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专题一 集合与常用逻辑用语
A 基础夯实
1.已知集合A={1,2,3,5},B={2,3},那么A∪B=
( )
A.{2,3}
B.{1,5}
C.{1,2,3,5}
D.{3}
2.已知命题p:∀x>0,(x+1)ex>1,则命题p 的否定为( )
A.∀x≤0,(x+1)ex≤1 B.∃x≤0,(x+1)ex≤1
C.∀x>0,(x+1)ex≤1 D.∃x>0,(x+1)ex≤1
3.已知集合U={-1,1,3,5,7,9},A={1,5},B=
{-1,5,7},则∁U(A∪B)
( )
A.{3,9}
B.{1,5,7}
C.{-1,1,3,9}
D.{-1,1,3,7,9}
4.全集U=Z,集合A={x|-2<x<2,x∈N},B={-1,0,1,2},则(∁UA)∩B=
( )
A.{-1,2} B.{-1,0}
C.{0,1}
D.{2}
5.已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=
( )
A.{1,2}
B.{1,2,3}
C.{1,3}
D.{1,2,3,5}
6.集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|x-1<0},则A∩B=
( )
A.{x|x≥1}B.{x|-1≤x<1}
C.{x|x<-1}
D.{x|-2≤x<1}
7.设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=
( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}
8.若全集U={-1,0,1,2},A={x|(x+2)(x-1)<0,x∈Z},则∁UA=
( )
A.{2}
B.{1,2}
C.{-1,2} D.{-1,1,2}
9.已知全集U={1,2,3,5,8},集合A={x|x<3,x∈U},B={2},则(∁UA)∪B=( )
A.{2,3,5,8}
B.{1,2}
C.{2,5,8} D.{1,2,3}
10.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},如图中阴影部分所表示的集合为
(
)
A.{1}
B.{0,1}
C.{1,2}
D.{0,1,2}
11.已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.设x∈R,则“|x-2|<1”是“ x +2
x−1
>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.设x∈R,则“ x-1
2
<1
2”是“x3<1”的( )
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A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2021·滨海七校期末)对于实数a,b,“b<a<0”是“1
b
>1
a
”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.“|x|≠|y|”是“x≠y”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.已知直线l1:(a-2)x+ay+3=0,l2:x+(a-2)y+4=0,其中a∈R,则“a=-1”是“l1⊥l2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
17.“α=π
3 +kπ(k∈Z)”是“tan α-π
6
=
❑√3
3 ”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
18.“a,b,c 成等比数列”是“a2,b2,c2成等比数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
19.在△ABC 中,“sin A=sin B”是“A=B”的
( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
20.设x∈R,则“1
x <1”是“
1
2
x>1”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B 能力提升
一、选择题
1.已知集合A={x|y=lg(x2-x)},B={x|1≤2x≤4},则A∪B= ( )
A.(1,2]
B.R
C.(-∞,0)∪(1,2]
D.(-∞,2]
2.设i 是虚数单位,条件p:复数a-1+bi(a,b∈R)是纯虚数,条件q:a=1,则p 是q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知向量a=(x,1),b=(4,x),则“x=2”是“a∥b”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知A 是△ABC 的内角,则“cos A=1
2”是“sin A=
❑√3
2
”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设p:“事件A 与事件B 互斥”,q:“事件A 与事件B 互为对立事件”,则p 是q 的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
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C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.设θ∈R,则“ θ-π
2
<π
2 ”是“sin θ>0”的
( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以表示为( )
A.M∩N B.(∁UM)∩N
C.M∩(∁UN)
D.(∁UM)∩(∁UN)
8.已知x,y 都是实数,那么“x>y”的充分必要条件是( )
A.lg x>lg y B.2x>2y
C.1
x
> 1
y
D.x2>y2
9.若数列{an}为等比数列,则“a2,a4是方程x2-3x+1=0 的两根”是“a3=±1”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y+t=0,则“l 与C 相交”是“|t|<2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知集合A={x|-x2+4x≥0},B= x
1
81<3x<27 ,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=( )
A.{2,4}
B.{0,2}
C.{0,2,4} D.{x|x=2n,n∈N}
12 已知a∈R,则“a=1”是“函数f(x)=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.“2<m<6”是“方程x
2
m−2+
y
2
6−m=1 为椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q 的一个必要不充分条件是p,则实数a 的取值范
围是
( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[-1,+∞)
D.(-∞,-3]
15.已知a>1,则“logax<logay”是“x2<xy”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题
16 已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},∁RB={x|x≤0 或x>3},则A∩B= .
17.已知全集为R,集合M={-1,0,1,5},N={x|x2-x-2≥0},则M∩(∁RN)= .
18.若命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,则实数a 的取值范围是 .
19.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=⌀,则实数m= .
20.设α,β 是两个不同的平面,l 是直线且l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”的 条件(参
考选项:充分不必要,必要不充分,充分必要,既不充分也不必要).
