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专题 01 数学文化背景下的中考数学之集合与常用逻辑用语
背景1：中国古代重要的数学著作 孙子算经 下卷有题：今有物，不知其数 三三数之，剩二；五五
数之，剩三；七七数之，剩二 问：物几何？
背景2：1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称
“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的
时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两个非空的子集M与N，且满足
， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割
背景3：群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的
其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是
群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对
所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②
，使得 ，有 ，③ ， ，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一
个群.
背景4：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是
两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.
背景5：利用名人所做诗词为背景判别充分条件与必要条件
集合知识归纳总结：
1.集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 或 表示．
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
4、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋2.集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
集合A的所有元素都是集合B的
子集 或
元素（ 则 ）
基本
集合A是集合B的子集，且集合
关系 真子集
或
B中至少有一个元素不属于A
相等 集合A，B的元素完全相同
不含任何元素的集合．空集是任
空集
何集合A的子集
3.集合的基本运算
集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
注：常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A．
（2）交集的性质：A∩ ＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B．
⇔ ⊆
（3）补集的性质：A∪ ∅ ( U A)＝U；A∩( U A)＝∅． ∁U ( U A)＝A； ⇔ ⊆
U (A∪B)＝( U A)∩( U B)； ∁∁U (A∩B)＝( U∁ A)∪( U B)． ∁
∁（4）若集合∁ 中含∁有 个元素，则它∁的子集∁个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集个数为 ．
常用逻辑用语知识归纳总结：
4.充分条件与必要条件：
若p q，则p是q的充分条件q是p的必要条件。
若p⇒q，则p是q充要条件。
若p⇔q，q p,p是q的充分不必要条件。
若p⇒q，q⇏p,p是q的必要不充分条件。
若条
⇏
件p， ⇒q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，q是p的必要条件
①若A⊆ B，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
⊈ ⊉
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集
合范围一样，就是充要条件的关系；
5.全称量词：
一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“ ”
表示，
一般地，“存在”“有的”“有一个”在陈述句中表示所述事物的部分，称为存在量词，用符号“ ”表
示，
全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
1 借助数学文化考查集合的概念及表示
中国古代重要的数学著作 孙子算经 下卷有题：今有物，不知其数 三三数之，剩二；五五数之，剩三；
七七数之，剩二 问：物几何？现有如下表示：已知 ， ，
，若 ，则下列选项中符合题意的整数 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，选项A错误；
，则 ，选项B错误；
，则 ，选项C错误；
，故 ； ，故 ； ，故 ，则 ，选项D正
确.
故选：D．
变式1.中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三
日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.
【答案】
【解析】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，
所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为 .
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为 .
故答案为： ，
借助数学文化考查集合的运算
2
（多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴
德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也
结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两个非空的子集M与N，且满足 ，
，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割.试判断下列选项中，
可能成立的是（ ）
A． 满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
【答案】ABC
【解析】对于A， 满足戴德金分割的定义，A正确；
对于B,取 ，符合戴德金分割，
M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确；
对于C，取 满足戴德金分割的定义，
M没有最大元素，N没有最小元素，C正确；
对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义，必有 ，则无法满足 ，D错误，
故选： .
变式1.由无理数引发的数学危机一直延续到 世纪，直到 年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分
割”才结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集 划分为两个
非空的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，
则称 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割 ，下列选项中一定不成立的是（ ）
A． 没有最大元素， 有一个最小元素
B． 没有最大元素， 也没有最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素
D． 有一个最大元素， 没有最小元素
【答案】C
【解析】若 ， ；则 没有最大元素， 有一个最小元素 ；故A正确；
若 ， ；则 没有最大元素， 也没有最小元素；故B正确；
若 ， ； 有一个最大元素， 没有最小元素，故D正确；
有一个最大元素， 有一个最小元素不可能，故C不正确.
故选：C
变式2.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足 Q， ，A中
的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分
割______．
【答案】 ， （答案不唯一）
【解析】以无理数分界写出一组即可，如 ， ．（答案不唯一）；
故答案为： ， ．（答案不唯一）
借助数学文化考查高等数学与集合的联系
3
（多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其
他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、
b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；② ，使得
，有 ，③ ， ，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正
确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B．G={x|x= ，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D． 关于数的加法构成群
【答案】CD
【解析】对于A：若 ，对所有的a、 ，有 ，
满足乘法结合律，即①成立，满足②的 为1，
但当 时，不存在 ，使得 ，即③不成立，
即选项A错误；
对于B：因为 ，且 ，但 ，
所以选项B错误；
对于C：若 ，对所有的a、 ，有 ，
满足加法结合律，即①成立，满足②的 为0，
， ，使 ，即③成立；
即选项C正确；
对于D：若 ，所有的 、 ，
有 ， 成立，
即①成立；当 时， ，满足的 ，即②成立；
， ，使 ，即③成立；
即选项D正确.
故选：CD.
变式1.（多选）当一个非空数集G满足“如果a、 ，则 、 、 ，且 时， ”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（ ）
A.0是任何数域中的元素；B.若数域G中有非零元素，则 ；
C.集合 是一个数域；D.有理数集Q是一个数域．
【答案】ABD
【解析】由定义可知， ，即0是任何数域中的元素，A正确；
若域G中有非零元素a，则 ，所以 ， ，…， ，B正确；
记 则 ，但 ，故C错误；
易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故D正确.
