第二章函数
§2.9 指、对、幂的大小比较
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-
2024）
命题趋势
指对幂函数值大小
比较
2024·天津卷
2023·全国甲卷
2023·天津卷
2022·天津卷
2022·全国甲卷
2022·全国新Ⅰ卷
2021·天津卷
2021·全国新Ⅱ卷
函数“比大小”是非
常经典的题型，每年高考基本
都会出现，高考命题中，常常
在选择题中出现，往往将幂函
数、指数函数、对数函数、三
角函数等混在一起，进行排
序。考查学生利用函数的性质
与图象解答能力。
【名师点拨】
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的
青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升；高考命题中，常常在选择题中
出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。
这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解
答。
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
例1.已知a＝0.7
3
4 ,b＝log83
4 ,c＝4
3
4 ,则( )
A.b<a<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.a<b<c
【答案】A
【解析】由于y＝0.7x是R 上的减函数，
则0<0.7
3
4<0.70＝1，所以0<a<1，
由于y＝log8x 是(0，＋∞)上的增函数，
则log83
4<log81＝0，所以b<0，
由于y＝4x是R 上的增函数，
则4
3
4>40＝1，所以c>1，
所以b<a<c.
命题点2 找中间值
例2.设a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，则a，b，c 的大小关系是( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.c<a<b
【答案】A
【解析】0<a＝0.20.5＝
❑√5
5 <
❑√2.5
2
5
＝1
2 ,
1>b＝log53>log55
1
2 ＝1
2 ,
c＝50.2>50＝1，所以a<b<c.
命题点3 特殊值法
例3.已知a>b>1，0<c<1
2 ,则下列结论正确的是( )
A.ac<bc
B.abc<bac
C.alogbc<blogac
D.logac<logbc
【答案】C
【解析】取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝1
4 ,
则ac＝4
1
4 ,bc＝2
1
4 ,∴ac>bc，故A 错误；
abc＝4×2
1
4 ＝2
9
4 ,bac＝2×4
1
4 ＝2
3
2 ,
∴abc>bac，故B 错误；
logac＝log41
4 ＝－1，logbc＝log21
4＝－2，
alogbc＝－8，blogac＝－2，
∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C 正确，D 错误.
【解题技巧】利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1，0, 1
2 ,1”对所比较的数进行划分，然
后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数
对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而
可估计log23 是一个1~2 之间的小数，从而便于比较。
【变式训练】
变式1.设a＝2－0.5，b＝(
1
2)
0.3
,c＝log0.50.3，则a，b，c 的大小关系为( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<a<b
【答案】B
【解析】因为a＝2－0.5，b＝(
1
2)
0.3
＝2－0.3，
易知函数y＝2x在R 上是增函数，
又－0.5<－0.3<0，所以a<b<20＝1，
又易知y＝log0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，
所以c＝log0.50.3>log0.50.5＝1，
综上，a<b<c.
变式2.(2025·天津模拟)设a＝log2π，b＝log1
2π，c＝π－2，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
【答案】C
【解析】依题意，a＝log2π>log22＝1，b＝log1
2π<log1
21＝0，0<c＝π－2<π0＝1，所
以a>c>b.
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
命题点1 作差法
例1.设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<a<b
D.a<c<b
【答案】D
【解析】∵1
b＝log312＝1＋log34＝1＋lg 4
lg3
＝1＋2lg2
lg3 , 1
c ＝log540
＝1＋log58＝1＋lg8
lg5
＝1＋3lg2
lg5 ,
∴1
b －1
c ＝2lg2
lg3 －3lg2
lg5
＝2lg2×lg5−3lg2×lg3
lg3×lg5
＝lg2(2lg5−3lg3)
lg3×lg5
＝lg2(lg25−lg27)
lg3×lg5
<0，
∴1
b<1
c ,
又b>0，c>0，∴b>c；
∵1
c ＝1＋log58<1＋log5
❑√125
＝1＋log55
3
2 ＝5
2 ,∴c>2
5 ,
∵1
a＝log26＝1＋log23>1＋log2
❑√8
＝1＋log22
3
2 ＝5
2 ,∴a<2
5 ,
∴a<c.∴a<c<b.
