y 轴，垂足为D，交OA 于C．若
OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）在直线BD 上是否存在一点E，使得△AOE 是直角三角形，求出所有可能的E 点坐标．
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A 的坐标，再用待定系数法求出
一次函数解析式；[中%国^教*育@出~版网]
（2）先求出OB 的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝
的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝
，
∵点A 的纵坐标为4，
∵点A 在反比例函数y＝
图象上，
∴A（
，4），
∴
，
∴
，
∴一次函数的表达式为y＝﹣
x+6；
[www.z@zs^te%p~.com#]
（2）如图1，过点A 作AF⊥x 轴于F 交OB 于G，
∵B（3，2），
∴直线OB 的解析式为y＝
x，
∴G（
，1），
A（
，4），
∴AG＝4﹣1＝3，
∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝
×3×3＝
．
[来源:zz@s&te~p#.c%om]
（3）如图2 中，①当∠AOE1＝90°时，∵直线AC 的解析式为y＝
x，
∴直线OE1 的小时为y＝﹣
x，
当y＝2 时，x＝﹣
，[中国教育出版~*网%@#]
∴E1（﹣
，2）．
②当∠OAE2＝90°时，可得直线OE2 的解析式为y＝﹣
x+
，[w#~@ww&.zzste*p.com]
当y＝2 时，x＝
，
∴E2（
，2）．
③当∠OEA＝90°时，易知AC＝OC＝CE＝
，
∵C（
，2），
∴可得E3（
，2），E4（
，2），
综上所述，满足条件的点E 坐标为（﹣
，2）或（
，2）或（
，2）或（
，2）．
[www.zzs&@t#%ep.^com]
[来^%&源@:中#教网]
【点评】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性
质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
