北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题五 三角函数与解三角形
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定 1.本专题考查的核心素
义. 养以数学运算、逻辑推 1.在复习备考中,注
一、三角函
4.理解同角三角函数的基本关系式. 理为主,同时兼顾考查直 意基础知识的积累,
数的概念
π 观想象.2.从近几年高考 基础概念、定义要
5.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α、π±α 情况来看,本专题内容为 弄清楚.
2
高考必考内容,考题难度 2.切实掌握三角函
的正弦、余弦、正切的诱导公式. 以中档题为主,题型在选 数的图象、性质以
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 择题、填空题和解答题 及基本变换思想.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正 均有可能出现,比如 3.高考对正弦定理
切公式. (2020新高考Ⅰ的第10 和余弦定理的考查
二、三角恒
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余 题(多选题),第15题(填 较为灵活,题型多变,
等变换
弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了 空题),第17题(解答题), 往往以小题的形式
解它们的内在联系. 占20分;2020课标Ⅰ理 独立考查正弦定理
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换. 第9题考查二倍角公式, 或余弦定理,以解答
1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象. 第16题是翻折问题与 题的形式综合考查
三、三角函 2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函 解三角形的结合;2020 定理的综合应用,多
数的图象、 数图象变换的影响. 北京第14题考查三角 与三角形周长、面
性质及应用 3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 函数最值及诱导公式,第 积有关;有时也会与
型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 17题选条件用正、余弦 平面向量、三角恒
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解 定理解三角形与求三角 等变换等结合考查.
四、解三角
三角形问题. 形的面积结合等).
形及综合应
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
用
一些与测量和几何计算有关的问题.
【真题探秘】
必备知识
正弦定理、余弦定理.
核心素养
数学运算、逻辑推理.
解题指导
在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出
现边的二次式一般采用余弦定理.
易错警示
应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
二倍角公式、同角三角
2020课标Ⅰ理,9 5 选择题 中 三角恒等变换 公式法 数学运算
函数的基本关系
三角函数的图象与性
2020课标Ⅰ,文7,理7 5 选择题 易 求最小正周期 定义法 数学运算
质
多项 三角函数的图象与性 诱导公式、三角函数的 数学运算
2020新高考Ⅰ,10 5 中 定义法
选择题 质 性质 逻辑推理
三角函数的图象与性 数学运算
2020北京,14 5 填空题 中 三角函数的最值的应用 直接法
质 逻辑推理
逻辑推理
2020课标Ⅰ理,16 5 填空题 中 解三角形 余弦定理的应用 直接法
数学运算
三角函数的性质及其 三角函数的周期、 逐项判断法
2020天津,8 5 选择题 中 数学运算
应用 最值,图象平移 数形结合法
条件选择;正、余弦定理
解三角形及其综合应 的 逻辑推理
2020北京,17 13 解答题 中 直接法
用 应用,三角形的面积公式, 数学运算
两角和的正弦公式
解三角形及其综合应 条件选择;正、余弦 逻辑推理
2020新高考Ⅰ,17 10 解答题 中 直接法
用 定理的应用 数学运算
正、余弦定理的应用,两
解三角形及其综合应 角和 逻辑推理
2020天津,16 14 解答题 中 直接法
用 的正弦公式、二倍角公 数学运算
式
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本章内容为高考热点,考题难度以中档为主,选择题、填空题和解答题均有可能出
现.
2.高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换、性质及其应用,以及正弦、余弦定理在解三角形中的应用,
有时也以化简求值为背景考查三角恒等变换等问题.
3.在处理三角函数与解三角形有关问题时,熟记公式是解决此类问题的前提,同时注意换元法在解决与三角
函数性质有关问题中的应用.
4.本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.高考对本章内容的考查在稳定中有所提升,考查方式及题目难度在2020年变化较大,分值所占比重比往年
要高,要引起足够重视.
