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第 06 讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓
展）（核心考点精讲精练）
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识
点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围
的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前
两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
1. 模长的范围及最值
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
2. 夹角的范围及最值
类别 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
考点一、 模长的范围及最值问题1．（浙江·高考真题）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则
的最大值是
A．1 B．2 C． D．
2．（湖南·高考真题）已知 是单位向量， .若向量 满足 （ ）
A． B．
C． D．
3．（四川·高考真题）已知正三角形 的边长为 ，平面 内的动点 满足 ，
，则 的最大值是
A． B． C． D．
1．（全国·高考真题）设向量 满足 ， ， ，则 的最大值等于
A．4 B．2 C． D．1
2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆 上运动，且AB BC，若点P的坐标为（2，0），则
的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足 = = , = = =–
2，动点P，M满足 =1， = ，则 的最大值是
A． B． C． D．
考点 二 、 夹角的范围及最值问题
1．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 ，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ， ，满足 ，
，则向量 与 所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量 满足： ，当 与 所成
角 最大时，则
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹
角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量 满足 ，则 与 所成夹角的
取值范围是 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知不共线向量 ， 满足 ，且 ，向量 ，
的夹角为 ，若 ，则 的最小值为 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知 和 是平面内两个单位向量，且
，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知平面向量 、 、 满足 ，， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量 满足 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·统考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，若 ，且
，则 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（2021·全国·校联考模拟预测）在四边形 中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且
，若 >0，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆 上的动点， ，P
是圆 上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·重庆·校联考二模）已知平面内一正三角形 的外接圆半径为4，在三角形 中心为圆心
为半径的圆上有一个动 ，则 最大值为（ ）
A．13 B． C．5 D．
8．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点A，B，C，D满足 = = , =
= =–2，动点P，M满足 =1， = ，则 的最大值是
A． B． C． D．
9．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在 中， ，D是以BC为直径的
圆上一点，则 的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．10．（2021春·浙江·高三期末）已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·浙江·模拟预测）已知 为单位向量， ， ，当 取到最大值时，
等于（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知平面向量 、 、 满足 ，
且 对任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则
的最大值为 ．
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在 中，E为边BC中点，若 ， 的外接圆半径为3，
则 的最大值为 .
15．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知 是圆 上的两点， ，记 ，
，向量 ，若实数 满足 ，则 的最大值为 ．
16．（2023·吉林·统考三模）已知 ， 是单位向量，且 ．若向量 满足 ，则 的最
大值是 ．
17．（2023·上海金山·统考二模）已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若
，则 的最小值为 .
18．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在平面内,定点 满足
， 动点 满足 则 的最大值为
.
19．（2023·青海西宁·统考一模）1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大
油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点 在椭圆 上，若点A的坐标为 ，点 满足 ，
，则 的最小值是 .
20．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）等腰直角 的斜边 的端点分别在 ， 的正半轴上移动
（点 与原点 在 两侧）， ，若点 为 中点，则 的取值范围是 .
21．（2023·上海·统考模拟预测）已知向量 满足 与 的夹角为 ，则当实数 变化时，
的最小值为 ．
22．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量 、 、 满足 ， ，且 ，
则 的最小值是
23．（2022·浙江温州·统考二模）已知 ， ， 是非零平面向量， ， ， ，
，则 的最大值是 .
24．（2022·浙江金华·统考三模）已知平面向量 ， ， 满足 ，当 取到
最小值sh，对任意实数 ， 的最小值是 ．
25．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，
， ，则 的最小值为 .
26．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量 不共线，且满足 ，记 ，当
的夹角取得最大值时， 的值为 ．
27．（2023·上海普陀·统考二模）设x、 ，若向量 ， ， 满足 ， ， ，且
向量 与 互相平行，则 的最小值为 ．
28．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知平面向量 满足 ，且 与
的夹角为 ，则 的取值范围是 .29．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量 ，其中 为单位向量，且
满足 ，若 与 夹角为 ，向量 满足 ，则 最小值是 .
30．（2021·上海浦东新·统考三模）已知 ，若存在 ，使得 与 夹角
为 ，且 ，则 的最小值为 .
31．（2022·浙江金华·浙江省义乌中学校联考模拟预测）已知向量 ，若对于满足 的任意向
量 ，都存在 ，使得 恒成立，则向量 的模 的最大值为 .
32．（2023·四川南充·统考一模）已知向量 与 夹角为锐角，且 ，任意 ， 的最小
值为 ，若向量 满足 ，则 的取值范围为 ．
33．（2021·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： ，则
的最大值是 .
34．（2021·浙江嘉兴·统考二模）已知向量 ， ， ，若 且 ，则
的最小值是 ．
35．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量 ， ，且满足 ，若 为
平面单位向量，则 的最大值
36．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， 是非零平面向量， ， ， ，
，则 的最大值是 .
37．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ，
的夹角为 ，则 的最小值为 ．
38．（2022·浙江·模拟预测）已知向量 ， 满足 ，且 的最小值为1（ 为实数），记
， ，则 最大值为 .
三、双空题
39．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在平面内，定点 ，满足，且 ，则 ；平面内的动点 满足 ，
，则 的最大值是 ．
40．（2022·浙江·高三专题练习）已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足：
，则 ，对于任意 ，向量 与向量 所成角的最小值
为 ．
