文档文本内容
第31 讲空间点、线、面之间的垂直关系
（知识清单+5 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
面面垂直判定定理证明
解答题
12 分
线面、面面垂直命题真假辨析
选择/填空题
5 分
线面垂直判定及线线垂直推导
选择/填空题
5 分
面面垂直性质定理应用判断
选择/解答题
5 分/12 分
线线垂直、线面垂直递进证明
解答题
12 分
【知识点01】直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α 互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
如果一条直线与一个
平面内的两条相交直
线垂直，那么该直线
与此平面垂直
m⊂α
n⊂α
m⋂n= P
l⊥m
l⊥n }
⇒l⊥α
垂直于同一个平面的
两条直线平行
a⊥α
b⊥α}⇒a∥b
【例1】在三棱锥P−ABC中，PA ⊥AB，PA ⊥AC，且AB∩AC = A，求证：PA ⊥平面ABC。
【知识点02】平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
如果一个平面过另一
个平面的垂线，那么
这两个平面垂直
a⊂α
a⊥β}⇒α⊥β
两个平面垂直，如果
一个平面内有一直线
垂直于这两个平面的
交线，那么这条直线
与另一个平面垂直
α ⊥β
α ⋂β =a
l⊥a
l⊂β }
⇒l⊥α
【例2】如图，在正四棱锥
中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，
是
的中点．求证：平面
平
面
．
【题型一】判断线面是否垂直于补全线面垂直的条件
【例1】已知平面
、
和直线m、l，要使“若
，
，
，则
”正确，则须添加条件（ ）
A．
B．
C．l 与
相交但不垂直
D．l 与m 为异面直线
【变式1】设m，n 为直线，
、
为平面，则
的一个充分条件可以是（ ）
A．
，
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线
，
和平面
，
，
，
，则
的必要不充分
条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体
中，下列说法正确的有（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
平面
D．
平面
【题型二】判断面面是否垂直于补全面面垂直的条件
【例2】设
是平面
内的两条不同直线，
是平面
内两条相交直线，则
的一个充分不必要条件是
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·四川广元·二模）已知直线
和平面
，
，若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2025·广东·一模）若空间中四个不同的平面
，满足
，则下面结论一
定正确的是（ ）
A．
B．
C．
既不垂直也不平行
D．
的位置关系不确定
【变式3】（多选）如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD 为菱形，M 是PC 上的一个动
点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（ ）
A．MD⊥MB
B．MD⊥PC
C．AB⊥AD
D．BM⊥PC
【题型三】证明线面垂直
【例3】（2025·山西·三模）如图所示，在三棱锥
中，
，
，
，点
，
，
分别在棱
，
，
上运动，且
平面
，
平面
，
，
分别是线段
和
的中点．
(1)证明：直线
平面
；
(2)当三角形
面积的最大值为
时，求三棱锥
的体积．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图1，在高为6 的等腰梯形
中，
，且
，将
它沿对称轴
折起，使平面
平面
，如图2，点
为
的中点，点
在线段
上（不同于
两
点），连接
并延长至点
，使
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求三棱锥
的体积．
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱柱
中，所有棱长均为1，
．
(1)证明：
平面
．
(2)求三棱柱
的体积．
【变式3】如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，
.
(1)证明：
平面
.
(2)若
，求三棱锥
的体积.
【题型四】证明面面垂直
【例4】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，
为
中点，求三棱锥
的体积．
【变式1】如图，在四棱锥
中，
，底面
是边长为2 的菱形.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，且
，求四棱锥
的体积
【变式2】（2024·陕西榆林·三模）如图，在底面为矩形的四棱锥
中，
底面ABCD．
(1)证明：平面
平面PCD．
(2)若
，
，E 在棱AD 上，且
，求四棱锥
的体积．
【变式3】如图，三棱柱
中，
与
均是边长为2 的正三角形，且
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求四棱锥
的体积．
【题型五】垂直关系中的存在性问题
【例5】如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
，
，
为线段
上
一点．
(1)当
平面
，求证：
为
的中点；
(2)在线段
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出点
的位置；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，在正四棱锥
中，
为底面正方形
的中心，
，
为线段
的中点，
问：在棱
上是否存在一点
，使
侧面
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，说明理由．
【变式2】如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
，
，E 为线段
上一点．
(1)当
∥平面
，求证：
为
的中点；
(2)在线段
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
【变式3】）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且
E，F 分别是BC，A1B1的中点.
