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第二十一章 一元二次方程周周测5
一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（共5 小题，每小题3 分，满分15 分）
1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0 的两个根分别是x1、x2，则x1
2x2+x1x2
2的值为（ ）
A．﹣3
B．3 C．﹣6
D．6
2．已知α、β 是方程2x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ）
A．B．
C．3 D．
3．设a、b 是方程x2+x﹣2014=0 的两个实数根，则a2+2a+b 的值为（ ）
A．2014 B．2013 C．2012 D．2011
4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华
看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0
C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0 的解，下列叙述何者正确（ ）
A．无解B．有两正根
C．有两负根D．有一正根及一负根
二、填空题（共8 小题，每小题3 分，满分24 分）
6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0 的两根，则x1+x2=______，x1x2=______．
7．若关于x 的方程2x2﹣mx+n=0 的两根为﹣3 和4，则m=______，n=______．
8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0 的两实数根，那么
的值为______．
9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0 的两根，且2x1（x2
2+6x2﹣3）+a=4，则a=______．
10．设α，β 是一元二次方程x2+3x﹣7=0 的两个根，则α2+4α+β=______．
11．若关于x 的方程x2﹣5x+k=0 的一个根是0，则另一个根是______，k=______．
12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC 的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个
符合题意的一元二次方程______．
13．若方程x2﹣kx+6=0 的两根分别比方程x2+kx+6=0 的两根大5，则k 的值是______．
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三．解答题：
14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：
（1）3x2+2x﹣3=0
（2）x2+x=6x+7．
15．已知实数a，b 分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求
+
的值．
16．已知关于x 的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2
（1）求m 的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m 的值．
18．关于x 的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m 的值及方程的根．
参考答案与试题解析
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一、选择题（共5 小题，每小题3 分，满分15 分）
1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0 的两个根分别是x1、x2，则x1
2x2+x1x2
2的值为（ ）
A．﹣3
B．3 C．﹣6
D．6
【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0 的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1，
∴x1
2x2+x1x2
2=x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．
故选A．
2．已知α、β 是方程2x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ）
A．B．
C．3 D．
【解答】解：因为α、β 是方程2x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根，
所以α+β=
，αβ=﹣
，
又因为（α﹣2）（β﹣2）
=αβ﹣2（α+β）+4
=﹣
﹣2×
+4
=
．
故选A
3．设a、b 是方程x2+x﹣2014=0 的两个实数根，则a2+2a+b 的值为（ ）
A．2014 B．2013 C．2012 D．2011
【解答】解：∵a 是方程x2+x﹣2014=0 的实数根，
∴a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴原式=2014+a+b，
∵a、b 是方程x2+x﹣2014=0 的两个实数根，
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∴a+b=﹣1，
∴原式=2014﹣1=2013．
故选B．
4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华
看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0
C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错
两根为﹣2，5，两根之和正确，
故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，
那么以α、β 为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，
故选：B．
5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0 的解，下列叙述何者正确（ ）
A．无解B．有两正根
C．有两负根D．有一正根及一负根
【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，
又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣
=2＞0，x1•x2=
=﹣
＜0，
所以有一正根及一负根．
故选D．
二、填空题（共8 小题，每小题3 分，满分24 分）
6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0 的两根，则x1+x2=
，x1x2= ﹣
．
【解答】解：x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0 的两根，则x1+x2=
，x1x2=﹣
．
故答案为：
，﹣
．
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7．若关于x 的方程2x2﹣mx+n=0 的两根为﹣3 和4，则m=
2
，n= ﹣
24
．
【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4=
，（﹣3）×4=
解得：m=2，n=﹣24，
故答案为：2，﹣24．
8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0 的两实数根，那么
的值为 ﹣
．
【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0 的两实数根，
∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8，
∴
=
=﹣
．
故答案是：﹣
．
9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0 的两根，且2x1（x2
2+6x2﹣3）+a=4，则a=
10
．
【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0 的根，
∴x2
2+5x2﹣3=0，
∴x2
2+5x2=3，
∵2x1（x2
2+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1•x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0 的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10．
10．设α，β 是一元二次方程x2+3x﹣7=0 的两个根，则α2+4α+β=
4
．
【解答】解：∵α，β 是一元二次方程x2+3x﹣7=0 的两个根，
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∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0，
∴α2+3α=7，
∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4，
故答案为：4．
11．若关于x 的方程x2﹣5x+k=0 的一个根是0，则另一个根是
5
，k=
0
．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得0+t=5，0•t=k，
所以t=5，k=0．
故答案为5，0．
12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC 的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个
符合题意的一元二次方程
x 2 ﹣5x
+ 6=0
（答案不唯一）
．
【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC 的两条直角边长，且S△ABC=3，
∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，
∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，
故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．
13．若方程x2﹣kx+6=0 的两根分别比方程x2+kx+6=0 的两根大5，则k 的值是
5
．
【解答】解：设方程x2+kx+6=0 的两根分别为a、b，则方程x2﹣kx+6=0 的两根分别为a+5，b+5，
根据题意得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，
所以10﹣k=k，
解得k=5．
故答案为：5．
三．解答题：
14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：
（1）3x2+2x﹣3=0
（2）x2+x=6x+7．
【解答】解：（1）设x1，x2是一元二次方程的两根，
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所以x1+x2=﹣
，x1x2=﹣1；
（2）方程化为一般式为x2﹣5x﹣7=0，
设x1，x2是一元二次方程的两根，
所以x1+x2=5，x1x2=﹣7．
15．已知实数a，b 分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求
+
的值．
【解答】解：∵a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，
∴a，b 可看作方程x2﹣6x+4=0 的两根，
∴a+b=6，ab=4，
∴原式=
=
=
=7．
16．已知关于x 的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2
（1）求m 的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；
∵原方程有两个实数根，
∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤
；
（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0 的两根，
∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤
；
因而y 随m 的增大而减小，故当m=
时，取得最小值1．
17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．
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（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m 的值．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0 有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1；
（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，
解方程组
，
解得
，
∴m=x1•x2=
．
18．关于x 的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m 的值及方程的根．
【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣
）2+
，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1•x2=
=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
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若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，
解得：x1=﹣1+
，x2=﹣1﹣
，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，
∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，
解得：x1=1﹣
，x2=1+
．
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