答案
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A 基础夯实
1.C ∵A={1,2,3,5},B={2,3},∴A∪B={1,2,3,5}.故选C.
2.D 全称量词命题的否定为存在量词命题,改量词否结论.∴命题“∀x>0,(x+1)ex>1”的否
定为“∃x>0,(x+1)ex≤1”.故选D.
3.A 因为A={1,5},B={-1,5,7},所以A∪B={-1,1,5,7}.又因为U={-1,1,3,5,7,9},所以
∁U(A∪B)={3,9}.故选A.
4.A ∵A={x|-2<x<2,x∈N}={0,1},U=Z,∴∁UA={x|x∈Z 且
x≠0,x≠1},∵B={-1,0,1,2},∴(∁UA)∩B={-1,2}.故选A.
5.C ∵A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},∴B={1,3,5},∴A∩B={1,3}.故选C.
6.B 由题得A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},所以A∩B={x|-1≤x<1}.故选B.
7.D ∵集合A={-1,1,2,3,5},C={x∈R|1≤x<3},∴A∩C={1,2},∵B={2,3,4},∴(A∩C)∪B={1,2}
∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选D.
8.B 因为全集U={-1,0,1,2},A={x|(x+2)(x-1)<0,x∈Z}={-1,0},则∁UA={1,2}.故选B.
9.A 因为∁UA={3,5,8},所以(∁UA)∪B={2,3,5,8}.故选A.
10.A 图中阴影部分表示的集合中的元素在集合A 中,但不在集合B 中.又
A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分表示的集合是{1}.故选A.
11.A 由题意,若a>6,则a2>36,故充分性成立;若a2>36,则a>6 或a<-6,推不出a>6,故必要
性不成立.所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选A.
12.A 由|x-2|<1,得1<x<3;由x +2
x−1
>0,得x>1 或x<-2.所以“|x-2|<1”是“ x +2
x−1
>0”的充分不
必要条件.故选A.
13.A 由x-1
2
<1
2⇔-1
2<x-1
2<1
2⇔0<x<1,x3<1⇔x<1.可知“ x-1
2
<1
2”是“x3<1”的充分
不必要条件.故选A.
14.A 若b<a<0,则1
b
>1
a
,故充分性成立;反之,若1
b
>1
a
,当b>0,a<0 时,则b>a,故必要性不成
立.故选A.
15.A |x|≠|y|⇒x≠y 且x≠-y,而当x=2,y=-2 时,x≠y,但|x|=|y|,∴“|x|≠|y|”是“x≠y”的充分不必要条
件.故选A.
16.A 当l1⊥l2时,有(a-2)·1+a(a-2)=0,解得a=-1 或a=2,∴“a=-1”是“l1⊥l2”的充分不必要条
件.故选A.
17.C 当α=π
3 +kπ(k∈Z)时,tan α-π
6
=tan
π
6 +kπ =
❑√3
3 ;∵当tan α-π
6
=
❑√3
3 时,α-π
6 =π
6
+kπ(k∈Z),∴α=π
3 +kπ(k∈Z),∴“α=π
3 +kπ(k∈Z)”是“tan α-π
6
=
❑√3
3 ”的充要条件.故选C.
18.A 若a,b,c 成等比数列,则b2=ac,此时a2c2=(ac)2=b4,则a2,b2,c2成等比数列,即充分性成
立;反之当a=1,b=1,c=-1 时满足a2,b2,c2成等比数列,但a,b,c 不成等比数列,即必要性不成立,
即“a,b,c 成等比数列”是“a2,b2,c2成等比数列”的充分不必要条件.故选A.
19.A 在△ABC 中,若sin A=sin B,则A=B,若A=B,则sin A=sin B,∴“sin A=sin B”是
“A=B”的充要条件.故选A.
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20.B 1
x <1,等价于1
x -1<0,等价于1−x
x
<0,等价于x(x-1)>0,等价于x<0 或x>1,
1
2
x>1 等
价于
1
2
x>
1
2
0,等价于x<0,因为{x|x<0}⫋{x|x<0 或x>1},所以“1
x <1”是“
1
2
x>1”的必
要不充分条件.故选B.
B 能力提升
1.B ∵A={x|y=lg(x2-x)},B={x|1≤2x≤4},∴A={x|x2-x>0}={x|x>1 或x<0},B={x|0≤x≤2},∴A∪B=R.
故选B.
2.A 若复数a-1+bi(a,b∈R)是纯虚数,必有a=1,b≠0,所以由p 能推出q;但a=1,不能推出复
数a-1+bi(a,b∈R)是纯虚数.所以由q 不能推出p,因此p 是q 的充分不必要条件.故选A.
3.A ∵a=(x,1),b=(4,x),若a∥b,则x
4
=1
x
,x2=4,x=±2,∴“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件.故选
A.
