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用相似三角形解决问题—知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；
2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把
实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，
有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影
称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身
的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小
在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长
也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时
刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
要点二、中心投影
若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中
心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪
的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的
物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，
影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在
同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
要点诠释：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向
也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
要点三、中心投影与平行投影的区别与联系
1.联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，
通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡
的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一
灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯
光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
2.区别：
（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子
与物体高度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不
同方向.
要点诠释：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进
一步解决问题.
要点四、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清ID 号：394500 关联的位置名称（播放点名称）：应用
举例及总结】
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出
AB 的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.
要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=
；
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于
其对应高的比；
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典型例题】
类型一、投影的应用
1．
（2015 秋•宝安区月考）如图，AB 是公园的一圆形桌面的主视图，MN 表示该桌面在路灯下的影子；
CD 则表示一个圆形的凳子．
（1）请你在答题卡中标出路灯O 的位置，并画出CD 的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN 为2m，求路灯O 与地面的距离．
【思路点拨】（1）延长MA、NB，它们的交点即为路灯O 的位置，然后再连结OC、OD，并延长交地面与P、
Q 点，则PQ 为CD 的影子；
（2）作OF MN
⊥
交AB 于E，如图，AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，证明△OAB
OMN
△
∽
，利用相似比计算
出OF 即可得到路灯O 与地面的距离．
【答案与解析】
解：（1）如图，点O 和PQ 为所作；
（2）作OF MN
⊥
交AB 于E，如图，AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，
AB MN
∥
∵
，
OAB
OMN
∴△
△
，
AB
∴
：MN=OE：OF，即1.2：2=（OF
1.2
﹣
）：OF，解得OF=3（m）．
答：路灯O 与地面的距离为3m．
【总结升华】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．中心投影的
光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．也考查了相
似三角形的判定与性质．
举一反三
【变式】某一广告墙PQ 旁有两根直立的木杆AB 和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD 的影子刚好不落
在广告墙PQ 上，
（1）你在图中画出此时的太阳光线CE 及木杆AB 的影子BF；
（2）若AB=6 米，CB=3 米，CD 到PQ 的距离DQ 的长为4 米，求此时木杆AB 的影长．
【答案】
解：（1）如图所示：
（2）设木杆AB 的影长BF 为x 米，
由题意，得
= ，
解得x=
．
答：木杆AB 的影长是
米．
2．如图，身高1.6 米的小明从距路灯的底部（点O）20 米的点A 沿AO 方向行走14 米到点C 处，小
明在A 处，头顶B 在路灯投影下形成的影子在M 处．
（1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P 的位置和小明在C 处，头顶D 在路灯投影下形成的影子N 的位
置．
（2）若路灯（点P）距地面8 米，小明从A 到C 时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案与解析】
解：（1）如图
（2）设在A 处时影长AM 为x 米，在C 处时影长CN 为y 米．
由
，解得x=5，
由
，解得y=1.5，
∴x
y=5
1.5=3.5
﹣
﹣
∴变短了，变短了3.5 米．
【总结升华】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，读懂题目信息，列出两个影长的表达式是解题
的关键．
类型二、相似三角形的应用
3. 如图，一条4m 宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这
条道路的占地面积为 m2．
【思路点拨】作DE⊥AC 于点E，根据∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，得到∠BAE=∠ADE，从
而得到△DAE∽△ACB，利用相似比求得AB 的长，进而利用平行四边形的面积公式求解即可．
【答案与解析】
解：如图，作DE⊥AC 于点E，
∵道路的宽为4m，
∴DE=4m，
∵AD=5m
∴AE=3m
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=∠ADE
∴△DAE∽△ACB
∴
=
即：
解得：AB=16，
∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2）．
【总结升华】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是构造相似三角形进而求得线段AB 的长．
4.（2014•杭州模拟）“未爱广场”旗杆AB 旁边有一个半圆的时钟模型，如图，时钟的9 点和3 点的
刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2 米，旗杆的底端A 到钟面9 点刻度C 的距离为5 米，一天小明观察
到阳光下旗杆顶端B 的影子刚好投到时钟的11 点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6 米，求旗
杆AB 的高度？
【答案与解析】
解：如图，过点D 作DE AC
⊥
于E，作DF AB
⊥
于F，设半圆圆心为O，连接OD，
∵点D 在11 点的刻度上，
COD=60°
∴∠
，
DE=
∴
OD=2×
=
，
OE= OD=2× =1，
CE=2
1=1
∴
﹣
，
DF=AE=5+1=6
∴
，
∵同时测得一米长的标杆的影长1.6 米，
∴
=
，
BF=
∴
=
，
AB=BF+DE=
∴
（
+
）米．
【总结升华】本题考查了相似三角形的应用，作辅助线构造出直角三角形和矩形是解题的关键．
举一反三
【变式】如图1 是小红家阳台上放置的一个晒衣架，如图2 是晒衣架一端横切面的示意图，立杆AB、CD 相
交于点O，B、D 两点立于地面，经测量；AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全
稳固张开，此时扣链EF 成一条线段，EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD．
（2）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说
明理由．
【答案】
（1）证明：证法一：∵AB、CD 相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA= （180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD=∠ODB= （180°﹣∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD，
∴AC∥BD，
证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，
∴OB=OD=85cm，
=
= ，
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD；
∴AC∥BD；
（2）解：小红的连衣裙会拖落到地面；
在Rt△OEM 中，OM=
=30（cm），
过点A 作AH⊥BD 于点H，
同（1）可证：EF∥BD，
∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，
∴
=
，AH=
=
=120（cm），
所以小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．小红的连衣裙会拖落到地
面．
