文档文本内容
第 01 讲 直线的方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：直线的倾斜角与斜率
题型二：求直线的方程
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
角度2：与直线方程有关的最值问题
角度3：其它综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线的倾斜角
以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角.
（1）当直线 与 轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为 ；所以倾斜角的取值范围为：
；
特别地，当直线 与 轴垂直时，直线 的倾斜角为 .
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点二：直线的斜率
1、我们把一条直线的倾斜角 （ ） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母 表示，即
（1）倾斜角 不是 的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角 时，直线的斜率不存在.2、如果直线经过两点 ， （ ），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与 轴垂直，直线的倾斜角 ，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率 ，直线的倾斜角 ，直线与 轴重合或者平行。
知识点三：直线方程的五种形式
1、直线的点斜式方程
已知条件（使用前
直线 过点 和斜率 （已知一点+斜率）
提）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线 若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
2、直线的斜截式方程
已知条件（使用前 直线 的斜率为 且在 轴上的纵截距为 （已知斜率+纵截距）
提）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线 若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
3、直线的两点式方程已知条件（使用前
直线 上的两点 ， （ ， ）（已知两点）
提）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在且不为0；
当直线没有斜率( )或斜率为 0(y =y )时，不能用两点式求出它的方程
1 2
4、直线的截距式方程
已知条件（使用前 直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为
提）
图示
点斜式方程形式
适用条件 ，
5、直线的一般式方程
定义:关于 , 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于 , 的二元一次方程 (其中
, 不同时为0 )叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1． 、 不全为零才能表示一条直线，若 、 全为零则不能表示一条直线.
当 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线．
当 ， 时，方程可变形为 ，即 ，它表示一条与 轴垂直的直线．
由上可知，关于 、 的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于 、 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可
以对应着无数个关于 、 的一次方程.3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线的倾斜角与斜率
典型例题
例题1．（2022·辽宁鞍山·高二期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山东·青岛超银高级中学高二阶段练习）经过两点 ， 的直线的斜率为
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）若直线 的斜率满足 ，则该直线的
倾斜角 的范围是______．
例题4．（2022·吉林吉林·高二期中）直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·山东·济宁市育才中学高二阶段练习）已知直线 和以 为端
点的线段相交，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或 或
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）直线 的倾斜角为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．150°
2．（2022·全国·高三专题练习）设直线 的斜率为 ，且 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东·深圳市南头中学高二期中）已知点 ， ．若直线 与线段
相交，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））若直线过点 ，则此直线的斜率是
_____________．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ： ，直线 不过第四象限，求 的范围.
题型二：求直线的方程
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））过点 且与直线 平行的直线方程
为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山东菏泽·高二期中）过点 与 的直线的一般式方程为___________.
例题3．（2022·重庆八中高二期中）经过点 ，且与直线 垂直的直线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知 顶点
(1)求 边上中线所在的直线方程
(2)求 边上高线所在的直线方程．
例题5．（2022·浙江杭州·高二期中）己知直线 和直线 的交点为 .
(1)求过点 且与直线 平行的直线方程；
(2)若直线 与直线 垂直，且 到 的距离为 ，求直线的方程.
同类题型归类练
1．（2022·北京·汇文中学高二期中）已知直线在 轴上的截距为-2，则此直线方程可以为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·福建福州·高二期中）直线 过点 ，则直线 的方程为_________________．
3．（2022·宁夏·平罗中学高二期中（理））过点 且与直线 平行的直线的方程是
__________________.
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高二期中）求直线L的方程：
(1)求过点 且与直线 平行的直线的一般式方程；
(2)求过点 且与直线 垂直的直线的一般式方程.
5．（2022·江苏·赣榆智贤中学高二阶段练习）已知 中， 、 、 ，写出满足下列
条件的直线方程．
(1)BC边上的高线的方程；
(2)BC边的垂直平分线的方程．
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高二期中）已知直线 ，当实数 变化时，
恒过点（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）已知直线 恒过定点
， 恒过定点 ，则点 与点 的距离为________．
同类题型归类练
1．（2022·江苏省仪征中学高二期中）直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）直线 必过定点（ ）A． B． C． D．
角度2：与直线方程有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习）点 到直线 距离的最大值
为（ ）
A．1 B． C． D．2
例题2．（2022·山东·梁山县第一中学高二阶段练习）已知 ，直线 过定点
， 过定点 ，直线 与 相交于点 ，则 的最大值为______．
例题3．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）已知直线 ．
(1)判断直线 是否过定点，如果过定点求出此定点，不过说明理由；
(2)若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点B， 为坐标原点，设 的面积为 ，求 的最小
值及此时直线 的方程．
同类题型归类练
1．（2022·天津蓟州·高二期中）点 到直线 的距离最大时，
其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南省祁东县育贤中学高二阶段练习）设 ，已知直线l： ，过点
1
作直线l，且l∥l，则直线l 与l 之间距离的最大值是 __．
2 1 2 1 2
3．（2022·新疆·乌市八中高二期中）已知直线 .O为坐标原点，直线 交 轴正半轴于点
，交 轴正半轴于点 .
(1)设直线 所过定点为 ，求过 点且与 垂直的直线方程.
(2)记 ，求 的最小值.角度3：其它综合问题
典型例题
例题1．（2022·天津·南开大学附属中学高二期中）已知 的顶点坐标分别是 ， ，
.
(1)求 边上的中线所在直线的方程；
(2)求过点 且与直线 平行的直线方程；
(3)若点 ，当 时，求直线 倾斜角的取值范围．
例题2．（2022·山东省郓城第一中学高二期中）已知三条直线； ， ， ：
，且原点到直线 的距离是 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，能否找到一点 ，使 同时满足下列三个条件：①点 在第一象限；②点 到 的距离是点
到 的距离的2倍；③点 到 的距离与点 到 的距离之比是 ，若能，求点 的坐标；若不能，说
明理由．
例题3．（2022·湖南益阳·高二期中）已知点 ， ，点 关于直线 的对称点为点
(1)求 点坐标；
(2)在 中， ，求 面积的最大值．
例题4．（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）一条直线经过点 .分别求出满足下列条件的直线方
程.
(1)与直线 垂直；
(2)交 轴､ 轴的正半轴于 ， 两点，当三角形 的面积最小值时直线方程.同类题型归类练
1．（2022·海南·琼山中学高二期中）已知平面直角坐标系 中，点 .
(1)若M为 的中点，求直线 的斜率；
(2)求点C到直线 的距离.
2．（2022·浙江杭州·高二期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线 上，直线 被
圆C截得的弦长为
(1)求圆C方程;
(2)过点 的直线l与圆C交于M、N两点，且 的面积是 为坐标原点 ，求直线l的方程.
3．（2022·浙江杭州·高二期中）已知直线
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点;
(2)求点 到直线l的距离的最大值.
4．（2022·广东·深圳中学高二期中）己知直线 ．
(1)若直线 不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线 交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B， 的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此
时直线 的方程．
