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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第三章 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
.若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意
，可得，
.
故选：D.
2．曲线
在
处的切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【详解】由题意可知
，
所以曲线
在
处的切线的斜率
，
故选：B
3．已知a、b、
，
，下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对A，当
时，
，则
，故A 错误；
对B，
则
则
，故B 正确；
对C，当
时
，故C 错误；
对D，当
时
，故D 错误.
故选：B
4．“
”是“关于
的不等式
有实数解”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为关于
的不等式
有实数解，所以
，所以
，
又由于
真包含于
，
所以“
”是“关于
的不等式
有实数解”的必要不充分条件，
故选：B．
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是
，
后的温度是
，
则
，其中
表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C 的咖啡放在24℃的房
间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据:
） （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意
，即
，
，
，
设降温到35℃大约需要
，则
，
即
，
，
，
所以
，
故选：B．
6．已知定义在实数集
上的函数
满足：
，
，且
．
下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
在区间
上单调递减
C．
的周期为3
D．
【答案】D
【详解】对于A，令
，得
，则
，
令
，得
，函数
是偶函数，A 错误；
对于B，令
，得
，而
，则函数
在
上不是单调递减函数，B 错误；
对于C，令
，得
，则
，
令
，
，得
，则
，
，C 错误；
对于D，由
为偶函数，得
，D 正确.
故选：D
7．已知
，下列四个命题：①
，
，②
，
，③
，
，④
，
．
其中是真命题的有（ ）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
【答案】C
【详解】对于①，由
得：
，
，
，则
，①正确；
对于②，
，
，即
，则
，②正确；
对于③，函数
在
上为减函数，而
，则
，即
，
，③错
误；
对于④，当
时，
，
，即
，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
8．若函数
在区间
上有三个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
在区间
上有三个零点等价于函数
与
在
上有三个交点，
当
时，
在
上单调递减，
是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需
；
当
时，
，令
，得
，
令
，
，
令
，解得
，
所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得最大值
，
又
，
.
要使函数
与
在
上有三个交点，则
与
在
上需有一个交点、在
上需有两个交点，
则需满足
，所以
.
综上，实数a 的取值范围为
.
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知集合
，集合
，集合
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由
，得
，所以
.
由
，得
且
，得
或
，所以
或
.
由
，得
，所以
.
对于A，
，所以A 错误；
对于B，
，所以B 正确；
对于C，因为
{
或
}，所以
，
所以
，所以C 正确；
对于D，因为
，所以
.
因为
{
1 或
}，所以
，所以D 正确，
故选：BCD.
10．已知函数
，则（ ）
A．
的极小值点为2
B．
的极小值为
C．当
恰有1 个零点时，
的取值范围是
D．当
恰有2 个零点时，
的取值范围是
【答案】BC
【详解】
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，且极小值为
，A 错误，B 正确.
当
时，
，当
时，
，
当
恰有1 个零点时，
或
，得
，C 正确.
当
恰有2 个零点时，
且
，得
，D 错误.
故选：BC.
11．已知函数
在区间
上的最大值为2，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
有3 个零点
，则
C．若
，则函数
有2 个零点
D．若
，则
【答案】ABD
【详解】由
，则
，
当
时，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
则
，故A 正确；
对于B，若
有3 个零点
，
则
，
因此
，故B 正确；
对于CD，当
时，
，
令
，得
或
，所以函数
有3 个零点，故C 错误，
因为
，
，且
，
所以
，故D 正
确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
【答案】
【详解】设
，
，
因为函数是奇函数，
.
故答案为：
13．已知二次函数
的值域为
，则
的最小值为 .
【答案】4
【详解】因为二次函数
的值域为
，
所以
的最小值是
，且
，由二次函数性质得对称轴为
，
所以
的最小值为
，
所以
，即
，而
，
当且仅当
时取等，此时
.
故答案为：4
14．若
，则
的大小关系为 ．
【答案】
【详解】
，
，
，
令
，则
，
由
，得
，由
，得
．
在
上单调递增，在
上单调递减．
最大，
而
，
，
则
．
故答案为：
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【详解】（1）
,
，
所以
或
，..........................................................................................................................2 分
当
时，
，.................................................................................4 分
所以
.............................................................................................................................6 分
（2）由
，则
，.......................................................................................................................7 分
当
时，
，满足要求；............................................................................................9 分
当
时，
，
；
由
，则
，.......................................................................................................11 分
综上，
的取值范围是
或
....................................................................................................13 分
16．（15 分）已知函数
.
(1)当
时，求
在
上的值域；
(2)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
.
令
，
，
则
，
..................................................................................................2 分
因为函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当
时
；当
时
，...........................................................................................5 分
故函数
，
的值域为
.
所以当
时，
在
上的值域为
...........................................................................7 分
（2）当
时，
，满足
在
上单调递增，满足题意； ....................................9 分
当
时，设
，则
，
.
因为
单调递增，
所以要使
在
上单调递增，
须使
在
上单调递增，
所以
解得
.................................................................................................................................13 分
综上可得：实数
的取值范围为
，即
......................................................................................15 分
17．（15 分）已知函数
．
(1)若
的解集为
，求
，
的值；
(2)若
，求不等式
的解集；
(3)在（1）的条件下，若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【详解】（1）因为关于
的不等式
的解集为
，
所以关于
的方程
的两根为1，2，
所以
解得
.............................................................................................................3 分
（2）因为
，所以
．
①当
时，不等式为
，解集为
；
②当
时，不等式可化为
，解集为
或
；
③当
时，
，不等式可化为
，解集为
；
④当
时，
，不等式可化为
，解集为
；
⑤当
时，
，不等式可化为
，解集为
，.....................................8 分
综上，当
时，解集为
；当
时，解集为
或
；
当
时，解集为
；当
时，解集为
；
当
时，解集为
...................................................................................................................10 分
（3）由（1）知不等式
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
只需
．......................................................................................................................12 分
因为
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
，故实数
的取值范围为
．...................................................15 分
18．（17 分）已知
，
，
，设函数
，
，且
与
的最大
值相等.
(1)求
，
间的等量关系；
(2)证明：
与
都恰有1 个零点；
【详解】（1）函数
的定义域为R，求导得
，
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
；.............................3 分
函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，不符合题意；..............................................................................................5 分
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
无最大值，不符合题意；..........................7 分
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，....................................9 分
由
与
的最大值相等，得
，所以
.................................................................11 分
（2）由（1）知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，而
，
，
............................................................................................................................................................................13 分
当
时，
，当
趋近于负无穷大时，
趋近于负无穷大，因此函数
有唯一零点；
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，........................................15 分
当
时，
，当
从大于0 的方向趋近于0 时，
趋近于负无穷大，因此函数
有唯一零点，
所以
与
都恰有1 个零点..................................................................................................................17 分
19．（17 分）已知函数
，其中
，
.
(1)若曲线
在
处的切线方程为
，求
，
的值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若曲线
的一条切线是
轴，求
的取值范围.
【详解】（1）由
得，
，.........................................................................1 分
由题意得，
，因为
，
所以
，解得
..................................................................................................................3 分
将
代入切线方程可得
，即
，解得
，...........................................................4 分
（2）
，
当
时，
恒成立，则
在
上单调递增；..........................................................................6 分
当
时，由
，得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增................................................9 分
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增....................................11 分
（3）设切点为
，则
，即
.所以
，
，....................14 分
则
，
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
的值域为
，
故
的取值范围为
..............................................................................................................................17 分
