文档文本内容
2026 年新高考第4 题分类训练
三角函数与解三角形
考点
3 年考题
考情分析
三角函数与
解三角形
2025 年新高考Ⅰ卷第4 题
2025 年新高考Ⅱ卷第5 题
2024 年新高考Ⅰ卷第4 题
2024 年新高考Ⅱ卷第13 题
2023 年新高考Ⅰ卷第8 题
2023 年新高考Ⅱ卷第7 题
三角函数与解三角形会以单选题、多选题、填空题、解答题
4 类题型进行考查，单选题难度较易或一般，但不排除压轴
题，纵观近三年的新高考试题，分别考查三角函数的性质，
三角恒等变换。可以预测2026 年新高考命题方向将继续多
种命题形式出现。
1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第4 题）若点
是函数
的图象的一
个对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【解析】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，即
.
故选：B
2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第5 题）在
中，
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理
直接计算求解即可.
【解析】由题意得
，又
，
所以
.
故选：A
3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第4 题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求
的关系，结合
的值可求前
者，故可求
的值.
【解析】因为
，所以
，而
，所以
，故
即
，从而
，故
，
故选：A.
4．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第13 题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，
最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【解析】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
5. （2023· 新高考Ⅰ卷高考真题第8 题） 已知sin (α −β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6，则
cos(2α +2 β)=（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出
，再利用二倍角的余
弦公式计算作答.
【解析】因为sin(α −β)=sin α cos β −cosα sin β = 1
3，而
，因此
sin α cos β = 1
2，
则sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β = 2
3，所以
cos(2α +2 β)=cos2(α + β)=1−2sin
2(α + β)=1−2×( 2
3 )
2
= 1
9
.
故选：
6．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第7 题）已知
为锐角，
，则
（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【解析】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
1、三角函数的定义：设点
（不与原点重合）为角α 终边上任意一点，点P 与原点
的距离为：
，则：
，
，
.三角函数值只与角的
大小有关，而与终边上点P 的位置无关
2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3. 公式：（1）平方关系：
（2）商数关系：
，
4. 诱导公式 ：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
5. 两角和与差的三角函数：
sin(α+β)=sinα cos β+cosα sin β
sin(α−β)=sinα cos β−cosα sin β
cos(α+β)=cosα cos β−sinα sin β
cos(α−β)=cosα cos β+sinα sin β
.
.
6. 公式的变形
7.二倍角公式
sin2α=2sinα cosα ；变形
cos2α=cos2α−sin2α =2cos2α−1=1−2sin2α .
8.升降幂公式
（1）升幂公式：
，
（2）降幂公式：
，
9.常见的配角技巧：
，
，
，
等．
10.辅助角公式 对于形如
的式子，可变形如下：
=
=
其中
角所在象限由
的符号确定，
角的值由
确定，或由
和
共同确定．
11.三角函数图像和基本性质
12. 余弦定理
公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
13. 正弦定理
公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a
sinA =
b
sinB =
c
sinC .
14.推论：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
①a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2 R，
②sinA :sinB:sinC =a:b:c，
③asinB =bsinA，bsinC =csinB，asinC =csinA，
④
a+b+c
sinA + sinB+ sinC =
a+b
sinA + sinB =
a+c
sinA + sinC =
b+c
sinB+ sinC =2 R，
⑤a=2 RsinA，b=2 RsinB，c =2 RsinC（实现边和角的互相转化）
15. 三角形面积公式
（1）S = 1
2 aha=bhb=c hc（2）S = 1
2 absinC = 1
2 bcsinA = 1
2 acsinB
同角三角函数、三角恒等变换
1.（浙江省金华市十校2026 届高三上学期1 月期末）若sin(
π
6 +α)= 1
3，则
cos(
π
3 −α)=（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．−2❑√2
3
D．2❑√2
3
【答案】B
【解析】因为(
π
6 +α)+(
π
3 −α)=π
2 ，所以
cos(
π
3 −α)=cos[
π
2 −(
π
6 +α))=sin(
π
6 +α)= 1
3
.
故选：B.
2.（浙江金丽衢十二校2026 届高三第一次联考）已知
，满足
，则
.
【答案】
【解析】
.因为
，所以
，所以
.
故答案为：
.
3.（浙江省强基联盟2026 年1 月高三联考）已知角
满足
，则
．
【答案】
由
，得
，
所以
，故
，所以
故答案为：
4.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试）已
知tanα = ❑√2，则cos2α −2sin
2α =（ ）
A．−5
3
B．−1
3
C．1
3
D．5
3
【答案】A
【解析】因为tanα = sin α
cosα = ❑√2，所以cosα ≠0，又sin
2α +cos
2α =1，
所以cos2α −2sin
2α =cos
2α −sin
2α −2sin
2α =cos
2α −3sin
2α
sin
2α +cos
2α
=
cos
2α −3sin
2α
cos
2α
sin
2α +cos
2α
cos
2α
= 1−3 tan
2α
tan
2α +1
= 1−3×(❑√2)
2
(❑√2)
2+1
=−5
3
.