命题点2 作商法
例2.(2025·成都模拟)若a＝3
−1
4 ,b＝(
3
2)
−1
3 ,c＝log1
2
2
5 ,则a，b，c 的大小关系为(
)
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.c>b>a
【答案】D
【解析】因为0<a＝3
−1
4<30＝1，
0<b＝(
3
2)
−1
3<(
3
2)
0
＝1，
令
a
b ＝3
−1
4
(
3
2)
−1
3
＝3
−1
4 ＋1
3
×2
−1
3 ＝3
1
12×2
−1
3 ,
而(3
1
12 ×2
−1
3)
12
＝(3
1
12)
12
×(2
−1
3)12
＝3×2－4＝3
16<1，
即3
1
12×2
−1
3<1，所以a<b，
又因为c＝log1
2
2
5＝log1
2
4
10>log1
2
5
10＝log1
2
1
2＝1，所以c>b>a.
命题点3 乘方法
例3.已知a＝log35，b＝log57，c＝4
3 ,则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.a>c>b
【答案】D
【解析】因为53＝125>(3
4
3 )
3＝81，所以5>3
4
3 ,
所以log35>log33
4
3 ＝4
3 ,即a>c.
因为73＝343<(5
4
3 )
3＝625，所以7<5
4
3 ,
所以log57<log55
4
3 ＝4
3 ,即b<c.
所以a>c>b.
【解题技巧】
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单
调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量
将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
【变式训练】
变式1.已知正数a，b，c 满足2 024a＝2 025，2 025b＝2 024，ec＝2，下列说
法正确的是( )
A.logac>logbc
B.logca>logcb
C.ac<bc
D.ca<cb
【答案】D
【解析】∵2 024a＝2 025，2 025b＝2 024，ec＝2，
∴a＝log2 0242 025>1，b＝log2 0252 024<1，c＝ln 2<1，
∴a>1，0<b<1，0<c<1，
∴logac<0，logbc>0，∴logac<logbc，故A 错误；
∵0<c<1，a>b，∴logca<logcb，ac>bc，ca<cb，故B，C 错误，D 正确.
变式2.若a＝4
lo g2
❑√3
2 ,b＝log147，c＝log126，则( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
【答案】A
【解析】a＝4
lo g2
❑√3
2 ＝2
2lo g2
❑√3
2 ＝2
lo g2(
❑√3
2 )
2
＝(
❑√3
2 )
2
＝3
4 ,
b＝log147＝1－log142＝1－ln2
ln14 ,c＝log126＝1－log122＝1－ln2
ln12 ,
因为4log142＝log1424＝log1416>1，则log142>1
4 ,
所以1－log142<1－1
4 ＝3
4 ,即b<a；
而ln 2>0，ln 14>ln 12>0，所以ln 2
ln14< ln 2
ln12 ,
所以1－ln2
ln14>1－ln2
ln12 ,即b>c，
综上，a>b>c.
【限时训练】（45 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知a＝20.3，b＝30.2，c＝log0.20.3，则( )
A.b>c>a
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
【答案】D
【解析】依题意，b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1，c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，所以
b>a>c.
2.(2025·攀枝花模拟)若a＝(❑√3)
2
3 ,b＝log3e，c＝(
1
e)
−1
3 ,则( )
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.c>b>a
【答案】A
【解析】易知y＝x
1
3在(0，＋∞)上单调递增，则(❑√3)
2
3 ＝3
1
3>e
1
3 ＝(
1
e)
−1
3 ,即
a>c，
而由y＝3x，y＝ex均为增函数，得3
1
3>30＝1,e
1
3>e0＝1，即a>c>1，
又y＝log3x 为增函数，故1＝log33>log3e＝b，
则a>c>1>b.
3.已知a＝ln ❑√3,b＝π
1
e ,c＝ln
3√π ,则a，b，c 的大小关系为( )
A.b>a>c
B.b>c>a
C.a>c>b
D.a>b>c
【答案】A
【解析】∵(❑√3)
6＝27,(
3√π )
6＝π2，27>π2，
∴❑√3>
3√π ,
∴0<ln
3√π<ln ❑√3<ln e＝1，即c<a<1，
∵b＝π
1
e>1，
∴b>a>c.
4.已知a＝log32，b＝log43，c＝sin π
6 ,则a，b，c 的大小关系为( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>c>a
D.b>a>c
【答案】D
【解析】c＝sin π
6 ＝1
2 ,因为函数y＝log3x，y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，
则a＝log32>log3
❑√3＝1
2 ,
b＝log43>log42＝1
2.
a－b＝ln 2
ln3 －ln3
ln 4 ＝ln 2×ln 4−(ln3)
2
ln3×ln 4
,
因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2＋ln 4>2❑√ln 2×ln 4⇒ln 2×ln 4<1
4×(ln 8)2<1
4×(ln 9)2＝
(ln 3)2.
故a<b，综上，b>a>c.
