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第二十一章 一元二次方程 （能力提升）
考试时间：120 分钟
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1、若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根,则一次函数
的
大致图象可能是
D
C
B
A
O
O
O
O
x
y
x
y
x
y
y
x
【答案】B
【分析】根据一元二次方程x2
2
﹣x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，
得到判别式大于0，求出kb 的符号，对各个图象进行判断即可．
【解析】∵x2
2
﹣x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，
=4
4
∴△
﹣（kb+1）＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A 不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B 正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C 不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确；
故选：B．
【考点】根的判别式；一次函数的图象．.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别
式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原
价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这
两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为或
等与现有字母不
冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9 的基础上增加了，那么就是到了
；
接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市
之后的
，它是在
的基础上增加到了
倍（请注意增加和增加到的区
别），因此，现在的股价是
，也就是
。
【解析】跌停后，股价为0.9，连续两天按照的增长率增长后，股价为
，
根据题意，得方程
，那么正确选项为B。
【考点】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质
【点评】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？
其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。
3、根据下列表格中代数式
与的对应值，判断方程
的一个根
的大致范围是( )
6.17
6.18
6.19
6.20
－0.03
－0.01
0.02
0.06
A．6< x <6.17 B．6.17< x <6.18 C．6.18< x <6.19 D．6.19< x <6.20
【答案】C
【解析】当6.18< x <6.19 时，
的值由负连续变化到正，
说明在6.18< x <6.19 范围内一定有一个
的值，使
，
即是方程
的一个解.故选C.
【考点】利用夹逼法求近似解
4.已知2 是关于x 的方程x2
2
﹣mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC
的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）
A． 10
B． 14
C． 10 或14
D．
8 或10
【答案】B
【分析】先将x=2 代入x2
2
﹣mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2
8
﹣x+12=0，
利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：
①当6 是腰时，2 是等边；②当6 是底边时，2 是腰进行讨论．
注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解析】∵2 是关于x 的方程x2
2
﹣mx+3m=0 的一个根，
2
∴
2
4
﹣m+3m=0，m=4，∴x2
8
﹣x+12=0，解得x1=2，x2=6．
①当6 是腰时，2 是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6 是底边时，2 是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．故选B．
【考点】解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形性质．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定
理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
5．已知
分别是三角形的三边长，则一元二次方程
的根的
情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
解析：因为
又因为
分别是三角形的三边长，所以
所以
所以方程没有实数根.故答案选A
【考点】一元二次方程根的判别式。
6、方程
的全体实数根之积为（ ）
A、60 B、
C、10 D、
【答案】A
[来源:Zxxk.Com]
【分析】设
，原方程化成
，再整理成整式方程求解即可。
【解析】设
，则
∴
，解得
，
当
时，
，解得
当
时，
，解得
或
∴
【考点】换元法解分式方程。
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把
看成一个整体来计算，即
换元法思想。
7、若方程
是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）．
A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对
【答案】B．
【解析】A、当a=b=c 时，a-b=0，b-c=0，则式子不是方程，故错误；
B、把x=1 代入方程的左边：a-b+b-c+c-a=0．方程成立，
所以x=1 是方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0 的解；
C、把x=-1 代入方程的左边：a-b+c-b+c-a=2（c-b）=0 不一定成立，故选项错误；故选B．
【考点】一元二次方程的解
8、我们解一元二次方程3x2
6
﹣x=0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x
2
﹣）=0，从而
得到两个一元一次方程：3x=0 或x
2=0
﹣
，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学
思想是（ ）
A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想
【答案】A
【解析】我们解一元二次方程3x2-6x=0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0 或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0 ，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想。（即将我们不熟悉的一元二次方程转化为熟悉的一元一次方
程），故选A．
【考点】数学思想
9、定义：如果一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
满足
0
a
b
c
，那么我们称这个方程为
“凤凰”方程. 已知
2
0(
0)
ax
bx
c
a
是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结
论正确的是
A．a
c
B．a
b
C．b
c
D． a
b
c
【答案】B．
【分析】由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【解析】由条件可知a+b+c=0，所以b=-(a+c)，
又因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，整理可得（a-c）2=0，所以a=c，故选B．
【考点】根的判别式
【点评】本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0 和b2-4ac=0
是解题的关键．
10、小刚在解关于x 的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–
1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】∵小刚在解关于x 的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，
解出其中一个根是x=–1，∴（–1）
2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，
则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c 的值是解题关键．
11、有两个一元二次方程：M：
2
0
ax
bx
c
，N：
2
0
cx
bx
a
，其中
0
a
c
，以下列四
个结论中，错误的是( )
A、如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根；
B、如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同；
C、如果5 是方程M 的一个根，那么1
5
是方程N 的一个根；
D、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是
1
x
.
