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圆锥曲线：定点问题、定值问题、面积问题专项训练
考点目录
定点问题
定值问题
面积问题
考点一 定点问题
例1．（2026·广西柳州·二模）已知椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为
，
，点
的坐标为
，且
为
的中点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)斜率不为0 的动直线过点
交椭圆
于
，
两点，直线
，
交于点
，直线AD，BC 交于点
.
（i）设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，证明
为定值；
（ii）以
为直径的圆被
轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）是定值，
【详解】（1）因为点
的坐标为
，且
为
的中点，
所以
，即
.
又离心率
，所以
，
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）因为直线过点
，可设直线的方程为
，
，
由
消去
得
.
考点二 定值问题
所以
，
.
因为直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
所以
，
所以
.，
将
，
代入得
，
即
为定值
.
（ii）是定值.
因为
，
由两点式可得直线
的方程为
；
因为
，
，由两点式可得直线
的方程为
.
因为直线
，
交于点
，所以
，
将
代入得
，
整理得
.
由
得
，
所以
.
同理，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立可解得
，
因此
，所以直线
垂直于
轴，
以
为直径的圆的圆心为
，半径
，
所以圆的方程为
，
令
，可得
.
将
代入直线
的方程
得
，
同理得
.
则
.
将
代入得
，
所以
，解得
，
故弦长为
，是定值，
即以
为直径的圆被
轴所截得的弦长是定值，为
.
例2．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，动点E 满足直线
与
的斜率之积为
，记E 的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)过点
的直线交C 于P，Q 两点，
（i）求
的最小值；
（ii）过点P 作直线
的垂线，垂足为G，过点O 作
，垂足为M.证明：存在定点N，使得
为定值.
【答案】(1)
，曲线
为椭圆除去
这两个点；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）设动点
，
直线
与
的斜率之积为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的方程为
，曲线
为椭圆除去
这两个点.
（2）（i）过点
的直线交C 于P，Q 两点，
①当直线不存在斜率时，直线的方程为
，将
代入
，
解得
，则
，解得
，
②当直线存在斜率时，设直线的方程为
，
联立
，消去
，得到关于
的一元二次方程
，
整理得到
，即
，
过点
的直线交C 于P，Q 两点，
，
，
，
，
设
，
过点
的直线交C 于P，Q 两点，
的解为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综合①②，
，
.
（ii）
过点
的直线交C 于P，Q 两点，
的方程为
，
与
轴不重合，
设的直线方程为
，
联立
，消去
，得到关于
的一元二次方程
，
整理得到
，
设
，
过点
的直线交C 于P，Q 两点，
是
的两个根，
，
，
，
过点P 作直线
的垂线，垂足为
，
，
是：
上的点，
，
，
，
，
，
，
直线
的方程为
，整理得到
，
直线
恒过定点
，
，
为直角三角形，
取
的中点
，则
，
故
为定值，综上可知，存在定点N，使得
为定值.
例3．（25-26 高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知椭圆
（
）的离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设椭圆E 的右焦点为F，过点
作斜率不为0 的直线交椭圆E 于M，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为
，
．求证：
为定值；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知：
，
，
，
∴椭圆的方程为
，把点
代入方程得：
，
，
，
，所以椭圆
的方程为
.
（2）由（1）知椭圆
的方程为
，则右焦点
，
易知过点
的直线
的斜率存在，
设
，
，
的方程为
，
代入椭圆方程，得
，
则
，
，
，
，
为定值.