2.考查内容主要体现在以下方面:①以三角函数图象为背景考查诱导公式、图象的变换、性质的应用以及三
角恒等变换(如2020年新高考Ⅰ卷第10题);②以解三角形为载体考查正弦、余弦定理以及三角形面积公式
的应用(如2020年新高考Ⅰ卷第17题,是一种全新的题型,需要先选择条件,再解三角形,有很强的自主选择性,
考查了学生探究问题的能力);③以函数、不等式、向量为载体与三角函数有关的综合性问题仍要关注.同时
需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的应用.
§5.1 三角函数的概念、同角三角函数北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
的基本关系及诱导公式
基础篇
【基础集训】
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 ( )
9 10
A.10π B.9π C. π D. π
10 9
答案 D
2.已知角α的终边经过点(m,-2m),其中m≠0,则sin α+cos α=( )
√5 √5 3 3
A.- B.± C.- D.±
5 5 5 5
答案 B
tanθ
3.若sin θ·cos θ<0, >0,则角θ是( )
sinθ
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 D
2π
4.在平面直角坐标系中,角α的始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边逆时针旋转 得到角β,若sin
3
(π )=1,则cos β= ( )
+α
6 3
2√2 2 √2 1
A.- B. C. D.-
3 3 3 3
答案 D
5.已知扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径R为( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
答案 B
6.已知sin(π )+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sin θcos θ+cos2θ= ( )
+θ
2
1 2 3 √5
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 C
6sinα+8cosα
7.已知点P(1,3)在角α的终边上,则 = .
3sinα-2cosα
26
答案
7
[教师专用题组]北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
【基础集训】
考点一 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020山西模拟)“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 当θ为第一或第四象限角时,cos θ>0,所以“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的充分条件,
当cos θ>0时,θ是第一或第四象限角或x轴正半轴上的角,所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos θ>0”
的必要条件,
所以“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的充分不必要条件.
故选A.
易错警示 忽视角的终边在x轴正半轴上的情况.
3
2.(2019北京海淀期中,5)角θ终边经过点P(4,y),且sin θ=- ,则tan θ= ( )
5
4 4 3 3
A.- B. C.- D.
3 3 4 4
答案 C 本题考查三角函数的定义.
sin θ= y = y =-3,
√x2+ y2 √42+ y2 5
∴y=-3,
∴P点坐标为(4,-3),
y 3
∴tan θ= =- .故选C.
x 4
5π 5π 5π
3.(2020山西大同期中)设a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 ( )
12 12 12
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<c<a D.b<a<c
5π 5π 5π
答案 D 设 的终边与单位圆相交于点P,根据三角函数线的定义可知a=MP=sin ,b=OM=cos
12 12 12
5π
,c=AT=tan ,显然AT>MP>OM,所以b<a<c.故选D.
12
√10
4.(2020百校联考高考考前冲刺(二),3)已知O为坐标原点,角α的终边经过点P(3,m)(m<0)且sin α= m,则
10北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
sin 2α=( )
4 3 3 4
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
答案 C 根据题意得,sin α= m =√10m,解得m=-1,所以P(3,-1),所以sin α=-√10,cos α=3√10,所
√m2+9 10 10 10
3
以sin 2α=2sin αcos α=- .
5
5.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且| α|=-cos α,则α是 ( )
cos
3 3 3
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3 2kπ π α 2kπ π α
答案 C ∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+ π(k∈Z).∴ + < < + (k∈Z),∴ 的终边在第一
2 3 3 3 3 2 3
象限或第三象限或第四象限.又∵| α|=-cos α,
cos
3 3
α α
∴cos ≤0,∴ 是第三象限角,故选C.
3 3
6.(2019北京西城一模,13)能说明“若sin α=cos β,则α+β=k·360°+90°,其中k∈Z”为假命题的一组α,β的值
是 .
答案 α=180°,β=90°(答案不唯一)
解析 当α=180°,β=90°时,满足sin α=cos β,但α+β=270°,不满足α+β=k·360°+90°(k∈Z),因此原命题为假命题.