故选：A.
5.（江苏省镇江市2025-2026 学年高三上学期期中）已知α ∈(0,π),sinα −cosα = 1
5
，
则tan2α =（ ）
A．−4
3
B．4
3
C．−24
7
D．24
7
【答案】C
【解析】sin
2α +cos
2α −2sin α cosα = 1
25
，2sin α cosα = 24
25
，因为α ∈(0,π)，所以
sin α >0，所以cosα >0，
又因为(sinα +cosα )
2=sin
2α +cos
2α +2sinα cosα = 49
25
，所以sinα +cosα = 7
5
，由
{
sinα −cosα = 1
5
sinα +cosα = 7
5)
解得{
sinα = 4
5
cosα = 3
5)
，所以tan α = 4
3
，tan2α = 2tan α
1−tan
2α
=−24
7
.
故选：C.
6.（杭州学军中学高三上学期期末）设
，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】依题意，
，解得
，
由
，得
，则
，
所以
．
故选：B
7.（江西省部分学校2025-2026 学年高三上学期1 月测试）若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由
，可得
，
即
，可得
，所以
，
则
.
故选：B．
8.（江苏省镇江市2026 届高三第一学期零模）已知
，则
【答案】
【解析】令
，则
，且
；代入目标表达式：
；利用诱导公式
，得：
；用二倍角公式
，代入
，则
.
故答案为：
9.（吉林省长春市2026 届高三质量监测（一））若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意得：
，
化简得：
，所以
，
因为
，
，代入
得：
，解得：
.
故选：C.
10.（贵州省名校协作体2025-2026 学年高三质量监测（二））已知
θ∈(
3π
4 ,π),tan2θ =−4tan(θ+π
4 )
，则
1+sin2θ
2cos
2θ+sin2θ
=（ ）
A．1
4
B．3
4
C．1
D．3
2
【答案】A
【解析】由题θ∈(
3π
4 ,π),tan2θ =−4tan(θ+π
4 )
，得
2tanθ
1−tan
2θ
= −4 (tanθ+1)
1−tanθ
⇒−4 (tanθ+1)
2=2tanθ，则
(2tanθ+1)(tanθ+2)=0⇒tanθ =−2或tanθ =−1
2
，因为
θ∈(
3π
4 ,π),tanθ∈(−1,0)，所以tanθ =−1
2
，
1+sin2θ
2cos
2θ+sin2θ
=sin
2θ+cos
2θ+2sinθcosθ
2cos
2θ+2sinθcosθ
=tan
2θ+1+2tanθ
2+2tanθ
=
1
4 +1−1
2+(−1) = 1
4
.
故选：A
11.（山东省济南市2026 届高三第一次模拟考试）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，已知角
的终边在第一象限，且
，将角
的终边按照逆时针方向
旋转
，得到角
的终边，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是第一象限角，所以
，所以
，
又由题意可知
，
所以
，
故选：C.
12.（浙江省温州市2026 届高三上学期期末质量评价）若
且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
，
即
，解得
，
故
.
故选：B.
13.（江西省部分省示范高中2025-2026 学年高三一轮复习摸底监测数）已知
，求
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】利用
及和差化积公式可得：
，
两式相除可得：
.
故选：D
14.（宁波市2025 学年第一学期期末考试）已知
，
是两个不相等的锐角，且满足
，
，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】联立
，得
，
得
或
，
因为
，
是两个不相等的锐角，所以
，且
，
故
，则
，
因为
，所以
，
则
，
.
故选：C
三角函数性质
1.（九江市2026 届第一次高考模拟统一考试）下列函数中，在
上单调递增的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
.
由余弦曲线知
在
上单调递减，又
是增函数，由复合函数单调性的
“同增异减”原则知
在
上单调递减，故A 不符合题意；
由正弦曲线知
在
上先单调递增再单调递减，又
是增函数，由复合
函数单调性的“同增异减”原则知
在
上先单调递增再单调递减，
故C 不符合题意；
当
时，
，由正弦曲线知
在
上单调递增，又
是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知
在
上
单调递增，故B 符合题意；
当
时，
，由正切曲线知
在
上单调递增，又
是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知
在
上单调递减，故D 不符合题意.
故选：B.
2.（2026 届江苏省G4 联考12 月）先将函数
图象上所有点的横坐标伸长为原来的
2 倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移
个单位；所得图象的解析式为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），可
得函数
；再将所得的图象向左平移
个单位，得到的图象对应的解析式是
的图象．
故选：D
3.（安徽省黄山市2026 届高三第一次质量检测）函数
的图象向
左平移
后关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
向左平移
后解析式为
，
若其图象关于
轴对称，则
，则
，又因为
，则当
时，
取得最小值，为
.
故选：C.
