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专题12 解答题18 题、19 题压轴题
（6 阶题组）专项训练（三）
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的左顶点
在直线
上，
的左焦点为
，点
.
为
的右支上一动点.
(1)求双曲线
的渐近线方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与
的左支交于D，E 两点，求
的面积的最小值；
(3)设
为
的左支上与
不重合的一动点，若直线平分
，证明：直线MN 恒过定点.
19．已知函数
和
各有两个零点.
(1)求
的取值范围；
(2)若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设
和
分别为
和
的“完美点”.
（i）比较
与
的大小；
（ii）证明：
.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．在一张纸上有一圆
：
，定点
，折叠纸片使圆
上某一点
恰好与点
重
合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕
，设折痕
与直线
的交点为
.
(1)求点
的轨迹
方程；
(2)曲线
上一点N，点A、B 分别为直线：
在第一象限上的点与
：
在第四象限上的点，
若
，
，求
面积的取值范围.
19．盒子中装有
个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，每次从中无放回地随
机取出1 个球．
(1)若盒中有2 个白球，其余为黑球，2 次取球后，求取出的2 个球不同色的概率；
(2)若盒中白球数为随机变量
，
，证明：第1 次取出白球的概率为
；
(3)若盒中白球数为
，每次取球后，将1 个白球放回盒中，保持盒中球的总数不变，求第
次取出白球的概率．
参考公式：若
是离散型随机变量，有
．
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线E 的中心在原点，焦点在x 轴上，且焦点到渐近线的距离为
，其离心率为
，记直线
从下到上与x 轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示：
(1)求双曲线E 的方程；
(2)求证：
；
(3)若
，
，
成等差数列，问
，
的面积之和是否为定值?并说明理由.
19．设某网站个人用户登陆需输入四位密码
，其中
为用户个人设置的三位静态密码（每位
数字都是0～9 中的一个整数），
是根据登陆时收到的动态校验钥匙m（m 为1～5 中的一个整数）计算
得到的动态校验码，即
是
的个位数字.例如：若静态密码为
，动态校验钥匙
，则
是
的个位数字6，从而得到四位登陆密码为
.
(1)若用户三位静态密码为
，动态校验钥匙m 为1～5 中的一个随机整数，则用户得到的动态校验码
最有可能是哪个数字?
(2)若用户三位静态密码为
，其中
为0～9 中的一个随机整数，动态校验钥匙
，求动态校验码
的概率分布列；
(3)若用户三位静态密码均为0～9 中的一个随机整数，动态校验钥匙
出现的概率为
，
.记得到的动态校验码
的概率为
，试比较
与
的大小.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知函数
.
(1)判断函数
在区间
上极值点的个数并证明；
(2)函数
在区间
上的极值点从小到大分别为
，设
为数列
的
前
项和.
①证明：
；
②问是否存在
使得
？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．某公司招聘技术人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10 名应届毕业生进入最后面试环节.其
中A 校和B 校各4 名，C 校2 名.
名面试者随机抽取1，2，3，
，10 号的面试序号.
(1)若来自A 校的4 名毕业生的面试序号分别为
，
，
，
，且
，来自B 校的4 名毕业
生的面试序号分别为
，
，
，
，且
，来自C 校的2 名毕业生的面试序号分别为
，
，
且
（ⅰ）求概率
，
；
（ⅱ）记随机变量
，求 X 的均值
(2)已知一位面试者因事未能到达面试现场，最终只有9 人参加面试.经面试，第位面试者的面试得分为
，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者. 为提高今后面试效率，现人事部门设计了以
下面试录用新规则：
，且
，
，集合S 中的最小元素为k，最终录用第k
位面试者. 如果以新规则面试这9 名毕业生，求面试得分第一、二按得分从高到低排的两名毕业生之一
被录用的概率.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知抛物线
的焦点为
为
上一点，且
.
(1)求
的方程；
(2)过点
作两条相互垂直的直线分别与
交于
两点.
（i）证明：直线
过定点；
（ii）若直线
分别与
轴交于
两点，记
的面积分别为
，当
时，求
的取值范围.
19．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r 是函数
的零
点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r 的实数
，
，…
，
，在点
处作
的切线，则
在
处的切线与
轴交点的横坐标是
，同理
在
处的切线与x 轴
交点的横坐标是
，一直继续下去，得到数列
，从图中可以看到，
较
接近r，
较
接
近r，……，当n 很大时，
很小，我们就可以把
的值作为r 的近似值，即把
作为函数
的近
似零点.现令
.
(1)当
时，求
的近似解
，
；
(2)在（1）的条件下，求数列
的前n 项和
；
(3)当
时，令
，若
时，
有两个不同实数根
，
.
求证：
.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的上下焦点分别为
、
，离心率为
，点
到
渐近线的距离为，过点
且斜率为
的直线在第一象限交双曲线
于点
，过点
且斜率为
的直线
在第四象限交双曲线
于点
，
与
交于点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
，求
的值；
(3)证明：
是定值.
19．如图，在边长为
的正方形
中，
，
分别为边
，
上的点，连接
，
，
，将
沿着折线
翻折，使点
到达点
位置，连接
，形成三棱锥
.
(1)若
，
分别为边
，
上的中点，
，求此时三棱锥
外接球的表面积；
(2)若
，
是
的中点.
（ⅰ）求
的大小；
（ⅱ）若正方形边长为
，当
取最小值，
取最大值时，求此时直线
与平面
所成
角的正弦值.
