文档文本内容
微专题拓展13 玩转极值点偏移问题与拐点偏移问题
目录
01
题
解
方法总结.............................................................................................................................2
02
点题
重难
型梳理........................................................................................................................ 3
题型一：不含参数的和型极值点偏移................................................................................................3
题型二：不含参数的积型极值点偏移................................................................................................5
题型三：含参数的和型极值点偏移....................................................................................................6
题型四：含参数的积型极值点偏移....................................................................................................7
题型五：平方型的极值点偏移............................................................................................................8
题型六：综合混合型的极值点偏移....................................................................................................9
题型七：拐点偏移的综合问题..........................................................................................................10
03
拓展
课后
精练...........................................................................................................................12
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性。若函数f ( x)在x=x0处取得极值，且函数y=f ( x)与直线y=b 交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则
AB 的中点为M ( x1+x2
2
,b)，而往往x0≠x1+x2
2
。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f ( x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f ( x)的解分别为
x1、x2，且a<x1<x2<b ，（1）若
x1+x2
2
≠x0 ，则称函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0偏移；
（2）若
x1+x2
2
>x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 左偏，简称极值点x0 左偏；（3）若
x1+x2
2
<x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0右偏，简称极值点x0 右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点
为
)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数
，若证
，则令
.
(3)判断单调性，即利用导数讨论
的单调性．
(4)比较大小，即判断函数
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系．
(5)转化，即利用函数
的单调性，将
与
的大小关系转化为
与
之间的关
系，进而得到所证或所求．
题型一：不含参数的和型极值点偏移
例1．（2026·高三·河北唐山·阶段检测）已知函数
.
(1)若函数
有两个零点，求的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
例2．（2026·高三·江苏南通·期中）已知
，其极小值为-4.
(1)求的值；
(2)若关于的方程
在
上有两个不相等的实数根
，
，求证：
.
例3．（2026·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
，且
．
变式1．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个不同零点
，求的取值范围，并证明
.
变式2．已知函数
有两个零点
，且
．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
．
变式3．（2026·河南周口·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数的取值范围；
(3)若
，且存在
，
，使得
，证明：
．
变式4．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，
.
(1)若对于任意
，都有
，求实数的取值范围；
(2)若函数
有两个零点
，求证：
.
题型二：不含参数的积
极值点偏移
型
例4．已知函数
．
(1)若
，求的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，
，则
．
例5．（2026·高三·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数
单调区间；
(2)设函数
，若
是函数
的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：
．
例6．（2026·高三·江苏连云港·阶段检测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的零点个数.
(2)若关于的方程
有两个不同实根
，求实数的取值范围并证明
.
变式5．（2026·高三·山东临沂·开学考试）已知函数
.
(1)证明：
.
(2)若函数
，若存在
使
，证明：
.
题型三：
极值点偏移
含参数的和型
例7．设函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)设
，记
，当
时，若方程
有两
个不相等的实根
，求证：
．
例8．已知函数
，e 为自然对数的底数.
(1)若函数
在
上有零点，求的取值范围；
(2)当
，
，且
，求证：
.
例9．已知函数
有两个零点．
(1)求a 的取值范围；
(2)设
，
是
的两个零点，证明：
．
变式6．已知函数
．若函数
有两个不相等的零点
．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
．
变式7．（2026·高三·广东东莞·期中）已知函数
，
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
题
极值点偏移
型四：含参数的积型
例10．已知函数
（
，
）.若函数
有两个零点
，
.证明：
.
例11．设函数
，
(1)若
有极值点、无零点，求的取值范围；
(2)若
的图象在区间
内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围；
(3)设
，若方程
有两个实数根
、
，且
，求证：
，且
．
题
极值点偏移
型五：平方型的
例12．（2026·山东聊城·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若当
时，
恒成立，求的取值范围；
(3)若关于的方程
有两个不等实根
，证明：
.
例13．（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知函数
（
）．
(1)当
时，求证：
；
(2)若函数
的两个零点为
（
）．
①求实数的取值范围；
②求证：
．
例14．已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
变式8．已知函数
（为自然对数的底数，
）．
(1)求
的单调区间和极值；
(2)若存在
，满足
，求证：
．
题
极值点偏移
型六：综合混合型的
例15．（2026·高三·河南新乡·阶段检测）已知函数
.
(1)求
的极值.
(2)若
，
，证明：
.
例16．已知
，若
有两个不等实根
，
，求证：
．
例17．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设a，b 为两个不相等的正数，且
，证明：
.
变式9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若
在
上单调递增，求的取值范围；
(2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线
与轴相切，
且切点为格点．
（i）求的值；
（ii）若
，且
，证明：
.
题
拐点偏移
问题
型七：
的综合
例18．设函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)若
，且
，求证：
．
例19．函数
.
（1）求
在
处的切线方程（为自然对数的底数）；
（2）设
，若
，满足
，求证：
.
例20．（2026·高三·全国·阶段检测）已知函数
.
(1)求
的单调区间
(2)若
的极值点为
，且
，证明：
.
1．（2026·辽宁丹东·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
有两个不同的零点
，求a 的取值范围，并证明：
．
2．已知
.
(1)若
在定义域内单调递增，求
的最小值.
(2)当
时，若
有两个极值点
，求证：
.
3．（2026·高三·辽宁丹东·阶段检测）已知
，
，
(1)若
恒成立，求的最大值
(2)若
，
是
的两个零点，且
求证：
4．（2026·高三·广东清远·期末）已知函数
．
(1)讨论
的零点个数．
(2)若
有两个不同的零点
，证明：
．
5．（2026·高三·江苏南通·期中）已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)求证：函数
存在两个零点（记为
），且
．
6．（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程.
（2）若正实数
满足
，求证：
.
7．已知函数
.证明：当
，
时，
.
8．已知函数
．
(1)证明：
；
(2)若
，且
，证明：
．
9．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求的取值范围；
(3)若
有两个零点
，
，证明
.
10．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数
，其中
.
(1)设
，若不等式
对
恒成立，求的取值范围.
(2)
，若
，求证：
11．已知函数
．
(1)若函数
在
上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，证明：
．
12．（2026·山西晋中·二模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若函数
有两个不同的零点
．
①求实数的取值范围；
②证明：
．
13．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)记函数
，若
，存在两个相异的正实数
满足
，求证：
．
14．（2026·高三·陕西榆林·期末）已知函数
.
(1)当
时，求
的最小值；
(2)已知函数
有两个零点
，
，且
.
（
）求
ⅰ
的取值范围；
（
）证明：
ⅱ
.
15．已知函数
．若函数
有两个零点
、
，求证：
．
16．已知函数
，其中
.当
时，设
的两个零点为
，
，求证：
.
17．已知函数
有两个零点
(1)求a 的取值范围；
(2)记
，
为
的两个零点，证明：
18．已知函数
有两个零点
、
．证明：
．