故选：ABD
借助数学文化考查古诗词与充分条件、必要条件的联
4
系
杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读
透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破
万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他
的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.
故选：C
变式1.毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句
的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”
“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】“好汉” “到长城”， “到长城” “好汉”，
所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分变式2.必修一课本有一段话：当命题“若 ，则 ”为真命题，则“由 可以推出 ”，即一旦 成立，
就成立， 是 成立的充分条件.也可以这样说，若 不成立，那么 一定不成立， 对 成立也是很必
要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所
罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，
故选：B.
变式2.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返
回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分不成立，
但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要性成立，
所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，
故选：B．
借助数学文化考查数学背景与充分条件、必要条件的
5
联系
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几
何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，
q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，反之不成立．
是 的必要不充分条件．故选：B.
变式1.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容
异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何
体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不
恒相等”的条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条
件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：
“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，
故选：A．
1．集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用 表示有限
集合中元素的个数，例如： ，则 .若对于任意两个有限集合 ，有
.某校举办运动会，高三（1）班参加田赛的学生有14人，参
加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高三（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28 B．23 C．18 D．16
【答案】C
【解析】设参加田赛的学生组成集合A，则 ，
参加径赛的学生组成集合B，则 ，由题意得 ，
所以 ，
所以高三（1）班参加本次运动会的人数共有 .
故选：C.
2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设
值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前
已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位
正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自
恋数组成集合A，集合 ，则 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】依题意， ， ，
故 ，故 的子集个数为8．
故选：D．
3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则
体积相等．设 为两个同高的几何体， 在等高处的截面积不恒相等， 的体积不相等，根
据祖暅原理可知， 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何
体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以 ；
反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由 推不出 ，
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B.4．给定整数 ，有 个实数元素的集合 ，定义其相伴数集 ，如果 ，
则称集合 为一个 元规范数集．（注： 表示数集 中的最小数）．对于集合
，则（ ）
A． 是规范数集， 不是规范数集 B． 是规范数集， 是规范数集
C． 不是规范数集， 是规范数集 D． 不是规范数集， 不是规范数集
【答案】C
【解析】集合 中， ，则 ，
即 的相伴数集中的最小数不是1，因此 不是规范数集；
集合 ， ，
，
即 的相伴数集中的最小数是1，因此 是规范数集.
故选：C
5.《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则
“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．不能确定
【答案】A
【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也”
知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，
所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件.
故选：A.
6．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记 为集合 的元素个数， 为
集合 的子集个数，若集合 满足：① ， ；②
，则 的最大值是（ ）
A. 99 B. C. D. 96
【答案】B【解析】设 ，
则 ，即 ，
所以 ,
若 ,则 ，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
若 ，则 ，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
所以 ,即 ，
因为 ，
且满足 ，
所以 包含了 的 个元素外，
还包含 个属于 而不属于 的元素，
当 时，则 ,
如 ，符合题意.
当 时，则 ,
如 ，符合题意.
所以 的最大值为 ，
故选：B.
7．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；
五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知 ，
， ，若 ，则下列选项中符合题意的整数
为（ ）A．8 B．128 C．37 D．23
【答案】BD
【解析】对于A，因 ，则 ，选项A错误；
对于B， ，即 ；又 ，即 ；而 ，即 ，因此，
，选项B正确；
对于C，因 ，则 ，选项C错误；
对于D， ，即 ；又 ，即 ；而 ，即 ，因此，
，选项D正确.
故选：BD
8.（多选）在整数集 中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 ，
，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．整数 属于同一“类”的充要条件是“ ”
【答案】BCD
【解析】对于A，由 得 ，故A错误；
对于B，由 得 ，故B正确；
对于C，所有整数被4除所得的余数只有 四种情况，即刚好分成 共4类，故
，故C正确.
对于D，若整数 属于同一“类”，则 ，
故 ，所以 ；
反之，不妨设 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，所以整数 属于同一“类”；
故整数 属于同一“类”的充要条件是“ ”，即D正确.
故选：BCD.9.若一个非空数集 满足：对任意 ，有 ， ， ，且当 时，有 ，则称 为
一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域 有非零元素，则 ；
（3）集合 为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【解析】（1）当 时， 属于数域，故（1）正确，
（2）若数域 有非零元素，则 ，
从而 ，故（2）正确；
（3）由集合 的表示可知得 是3的倍数，当 时， ，故（3）错误，
（4）若 是有理数集，则当 ， ，则 ， ， ，且当 时， ”都成立，故
（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
10．设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 满足：（ⅰ） ；
（ⅱ）对任意 ，当 时，恒有 ．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下
3对集合：
① ，B为正整数集；
② ， ；
③ ， ．
其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）
【答案】①②③
【解析】条件（ⅰ）（ⅱ）说明 到 是一个一一映射，且函数为单调递增函数.
对于①，可拟合函数 满足上述两个条件，故是保序同构；对于②，可拟合函数 满足上述两个条件，故是保序同构；
对于③，可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构；
故答案为：①②③