【答案】D.
【解析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系对各选项逐一分析作出判断：
A、∵M 有两个不相等的实数根，∴△＞0，即
2
4
0
b
ac
.
∴此时N 的判别式△＝
2
4
0
b
ac
，故它也有两个不相等的实数根.
B、∵M 的两根符号相同：即
1
2
0
c
x
x
a
，∴N 的两根之积＝a
c
＞0，故N 两个根也是同号的.
C、如果5 是M 的一个根，则有：25
5
0
a
b
c
①，我们只需要考虑将1
5
代入N 方程看是否成
立，代入得：1
1
0
25
5
c
b
a
②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25 得到，故②
式成立.
D、比较方程M 与N 可得：将M－N 得到：
2
a
c x
a
c
，∴
1
x
.
故可知，它们如果有根相同的根可是1 或1
.故选D.
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.
12、已知实数m，n 满足
，
，则
（ ）.
A、
B、2009 C、－2009 D、
[来源:学科网]
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据题意：由
得：
；由
得：
，又因为
，即
，因此可以把
，
作为一元二次方程
的两根，由根与系数的关系得：
.
【解析】∵
，
∴
，
∵
∴
∴把
，
作为一元二次方程
的两根
∴
【点评】本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已
知进行变形是关键所在，不要忽视了
这个条件隐含的题意。
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
13．如图，在一块长12m，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各
与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题
意，可列方程为__________．
【答案】（12–x）（8–x）=77
【解析】∵道路的宽应为x 米，∴由题意得，（12–x）（8–x）=77，
故答案为：（12–x）（8–x）=77．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形
地面的最上边和最左边是做本题的关键．
14、等腰三角形三边长分别为
，且
是关于
的一元二次方程
的
两根，则
的值为 ．
【答案】10.
【解析】由题意可知，等腰三角形有两种情况:
当a, b 为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系,
可得a+b=6 ,所以a=b=3，ab=9=n-1, 解得n=10;
当2 为腰时，a=2 (或b=2),此时2+b=6 (或a+2=6),
解得b=4 (a=4),这时三边为2, 2, 4,不符合三角形三边关系，故不合题意.
所以n 只能为10.故选B
【考点】1.等腰三角形，2.一元二次方程根与系数的关系.
15、对于实数a，b，定义运算“﹡”：a
b=
﹡
．例如4
2
﹡，因为4＞2，所以4﹡
2=42
4×2=8
﹣
．若x1，x2是一元二次方程x2
5x+6=0
﹣
的两个根，则x1
x
﹡2=
【答案】3 或﹣3
【分析】首先解方程x2
5x+6=0
﹣
，再根据a
b=
﹡
，求出x1
x
﹡2的值即可．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2
5x+6=0
﹣
的两个根，
∴（x
3
﹣）（x
2
﹣）=0，解得：x=3 或2，
①当x1=3，x2=2 时，x1
x
﹡2=32
3×2=3
﹣
；
②当x1=2，x2=3 时，x1
x
﹡2=3×2
3
﹣2=
3
﹣．
故答案为：3 或﹣3．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行
分类讨论是解题关键．
16、已知关于x 的方程
的两根分别为
和1，则方程
的两根为 .
【答案】
，
【分析】因为方程的两个根为
和1，所以方程可以方程因式为
，用含a 的式
子表示b 和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
【解析】∵
的两根为
和1 ∴
整理得：
∴
，
把b，c 代入方程
，得：
∴
，
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a 的式
子表示b 和c，然后把b，c 代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
17、如果m，n 是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2020=
．
【答案】2031
【分析】由于m，n 是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n 是x2﹣x
3=0
﹣
的
两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=
3
﹣，又n2=n+3，利用它们可以
化简2n2﹣mn+2m+2020=2（n+3）﹣mn+2m+2020=2n+6﹣mn+2m+2020=2（m+n）﹣mn+2026，然后
就可以求出所求的代数式的值．
【解析】由题意可知：m，n 是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n 是x2﹣x
3=0
﹣
的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=
3
﹣，又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2020=2（n+3）﹣mn+2m+2020=2n+6﹣mn+2m+2020
=2（m+n）﹣mn+2026=2×1﹣（﹣3）+2026=2+3+2026=2031．
故答案为：2031．
【考点】根与系数的关系．.