5.(2025·沈阳模拟)设a＝e
10
33 ,b＝ln 11
10 ,c＝ln 2.2
10
,则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<c<b
【答案】B
【解析】a＝e
10
33>e0＝1，b＝ln 11
10<1，c＝ln2.2
10 <1，故a>b，a>c，
要比较ln 11
10与ln 2.2
10 的大小，即比较ln(
11
10)
10
与ln 2.2 的大小，
等价于比较1.110与2.2 的大小，等价于比较1.19与2 的大小，
又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1×1.96>2，
故1.19>2，即ln 11
10>ln 2.2
10
,即b>c，
故c<b<a.
6.已知log4m＝9
20 ,log12n＝1
4 ,0.9p＝0.8，则正数m，n，p 的大小关系为( )
A.p>m>n
B.m>n>p
C.m>p>n
D.p>n>m
【答案】A
【解析】由log4m＝9
20 ,得m＝4
9
20 ＝2
9
10<2，
由log12n＝1
4 ,得n＝12
1
4 ,
m
n ＝4
9
20
12
1
4
＝4
1
20 ×9
12
1
20 ×5 ＝(
4
9
12
5)
1
20 ＝(
4
9
3
5×4
5)
1
20 ＝(
4
4
3
5)
1
20 ＝(
256
243)
1
20>1，因此2>m>n；
由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，
所以正数m，n，p 的大小关系为p>m>n.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知x>y>0，则( )
A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1)
B.cos x>cos y
C.(x＋1)3>(y＋1)3
D.e－x＋1>e－y＋1
【答案】AC
【解析】对于A，由x>y>0，得x2＋1>y2＋1，又f(t)＝log2t 是增函数，所以
log2(x2＋1)>log2(y2＋1)，故A 正确；
对于B，由于g(t)＝cos t 在(0，＋∞)上不单调，所以cos x 与cos y 的大小关系无
法确定，故B 错误；
对于C，由x>y，得x＋1>y＋1，又h(t)＝t3是增函数，所以(x＋1)3>(y＋1)3，故
C 正确；
对于D，由x>y，得－x＋1<－y＋1，又φ(t)＝et是增函数，所以e－x＋1<e－y＋1，故
D 错误.
8.设a＝ln 4，b＝lg 4，c＝20.6，则( )
A.b>a
B.c>a
C.a－b>ab
D.a＋b>ab
【答案】BD
【解析】因为a＝ln 4>ln e＝1，b＝lg 4<lg 10＝1，所以b<a，故A 错误；
因为42<e3，所以ln 42<ln e3，即ln 4<3
2 ,又(
3
2)
5
＝243
32 ,(2
0.6)
5＝(2
3
5 )
5＝8＝256
32 ,
所以3
2<20.6，则ln 4<20.6，即a<c，故B 正确；
因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝lg 4
lg e－lg 4－(lg 4)
2
lg e ＝lg 4[1−lg(4 e)]
lg e
,而
lg(4e)>1，lg 4>0，lg e>0，所以a－b－ab<0，即a－b<ab，故C 错误；
由a＋b－ab＝lg 4
lg e＋lg 4－lg 4
lg e·lg 4＝lg 4·lg 5e
2
lg e
>0，所以a＋b>ab，故D 正
确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知a＝log20.5，b＝20.5，c＝sin 2，则a，b，c 的大小关系为 .
【答案】a<c<b
【解析】因为函数y＝log2x 是增函数，且0.5<1，
则a＝log20.5<log21＝0，
因为函数y＝2x是增函数，且0.5>0，
则b＝20.5>20＝1，
因为正弦函数y＝sin x 在区间[
π
2 , 3 π
2 ]上单调递减，且π
2 <2<π，
所以0＝sin π<c＝sin 2<sin π
2 ＝1，
所以a<c<b.
10.定义域为R 的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，且当x1<x2<2 时，[f(x2)－f(x1)](x2
－x1)>0 恒成立，a＝f(1)，b＝f(ln 10)，c＝f(3
5
4)，则a，b，c 的大小关系为
.(从大到小排列)
【答案】b>a>c
【解析】因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2 对称，
当x1<x2<2 时，x2－x1>0，
由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
得f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，
则f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
根据函数y＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，且e2<10<2.53<e3，则2<ln 10<3；
根据函数y＝3x在R 上单调递增，且1<5
4 ,
则3<3
5
4 ,
则有3
5
4>3>ln 10.
由函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，f(1)＝f(3)，
可知f(ln 10)>f(3)>f(3
5
4)，即b>a>c.