例4．（25-26 高二上·山东·月考）如图，椭圆
，且过
，离心率
．圆
，点P 为直线
上一个动点．
(1)求椭圆W 的标准方程；
(2)过点P 作椭圆W 的两条切线
，切点分别为
，证明：直线
过定点；（参考公式：若
为椭
圆
上的点，则椭圆在Q 处的切线方程为
）
(3)若直线
与圆O 相切于点M，且交椭圆W 于
两点，证明：
为定值．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意，得
，解得
，所以椭圆W 的标准方程为
．
（2）设点
，
则切线
的方程分别为
．
将
代入
，得到
，
点
的坐标满足方程
，则直线
的方程为
．
对于任意实数t，当
时，恒有
，即直线
过定点
，
所以直线
过定点
．
（3）圆
，圆心为
，半径为
，
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
．
由直线
与圆O 相切于点M，得
，
圆心
到直线
的距离
，
又因为
，
，所以
，解得
．
由
，整理得
．
则
，
，
所以
．
当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
或
，
联立
解得
，
所以
，所以
．
所以
为定值．
变式1．（25-26 高二上·安徽蚌埠·月考）已知O 为坐标原点，双曲线
过点
，离心
率为
．
(1)求双曲线C 的渐近线方程；
(2)直线l 过点
，与双曲线C 交于A、B 两点．
①若直线
，求
的面积；
②在x 轴上是否存在定点N，使得
为定值？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
；②存在，
【详解】（1）设双曲线的半焦距为．
因为点
在双曲线
上，得
．
因为离心率为
，所以
，
又
，解得
，
所以双曲线
的渐近线方程为
．
（2）由（1）知双曲线
．
①直线
斜率为
，
，故直线的方程为
，
代入双曲线
得
，
，
，
所以
．
又点
到的距离为
，
故
的面积为
．
②设
，
当直线斜率存在且不为0 时，设
，
代入双曲线
得
，
，
，
，
所以
，
若
为常数，则
为常数，
设
，
为常数，则对任意的实数
恒成立，
，
所以
，所以
，此时
．
当直线斜率为0 时，
，
，对于
，
则
，
直线斜率不存在时，
，
则
，对于
，
则
，
所以在
轴上存在定点
，使得
为定值
．
变式2．（25-26 高二上·福建厦门·期中）已知直线
交y 轴于点P，圆
，过点P 作圆
M 的两条切线，切点分别为A，B．
(1)当
时，求切线长
；
(2)求证：直线
恒过定点；
(3)记直线
与
交于点C，
，
是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)为定值
【详解】（1）圆
的圆心
，半径
，
当
时，
，则
，
因为
为圆的切线，所以
，
所以
；
（2）因为
，
，且
，
所以
四点共圆，且
为直径，
所以该圆圆心为
，半径为
，
所以圆的方程为：
，
因为
是该圆和圆
的相交弦，
所以直线
的方程为两圆方程相减，
即
，
化简可得
，
所以直线
经过定点
；
（3）因为
，所以
，
因为
在直线
上，所以
，
即点C 在以
为直径的圆上，因为
，
，
所以圆心为
，半径为
，
所以圆的方程为：
，圆心为
，
因为点C 在该圆上，所以
为定值
．
变式3．（25-26 高二上·黑龙江·期末）已知椭圆
：
的离心率为
，焦点与短轴端点围成
的四边形的面积为
.
(1)求椭圆
的标准方程.
(2)已知动直线过椭圆
的左焦点
，且与椭圆
分别交于
，
两点.试问
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出该定值和点
的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)定点
，定值为
，理由详见解析.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，所以
.
焦点与短轴端点围成的四边形为菱形，其面积为
，即
，
又
，
联立解得，
，
，
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）由（1）知，左焦点
.
设直线方程为
，
，
，
.
则
，
.
联立
，整理得
.
，
所以
，
.
.
要使
为定值，即
与
无关，
所以
，解得
，即
，
此时
.
所以定点
，定值为
.
变式4．（25-26 高二上·湖北荆州·月考）已知椭圆
过点
，左焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
相交于
两点，线段
的中点为
，点
在椭圆
上，满足
（
为坐标原点），求证：
的面积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【详解】（1）由题意知：
，解得：
，
，
椭圆
的方程为：
.
（2）
设
，
，
，
由
得：
，
，
，
，
，
，即
；
，
，
在椭圆
上，
，
；
，
原点
到直线
的距离
，
，
的面积为定值，定值为
.
例1．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
，
两点，求
面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）依题意
且
，可得
，则
；
（2）依题意，设直线方程为
，则
，
消去
并整理得
，
，
设
，则
，
则
面积
，
令
，则
，且
，
，而
在
上单调递增，其值域为
，
所以
时，
面积的最大值为
.
考点三 面积问题
例2．（25-26 高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知
，平面内一动点
满足
,
成等差数列，记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线交曲线
于A，B 两点.
①若点
的坐标为
，求线段AB 的长；
②若
的面积是
面积的3 倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
;直线：
【详解】（1）设动点
，已知：
，
，且
,
,
成等差数列，
由等差数列性质得：
,
易得：
,所以
，
根据椭圆定义：
，
，
中心在原点，焦点在
轴上，
故曲线
方程为：
.
（2）①直线过点
,
，故直线方程为：
，
联立：
，代入消元并通分得：
，
解得：
，
，所以点
,
,
故线段
.
②当斜率不存在时，即
，此时
四点共线，不构成三角形，不符合题意.
当斜率存在时，设直线为：
，
，
.
联立：
，展开通分得：
，
三角形
和三角形
是同底的，要使三角形
的面积是三角形
的3 倍，
即
，
，
，
观察发现：
，即同号，不妨设：
，
代入和与积：
，
，
代入得：
，
化简得：
，
故方程为：
.
综上：（1）曲线
方程：
.
（2）①线段
.②直线方程：
.
例3．（25-26 高二上·上海闵行·期末）如图，设
是椭圆
的下焦点，直线
与椭圆相交
于
两点，与
轴交于
点.
(1)若
，求
的值；
(2)求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为直线
与
轴交于
点，所以
.
设
，由
知
为
的中点，所以
.
由方程组
，消去
得
，
则
，即
，且
,
将
代入得
，消去
得
，
因为
，所以解得
.
（2）因为
是椭圆
的下焦点，所以
，
到直线
的距离
.