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之
积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
18、如果关于x 的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，
则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确
说法的序号）．
①方程
是倍根方程；
②若
是倍根方程，则
；
③
，则关于
的方程
是倍根方程；
④若方程
是倍根方程，且
，则方程
的一个根为
．
【答案】②③．
【解析】研究一元二次方程
是倍根方程的一般性结论，
设其中一根为，则另一个根为
，因此
，
所以有
；我们记
，即
时，方程
为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
对于①，
，因此本选项错误；
对于②，
，而
，[来源:学|科|网]
∴
，因此本选项正确；
对于③，显然
，而
，因此本选项正确；
对于④，由倍根方程的结论知
，又
，从而有
，所以方程变为：
，∴
，∴
，
，因此本选项错误．
故答案为：②③．
【考点】1．新定义；2．根与系数的关系．
三、解答题（共46 分）
19.（6 分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC 和
RtBED 的边长，已知
，这时我们把关于 x 的形如
二次方程称为
“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”
，必有实数根；
(3)若 x 1是“勾系一元二次方程”
的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6
，求ABC 的面积．
【答案】（1）
(答案不唯一)（2）见解析（3）1.
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程
的解代入求出a,b,c 的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
【解析】（1）当a=3,b=4,c=5 时，勾系一元二次方程为
；
[来源:学科网]
（2）依题意得△=（
）
2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）
2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1 代入得a+b=
c； ∵四边形 ACDE 的周长是6
，
即2(a+b)+
c=6
，故得到c=2，∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab∴ab=2,故ABC 的面积为
ab=1.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方
公式的应用.
20、（8 分）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120 元的价格进货．
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140 元时，月均销量为980 个，售价每增长10 元，
月均销量就相应减少30 个，若使这种背包的月均销量不低于800 个，每个背包售价应不高于多少
元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150 元，
而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800
个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000 元，求在实际销售过程中每个背包售
价为多少元？
【答案】(1) 200 元;(2) 190 元
【分析】（1）设每个售价应为x 元，根据月销量=980-30×
，结合月销量不低于800 个，即
可得出关于x 的一元一次不等式；
（2）根据总利润=每个利润×销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出
结论．
【解析】（1）设使背包的月销量不低于800 个，每个售价是x 元，
980﹣30×
≥800，解得x≤200，
故要使背包的月销量不低于800 个，每个售价应不高于200 元．
（2）由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150]•800（1+5a%）＝40000，
整理，得：a%﹣20 （a%）
2＝0， 解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）．
故200（1﹣a%）＝190（元）
答：在实际销售过程中每个背包售价为190 元．…
【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题，解题关
键是利润问题中数量关系，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和
方程，再求解．
21、（8 分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。
例：解方程
2
1
1
0
x
x
解：(1)当
1
0
x
即
1
x 时．
1
1
x
x
，[来源:学科网]
原方程化为
2
(
1) 1
0
x
x
，即
2
0
x
x
，解得
1
2
0
1
x
x
，
．
∵
1
x ，故
0
x
舍去，
1
x
是原方程的解
(2)当
1
0
x
即
1
x 时．
1
(
1)
x
x
，
原方程化为
2
(
1) 1
0
x
x
，即
2
2
0
x
x
，解得
1
2
1
2
x
x
，
．
∵
1
x ，故
1
x
舍去，
2
x 是原方程的解．
综上所述，原方程的解为
1
2
1
2
x
x
，
。
解方程：
2
2
2
4
0
x
x
【分析】把
2
2
2
4
0
x
x
中的绝对值去号求解，分别讨论即可。
【解析】(1)当
2
0
x
即
2
x 时．
2
2
x
x
，
原方程化为
2
2(
2)
4
0
x
x
，即
9
10
)
1
(
2
x
，解得
1
2
0
2
x
x
，
。
∵
2
x ，故
1
2
0
2
x
x
，
是原方程的解。
(2)当
2
0
x
即
2
x 时．
2
(
2)
x
x
，
原方程化为
2
2(
2)
4
0
x
x
，即
2
2
8
0
x
x
，解得
1
2
4
2
x
x
，
。
∵
2
x ，故
1
2
4
2
x
x
，
不是原方程的解。
综上所述，原方程的解为
1
2
0
2
x
x
，
。
【考点】绝对值，解一元二次方程。
22. （8 分）关于x 的一元二次方程x2﹣3x+k＝0 有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是
符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0 与方程x2﹣3x+k＝0 有一个相同的根，
求此时m 的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0 解得x1＝1，x2＝2，把x＝1
和x＝2 分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0 求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤
；
（2）k 的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0 变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0 与方程x2﹣3x+k＝0 有一个相同的根，
∴当x＝1 时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝
；
当x＝2 时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，
∴m 的值为
．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关
系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，
方程无实数根．
23．(8 分)阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它
转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一
元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于
“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共
同的基本数学思想