7.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos(π )+1,且f(8)=2,则f(2 018)= .
x+α
2
答案 0
解析 ∵f(8)=cos(4π+α)+1=cos α+1=2,
∴cos α=1,∴f(2 018)=cos(π )+1=cos(1 009π+α)+1=cos(π+α)+1=-cos α+1=-1+1=0.
×2 018+α
2
8.(2020广东化州二模,15)已知曲线f(x)=2x3在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为α,则 sin2α-cos2α
3 2sinαcosα+cos2α
的值为 .
3
答案
5
2
解析 由f(x)= x3得f '(x)=2x2,∴f '(1)=2,故tan α=2.
3
∴ sin2α-cos2α =tan2α-1= 22-1 =3.
2sinαcosα+cos2α 2tanα+1 2×2+1 5
思路分析 根据导数的几何意义求出tan α=2,然后将所给齐次式转化为只含有tan α的形式后求解即可.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
方法总结 本题以导数的几何意义为载体考查三角函数求值.对于含有sin α,cos α的齐次式的求值问题,一
般利用同角三角函数的基本关系转化为关于tan α的形式后再求解.
综合篇
【综合集训】
考法一 三角函数定义的应用
1.(2020山东仿真联考2,3)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点M(-3,4),则cos 2θ的值为 (
)
7 7 24 24
A.- B. C.- D.
25 25 25 25
答案 A
2.(2020山东滕州一中3月模拟,5)已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)= ( )
1 √3 1 √3
A. B. C.- D.-
2 2 2 2
答案 A
4
3.(2020四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=- ,则m的值为 ( )
5
1 1 1 √3
A.± B.- C. D.
2 2 2 2
答案 C
考法二 同角三角函数的基本关系式的应用
5
4.(2020山东济南二模,3)已知α为第四象限角,cos α= ,则sin α= ( )
13
12 12 5 5
A.- B. C.- D.
13 13 12 12
答案 A
5.(2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,5)已知直线l:xsin α+y-1=0,直线l:x-3ycos α+1=0,若l⊥l,
1 2 1 2
则sin 2α=( )
2 3 3 3
A. B.± C.- D.
3 5 5 5
答案 D
sinα+cosα
6.(2020山东济宁6月三模,12)已知tan(π-α)=2,则 = .
sinα-cosα
1
答案
3
考法三 利用诱导公式化简求值北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
7.直线l:2x-y+e=0的倾斜角为α,则sin(π-α)sin(π )的值为 ( )
+α
2
2 1 1 2
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
答案 D
sin(π-α)·cos(3π+α)
8.(2020湖南株洲检测,3)化简 (3π ) ( π)的结果为 ( )
sin +α ·cos α-
2 2
A.1 B.-1 C.sin α D.cos α
答案 A
9.(2020吉林部分名校3月联考,8)若sin θ-cos θ=4,且θ∈(3 ),则sin(π-θ)-cos(π-θ)= ( )
π,π
3 4
√2 √2 4 4
A.- B. C.- D.
3 3 3 3
答案 A
10.(多选题)(2020山东聊城一中线上3月测试,9)下列化简正确的是 ( )
sin(-α)
A.tan(π+1)=tan 1 B. =cos α
tan(360°-α)
sin(π-α) cos(π-α)tan(-π-α)
C. =tan α D. =1
cos(π+α) sin(2π-α)
答案 AB
( 3π)
sin(5π-α)·cos α+ ·cos(π+α)
2
11.(2020陕西渭南尚德中学月考,17)已知f(α)= .
( 3π) ( π)
sin α- ·cos α+ ·tan(α-3π)
2 2
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos(3π )=1,求f(α)的值.
-α
2 5
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 三角函数定义的应用
1.(2019北京海淀一模,2)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是 ( )
A.sin( π) B.cos( π)
α+ α+
2 2
C.sin(π+α) D.cos(π+α)
答案 D ∵角α的终边在第二象限,