4.（安徽省合肥市2026 届高三教学检测）已知函数
为偶
函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，令函数
，
，即函数
是奇函数，
而函数
是偶函数，则函数
是奇函数，
因此
，解得
，又
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：C
5.（湖南省名校联考联合体2025-2026 学年高三联考）函数
的图
象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】函数
的图象关于直线
对称，所以
，
，得
，
，因为
，所以当
时，
取最小值，为
，
故选：A.
6.（浙江省强基联盟2026 年1 月高三联考）已知函数
恒成立，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得，
是函数
的最大值，
,得
，
，又
．
故选：A
7.（山东潍坊市2026 届2 月高考模拟）若函数
在区间
有且仅有两个零点，则实数
的最大值为 .
【答案】
【解析】
，当
时，
，
由题意可得
，即
，故实数
的最大值为
.
故答案为：
.
8.（广东省2026 年1 月普通高等学校招生适应性测试）已知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在
上递增，且
，故
，得
，即
，
在
上递减，且
，而
，
，
只需
，得
，综上，
.
故选：C
9.（江西省2026 届高中毕业班二月诊断考试）已知函数
.若方
程
在
上恰有85 个解，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数
的周期
，每个周期内
有2
个解，
在区间
内包含
（余
）个完整周期，
在完整周期内有
个解，故余下区间
内有1 个解，
设
，则
，
即
在区间
内有1 个解，
由任意角可得
在区间
内有1 个解，
解得
或
，
，
因为
，易得
，则有：
①区间
包含
但不包含
，
即
，且
，解得
，
②区间
包含
但不包含
，
即
，且
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
10.（2026 届T8 联考）图 1 是古书《天工开物》中记载的简车图. 简车是我国古代发明的
一种水利灌溉工具. 在农业上得到广泛应用. 在图 2 中,一个半径为 2m 的筒车按逆时针
方向每分钟转 1.5 圈,简车的轴心 O 距水面的高度为 ❑√3m . 设筒车上的某个盛水桶 P
(看作点)到水面的距离为 d (单位: m ) (若在水面下则 d 为负数),若以盛水桶 P 刚浮出
水面时开始计时, d
与时间 t ( 单位:s)
之间的关系为
d = A sin (ωt +φ)+ K(A >0,ω>0,−π
2 <φ< π
2)
,则 φ =
图 1 图 2
A. −π
3
B. −π
6
C. π
6
D. π
3
【答案】A
【解析】由题得筒车半径为 2m ,转动一圈需要 40 s,且轴心 O 距水面高度为 ❑√3m ,
∴A = (2+ ❑√3)−(❑√3−2)
2
=2,ω= 3 π
60 = π
20 , K = (2+ ❑√3)+(❑√3−2)
2
= ❑√3(m).
又以盛水桶 P 刚浮出水面时开始计时, ∴d (0)=0,∴sin φ =−
❑√3
2
. 又
−π
2 <φ< π
2 ,∴φ=−π
3
.
解三角形
1.（2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））在
中，角
的对边分别为
，若
且
，则
．
【答案】4
【解析】
三角形内角和
，
，
，
，故
，
C 是三角形内角，
，故
，则
，
，
，
根据正弦定理得
，
，
．
故答案为：4．
2.（四川省字节精准教育联盟2025-2026 学年高三第二阶段学情）在△ABC中，已知
sin
2C + ❑√2sin BsinC =−(cos A +cos B)(cos A −cos B)，则A =（ ）
A．π
4
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【答案】D
【解析】因为sin
2C + ❑√2sin BsinC =−(cos A +cos B)(cos A −cos B)
=cos
2B−cos
2 A =(1−sin
2B)−(1−sin
2 A) =sin
2 A −sin
2B，
由正弦定理得：c
2+ ❑√2bc =a
2−b
2，
由余弦定理，cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
=−
❑√2
2
，
又A为三角形内角，所以A = 3π
4
.
3.（四川省成都市多校2026 届高三上学期第一次联合诊断性考试）在△ABC中，内角A，
B，C 所对的边分别为a，b，c，且a=2，c =(a+2b)cosB.若b
2−c
2=2，则c⋅cos A =
．
【答案】1
【解析】由c =(a+2b)cosB及正弦定理得sinC =sin A cosB+2sin BcosB，
又sinC =sin( A + B)=sin A cosB+cos A sin B，所以cos A sin B =2sin BcosB，
因为sin B≠0，所以cos A =2cosB.由余弦定理知b
2=a
2+c
2−2ac cos B，
即b
2−c
2=a
2−2accosB，即2= 4−4 ccosB，所以c⋅cosB = 1
2
，
所以c⋅cos A =c×2cos B =1．
故答案为：1．
4.（浙江省强基联盟2026 年1 月高三联考）设
的三个内角
，
，
所对的边分别
为
，
，，如果
，且
，那么
外接圆的半径为
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】A
【解析】因为
，所以
，即
，
则
，又
，则
，
又
，由正弦定理可得
，
解得
，即
外接圆的半径为.
故选：A.
