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专题11 解答题18 题、19 题压轴题
（6 阶题组）专项训练（二）
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，
为
的导函数.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）记
较小的一个零点为
，证明：
.
19．已知
为抛物线
的焦点，点
满足
，其中
为坐标原点，过
的直线交
于A.B 两点，点
在第一象限，过点
作直线AB 的垂线，交
轴正半轴于点
，直线BC 交
直线AM 于点
．记
的面积分别为
．
(1)求
的准线方程；
(2)证明：
；
(3)求
的最小值及此时点
的坐标．
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的右焦点为
，左顶点为
，双曲线
的右支上任意一点
都使
得
.
(1)求双曲线
的离心率；
(2)若点
在双曲线
上，且点
不在坐标轴上，求
的取值范围.
19．已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有且仅有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若
是两个不相等的正数，证明：
.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的两条渐近线的斜率之积为
.
(1)求
的离心率.
(2)若过点
且斜率为1 的直线与
交于
两点（
在左支上，
在右支上），且
.
①求
的方程；
②已知不经过点
的直线与
交于
两点，直线的斜率存在且直线
与
的斜率之积为1，
证明：直线过定点.
19．已知正数
的整数部分记为
，例如
.
(1)若
，求数列
的前
项和
.
(2)设
.
①求
；
②求数列
的通项公式；
③求数列
的前100 项和.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知数列
满足
，
.记
的前
项和为
，且
是以
为首项，
为公比
的等比数列.
(1)求
，
的值；
(2)求
的通项公式；
(3)求
的通项公式，并证明：
.
19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有
的概率分裂为两个新细胞，
的概率分裂
为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁
衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过
个生命周期的分裂情况，将第
个生命周期后的活细胞总数记为随机变量
.
(1)若
，
（i）求随机变量
的分布列和期望;
（ii）求事件 “
” 的概率;
(2)已知在
的条件下，
的期望称为条件期望
，其
定义为
，试求条件期望
和
的期望
.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．如图，在四棱锥
中，
平面PAD，
．
(1)证明：
平面ABCD；
(2)若底面ABCD 是正方形，
，E 为PB 中点，点F 在棱PD 上，且异面直线AF 与PB 所成的
角为60°．
（ⅰ）求
的长度；
（ⅱ）平面AEF 交PC 于点G，点M 在线段PB 上，求EG 与平面
所成角的正弦值的取值范围．
19．已知直线
，直线
，动点M 到x 轴的距离小于它到y 轴的距离，过M 分别作和
的垂
线，垂足分别为D，E，O 为坐标原点，若四边形
的面积为
，设动点M 的轨迹为曲线C．根据上
述运算回答下面问题：
(1)求C 的方程；
(2)若C 交x 轴正半轴于点A，C 上一点B 和直线
上一点Q 满足
是以
为底的等腰直角三角
形．
（ⅰ）求直线
的斜率：
（ⅱ）若B 在第一象限，记点B 关于的对称点为K，点B 关于原点的对称点为
，若动点M 不与
，B
重合，设动直线
与直线
相交于点P，动直线
与直线
相交于点
，求证：
成
等比数列．
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；
每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为
，分配到复杂任务的概率
为
.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为
，且各阶段任务完成情况相互独立.
(1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记
为该机器人在完成第
个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求
；
②证明：数列
单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当
时，系统停止分配任务，求该机
器人最多能挑战多少个阶段的任务.
19．对于函数
，记
，
，
，
，
.对于任意
的
，如果
是满足
的最小正整数，则函数
是“
周期导函数”.
(1)已知函数
为奇函数，函数
为偶函数，且
.求证：函数
是“
周
期导函数”，并求出
的值；
(2)设
是“2 周期导函数”，若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，
，若函数
满足
对
恒成立，且存在
使得
，试用
表示
，并证明
.