(1)求证：BC1⊥A1C；
(2)求证：EF∥平面A1C1CA；
(3)在线段AB 上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【解题大招01】线面垂直证明——双相交线法
核心技巧：证明直线垂直平面，无需证明垂直平面内所有直线，只需找到平面内两条相交直线，分别证明直线与两条
相交直线垂直，即可套用判定定理，是高考解答题最基础方法。
【例1】已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，PA ⊥底面ABCD，求证：BC ⊥平面PAB。
【解题大招02】面面垂直证明——找垂线法
核心技巧：证明面面垂直，无需直接证明二面角为90°，核心思路是“找线面垂直”：在其中一个平面内找到一条直
线，证明该直线垂直于另一个平面，即可证得面面垂直。
【例2】已知三棱锥A −BCD，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，求证：平面ABC ⊥平面ACD。
【解题大招03】面面垂直性质逆向应用
核心技巧：题干给出面面垂直条件时，优先用性质定理，关键抓三个条件：面面垂直、直线在平面内、直线垂直于两
平面交线，三者缺一即可推出线面垂直，是立体几何转化的核心桥梁。
【例3】已知平面α ⊥平面β，α ∩β =l，直线a⊂α且a⊥l，求证：a⊥β。
【解题大招04】空间向量法（建系万能法，适配所有垂直证明）
核心步骤：① 找两两垂直的线段建立空间直角坐标系；② 写出各关键点坐标；③ 求解方向向量/法向量；④ 通过向
量点积公式判断垂直，规避几何法找线难点。
【例4】正方体ABCD−A1B1C1 D1，棱长为1，以D为原点，DA 、DC 、D D1分别为x、y 、z轴建立空间直
角坐标系，求证：D B1⊥AC。
【解题大招05】间接转化法（线面垂直→线线垂直）
核心技巧：异面直线垂直无法直接证明时，优先转化：先证一条直线垂直于另一条直线所在的平面，即可推出两直线
垂直，是异面垂直证明的最优思路。
【例5】已知PA ⊥矩形ABCD所在平面，求证：PD⊥AB。
【基础过关】（共7 题）
一、单选题
1．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥
中，若
平面
，
，则平面
、平面
、平面
、平面
中相互垂直的共有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
2．（2025·吉林通化·一模）设
是两个不同的平面，
是两条不同的直线（ ）
A．若
则
B．若
则
C．若
则
D．若
则
3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知直线，
，平面
，
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
二、多选题
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，
为圆锥
的底面圆的直径，
为母线
的中点，点
为底面圆上
异于
的任一点，则圆
上存在点
满足（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）如图，在正四棱台
中，上、下底面的棱长分别为2 和3，侧棱长为
，
分别延长
，
，
，
交于点
，则四棱锥
的体积为______．
6．（2024·陕西·三模）如图，四边形
是圆柱的轴截面，
是底面圆周上异于
的一点，则下面结论中正确的
序号是_____．（填序号）
①
；②
；③
平面
；④平面
平面
．
四、解答题
7. （2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知四棱锥
，底面
是边长为2 的菱形，直线
平面
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
；
(2)若
，点M 在平面
内，直线
平面
，求四棱锥
的体积．
【拔高选练】（共7 题）
一、单选题
1．（2024·广西贺州·一模）已知m，n 为不同的直线，
为不同的平面，若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·重庆九龙坡·三模）如图，矩形
中，
，将
沿
翻折，得到三棱
锥
(
是
在翻折后的对应点)，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．8
D．16
3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正三棱柱
中，
，D，E 分别为线段
，
的中点，点F 在
上，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·河南开封·模拟预测）在正方体
中，
为
的中点，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
三、填空题
5．（2026·上海·一模）已知
平面ABC，
，若
与以A，B，C 为顶点的三角形全等，则
的形状为_______.
四、解答题
6．（2024·四川成都·三模）已知在四棱锥
中，
平面
，四边形
是直角梯形，满足
，若
，点
为
的中点，点
为
的三等分点（靠近点
）．
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积．
7. （2024·上海静安·二模）如图1 所示，
是水平放置的矩形，
，
．如图2 所示，将
沿矩形
的对角线
向上翻折，使得平面
平面
．
(1)求四面体
的体积
；
(2)试判断与证明以下两个问题：
① 在平面
上是否存在经过点
的直线，使得
？
② 在平面
上是否存在经过点
的直线，使得
？
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）等边
的边长为2，D，E 分别为AB，AC 的中点，将
沿DE 折起，使点A 到达
点
的位置.若平面
平面BCED，则线段
的长为（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两互相垂直，
是
的垂心.若
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
二、多选题
3．（2026·四川成都·三模）在正三棱柱
中，
是棱
的中点，则（ ）
A．
B．
C．平面
平面
D．平面
平面
三、填空题
4．（2024·湖南岳阳·三模）如图所示，直角三角形
所在平面垂直于平面
，一条直角边
在平面
内，另一条
直角边
长为
且
，若平面
上存在点
，使得
的面积为
，则线段
长度的最小值为______．
四、解答题
5．如图，在三棱柱
中，
，
．
(1)证明：平面
平面
．
(2)设P 是棱
上一点，且
，求三棱锥
体积．