由弦长公式知
，
将
代入得
，
所以
，
令
，则
，
所以
，当且仅当
，即
，即
时等号成立，
所以
面积的最大值为
.
例4．（2026·河南鹤壁·一模）已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
和
是
上除顶点外的两个
动点．
(1)若直线
的斜率成等差数列，证明：直线
过定点；
(2)若直线
的斜率成等比数列，求
面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）由题意得
，所以
．
若直线
的斜率成等差数列，则
．
设
．
当直线
的斜率存在时，设
，由题意可知
．
由
得
，
则
．（*）
所以
将（*）代入，得
，化简得
，当
时，满足
．
所以
，可知该直线恒过点
．
当直线
的斜率不存在时，
，
所以
，得
，不符合条件．
综上，直线
过定点
；
（2）若直线
的斜率成等比数列，则
．
记
，由
可得
．
用
替换，可得
，因此
关于
轴对称．
因此
的面积为
．
可以看作关于
的函数，故只需考虑
的情况．
法一：①当
时，
．
考虑
，
再令
，则
，
于是
，
当且仅当
时，等号成立，此时
，解得
，符合题意．
②当
时，
，此时
，只需令
，计算过程与前面相同．
综上，
面积的最大值为1．
法二：对
求导，得
,
当
，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
取极小值为
，
当
时，
取极大值为
，
而当
时，
，而
，
则
的最大值为1，即
面积的最大值为1．
变式1．（25-26 高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭
圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，
已知椭圆
的蒙日圆半径为
，离心率为
．
(1)求椭圆
的标准方程．
(2)已知点P 是抛物线
的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交
于两点A，B 直线AB 与
交于C，
D 两点，记
，
分别是
，
的面积，求
的取值范围
【答案】(1)
(2)
．
【详解】（1）如图所示，显然直线
，
与
相切，且相互垂直，
则它们的交点
在蒙日圆上，
则由题意得
，解得
，
，
．
（2）设直线AB 的方程为
，由
,得
，
，
，
从而
，
又由
得
，
，
，
从而
，
（当且仅当
时，等号成立），
令
，则
，
由对勾函数的图像性质可知
在
上单调递增，
所以
，所以取值范围为
．
变式2．（25-26 高二上·湖南郑州·月考）如图
分别是
的左、右焦点，点
在椭圆
上，
当
最大时，
且
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)直线
与椭圆
的另一交点为
，过
作直线
的垂线
与圆
交于
两点，求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
最大时，点
与椭圆
的上顶点或下顶点重合，
不妨设
①，
②，
由①②得
，于是
，
所以椭圆
的标准方程是
.
（2）当直线
的斜率不存在时，容易求得
，
则四边形
的面积是
.
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
将
与
联立并消去
，
整理得
，则
，
则
，
由于直线与直线
垂直，且经过点
，
所以直线的方程为
，
所以点
到直线的距离为
，
则四边形
的面积为
，
令
，而
在
上为增函数，
所以
，于是
(当
时取得最大值).
综上可知，四边形
的面积为
.
变式3．（25-26 高二上·山东潍坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，
，
，
，R，
分别为线段
，
上的动点（不含端点），满足
.已知直线
与直线
的交点
在椭圆
上.
(1)求
的方程；
(2)若
，
为
上两点，直线
不平行于
轴，
为
的左顶点，直线
与
的斜率之积为
，且
.
（i）证明：点
到原点的距离为定值；
（ii）求
面积的最大值，并求出此时
，
的值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
面积的最大值为
，此时
.
【详解】（1）设
，
，因为
，所以
，
所以
.
设
，由题意
，
所以
，
得
，即为点
所在的椭圆
的方程.
（2）（i）设
，
.
因为
在椭圆
上，所以
，
同理：
.
又因为
.
因为
，
得：
，
得：
.
所以
.
而
.
所以
.
所以点
到原点的距离为定值1.
（ii）如图：
因为直线
与
轴不平行，所以可设直线
的方程为
，代入
得：
，
整理得：
.
由
.
因为
，
，
所以
.
所以
.
又
，
所以
，
所以
.
所以
.
所以
.
由
或
.
所以当
时，
取得最大值，为
.
此时，
，
，
所以
，
.
此时由
.
变式4．（25-26 高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆
（
）的离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设椭圆E 的右焦点为F，过点
作斜率不为0 的直线交椭圆E 于M，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为
，
．
①求证：
为定值；
②求
的面积S 的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）由题意知：
，
，
，
∴椭圆的方程为
，把点
代入方程得：
，
，
，
，所以椭圆
的方程为
．
（2）①由（1）可得右焦点
，易知直线
的斜率存在，
设
的方程为
．
代入椭圆方程得
．
设
，
，
则
，
.
，
为定值．
②
．
由判别式
，解得
．
，
，
点
到直线
：
，
即
的距离为
，
则
，
．
令
，（
），
则
，
所以当
，即
时，有最大值为
．