转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因
式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0 和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0 的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0 的解是x1=0,x2=
，
x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程
的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m 的绳子的
一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪
边沿PD、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP 的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP 的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，
把无理方程转化为整式方程，求解，
【解析】（1）
，
，
所以
或
或
，
，
；故答案为
，1；
（2）
，方程的两边平方，得
即
；
；
或
，
，
当
时，
，所以
不是原方程的解．
所以方程
的解是
；
（3）因为四边形
是矩形，所以
，
设
，则
因为
，
，
两边平方，得
；整理，得
两边平方并整理，得
；即
；所以
．
经检验，
是方程的解．答：
的长为
．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，
根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
24．(8 分)实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每
次抽奖时可以从100 张面值分别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任
意抽取2 张、3 张、4 张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一
次抽取5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决
问题的方法．
探究一：（1）从1，2，3 这3 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2 个整数
1，2
1，3，
2，3
2 个整数之和
3
4
5
如表①，所取的2 个整数之和可以为3，4，5，也就是从3 到5 的连续整数，其中最小是3，最大是
5，所以共有3 种不同的结果．
（2）从1，2，3，4 这4 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2 个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2 个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2 个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3 到7 的连续整数，其中最小是3，
最大是7，所以共有5 种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共
有______种不同的结果．
探究二：（1）从1，2，3，4 这4 个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有___ 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共
有______种不同的结果．
探究三：从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数，这4 个整数之和
共有______种不同的结果．
归纳结论：从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100 张面值分别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5 张奖
券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36 这36 个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204 种不
同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整
数，这
个整数之和共有______种不同的结果．
【答案】探究一：（3）
；（4）
（
，
为整数）；探究二：（1）
（2）
；
探究三：
归纳结论：
（
为整数，且
，＜
＜
）；问题解决：
；
拓展延伸：（1）
个或
个；（2）
．
【解析】探究一：（3）如下表：
取的2 个整数
2 个整数之和
所取的2 个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9 也就是从3 到9 的连续整数，其中最小是3，最
大是9，所以共有7 种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和的
最小值是3，和的最大值是
所以一共有
种．
探究二：（1）从1，2，3，4 这4 个整数中任取3 个整数，如下表：
取的3 个整数
1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
3 个整数之和
6
7
8
9
从1，2，3，4 这4 个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有4 种，
（2）从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取3 个整数，
这3 个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有7 种，
从而从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取3 个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有
种，
探究三：从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取4 个整数， 这4 个整数之和最小是
最大是
，
所以这4 个整数之和一共有5 种，
从1，2，3，4，5，6 这6 个整数中任取4 个整数， 这4 个整数之和最小是
最大是
，
所以这4 个整数之和一共有9 种，
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数，
这4 个整数之和的最小值是10，和的最大值是
，
所以一共有
种不同的结果．
归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取2 个整数，这
2 个整数之和共有
种．
探究二，从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和
共有
种，
探究三，从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数，这4 个整数之和
共有
种不同的结果．
从而可得：从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有
种不同的结果．
问题解决：从100 张面值分别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5 张奖券，这5 张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有
种不同的优惠金额．
拓展延伸：（1）
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个
整数，这
个整数之和共有
种不同的结果．
当
有
或
或
从1，2，3，…，36 这36 个整数中任取29 个或7 个整数，使得取出的这些整数之和共有204 种不
同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，等同于从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中
任取
个整数，
所以：从3，4，5，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整
数，这
个整数之和共有
种不同的结果．
【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自
主探究的方法是解题的关键．