4.A 因为A 是△ABC 的内角,cos A=1
2,所以0<A<π
2 ,sin A=❑√1−co s
2 A=
❑√3
2
.若sin A=
❑√3
2
,则cos A=±❑√1−sin
2 A=±1
2,所以“cos A=1
2”是“sin A=
❑√3
2
”的充分不必要条件.故
选A.
5.B 由事件A 与事件B 互斥,不能得到事件A 与事件B 互为对立事件,反之,由事件A 与
事件B 互为对立事件,能得到事件A 与事件B 互斥,故p 是q 的必要不充分条件.故选B.
6.A 当θ-π
2
<π
2 时,有0<θ<π, sin
∴
θ>0;反之不成立,∴“ θ-π
2
<π
2 ”是“sin θ>0”的充
分不必要条件.故选A.
7.B ∵∁UM={1,2},∴(∁UM)∩N={1,2}.故选B.
8.B 对于A,lg x>lg y⇔x>y>0,所以“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件;对于
B,2x>2y⇔x>y,所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件;对于C,1
x
> 1
y
⇔y>x>0 或x>0>y 或0>y>x,
所以“1
x > 1
y ”是“x>y”的既不充分也不必要条件;对于D,x2>y2⇔|x|>|y|,不能推出x>y,而
x>y 也不能推出x2>y2,故“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件.故选B.
9.A ∵数列{an}为等比数列,a2,a4是方程x2-3x+1=0 的两根,∴a2a4=a3
2=1,∴a3=±1;反之,a3=±1
时,满足a2a4=1 的一元二次方程有无数个,∴“a2,a4是方程x2-3x+1=0 的两根”是“a3=±1”
的充分不必要条件.故选A.
10.B 圆心C(0,0),半径为2,则圆心到直线l 的距离为d=|t |
❑√2
=
❑√2
2
|t|,因为l 与C 相交,则有
d<r,所以
❑√2
2
|t|<2,即|t|<2❑√2,所以“l 与C 相交”是“|t|<2”的必要不充分条件.故选B.
11.C ∵A={x|-x2+4x≥0}={x|0≤x≤4},B= x
1
81<3x<27 ={x|-4<x<3},∴A∪B={x|-4<x≤4},又
∵C={x|x=2n,n∈N},∴(A∪B)∩C={0,2,4}.故选C.
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12.A f(x)=cos2ax-sin2ax=cos 2ax,当a=1 时,f(x)=cos 2x 的最小正周期为π,故充分性成立,
当函数f(x)=cos 2ax 的最小正周期为π 时,T= 2π
|2a|
=π,∴a=±1,不能得出a=1,故必要性不成
立,综上:“a=1”是“函数f(x)=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件.故选A.
13.B 若方程x
2
m−2+
y
2
6−m=1 为椭圆方程,则{
m−2>0,
6−m>0,
m−2≠6−m,
解得2<m<6,且m≠4,故
“2<m<6”是“方程x
2
m−2+
y
2
6−m=1 为椭圆”的必要不充分条件.故选B.
14.A ∵p:x2+2x-3>0,∴x>1 或x<-3.∵q 的一个必要不充分条件是p,∴(a,+∞)⫋(-
∞,-3)∪(1,+∞),∴a≥1.故选A.
15.A ∵a>1,∴当logax<logay 时,有0<x<y,∴x2<xy;反之,当x2<xy 时,不能推出logax<logay,如
x=-1,y=-2 时,满足x2<xy,但logax 和logay 无意义,∴“logax<logay”是“x2<xy”的充分不必要条
件.故选A.
16.(0,2] 解析:∵∁RB={x|x≤0 或x>3},∴B={x|0<x≤3}.又∵A={x|(x+1)(x-2)≤0}
={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|0<x≤2}=(0,2].
17.{0,1} 解析:∵N={x|x2-x-2≥0}={x|x≥2 或x≤-1},∴∁RN={x|-1<x<2}.又
∵M={-1,0,1,5},∴M∩(∁RN)={0,1}.
18.[-❑√3,❑√3] 解析:命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,即“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”
是真命题,故Δ=4a2-12≤0,解得-❑√3≤a≤❑√3,∴实数a 的取值范围是[-❑√3,❑√3].
19.1 或2 解析:∵A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},x2+(m+1)x+m=0 得x=-1 或x=-m.∵(∁UA)∩B=⌀,∴
集合B 中只能有元素-1 或-2, -
∴m=-1 或-2,∴m=1 或2.
20.充分不必要 解析:面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平
面垂直.因为直线l⊂α,且l⊥β,所以由判定定理得α⊥β.所以直线l⊂α,且l⊥β,则α⊥β.若
α⊥β,直线l⊂α,则直线l⊥β,或直线l∥β,或直线l 与平面β 相交,或直线l 在平面β 内.所以
“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件.
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