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第八章 平面解析几何
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在数轴上，已知
的中点为
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】C
【分析】方法一先计算
，结合中点再计算
；方法二先计算
的中点
的坐标，再计算
；
【详解】方法一 由题意，
，又
为
的中点，所以
．
方法二 因为
为
的中点，所以点
的坐标为
，所以
．
故选：C.
2．已知点
，
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程.
【详解】根据题意，以
为直径的圆的圆心为
中点
，半径为
，
所以圆的方程为
.
故选：B.
3．已知椭圆
的离心率为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4 或
D．
或
【答案】D
【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解.
【详解】当
的焦点在
轴上时，
，
易知
，则
，解得
；
当
的焦点在
轴上时，
，
易知
，则
，解得
，
所以
的值为
或
.
故选：D
4．若直线的截距式方程
化为斜截式方程为
，化为一般式方程为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
化为一般式，结合条件有
，且
，即可求解.
【详解】易知
，由
，得到
，
由已知一般式方程为
，所以有
，
则
，解得
，
又
，
，
所以
，则
，
故选：A.
5．已知平面内有两点
和
，且该平面内的点
满足
，若点
的轨迹关于直线
对称，则
（ ）
A．0
B．2
C．5
D．7
【答案】B
【分析】设点
的坐标为
，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解.
【详解】设点
的坐标为
，因为
，
所以
，即
，
整理得点
的轨迹方程为
，此方程表示一个圆．
因为点
的轨迹关于直线
对称，
所以圆心
在此直线上，代入得
．
故选：B
6．已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，左、右焦点分别为
，延长
交椭
圆
于点
．若点
到直线
的距离为
，
的周长为16，则椭圆
的焦距为（ ）
A．3
B．2
C．5
D．4
【答案】D
【分析】由题意得直线
为
，由点线距离、椭圆焦点三角形周长列方程，结合椭圆参数关
系求参数值，即可得.
【详解】由题意
，
，
，则直线
的方程为
，即
，
所以点
到直线
的距离
①．
由
的周长为16，得
，即
②．
联立①②，解得
③．
因为
，所以
④．
联立②④，解得
，
，所以
．
故选：D
7．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
引圆
的切线，切点为
，延长
，交双曲线右支于点
．若
为线段
的中点，
为坐标原点，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用图形，结合双曲线的定义，找到对应线段之间的联系，简化计算即可求解．
【详解】如图，连接
，
，因为
为
的中点，
为
的中点，
所以
，
所以
．
因为
，
所以
，
所以
，即
．
故选：A．
8．如图，在圆锥
中，
为底面圆
的直径，过
的中点
与
平行作平面截圆锥，得到截面与圆
锥侧面的交线是双曲线的一部分.若
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，该曲线与圆锥的底面圆交于点
、
，取
的中点
，过作
，交
直线
于点
，过点
作
轴
，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为
，得到
及
点坐标，即可求出
，从而求出离心率.
【详解】设
，该曲线与圆锥的底面圆交于点
、
，
因为
，所以
，即
为等边三角形，
又
为
的中点，取
的中点
，过作
，交直线
于点
，过点
作
轴
，
以直线
为
轴，
为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为
，
所以
，又
，所以
，
则点
，
所以
，解得
（负值舍去），
所以双曲线的离心率
.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知直线
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的充要条件为
或
B．若
，则
C．若直线不经过第四象限，则
D．若
，则将直线
绕坐标原点按逆时针方向旋转
，再向右平移一个单位长度，所得直线方程
为
【答案】BCD
【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线
方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平
移求出平移后的直线方程，即可判断D.
【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若
，则
，解得
或
，
经检验
时，这两条直线重合，所以
，故
充要条件不是“
或
”．故A 不正确；
对于B，若
，则
，解得
．故B 正确；
对于C，若直线
不经过第四象限，则
，解得
．故C 正确；
对于D，若
，则直线
，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转
，得到直线
，再向右平移
一个单位长度，所得直线方程为
，故D 正确.
故选：BCD
10．已知
，若过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于
点
与
不重合），则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
为定值
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】A 选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到
的绝对值；B 选项，利用两直线
斜率关系，证得
，从而利用直角三角形三边关系求出
为定值；C 选项，用基本不等式
，计算三角形面积最大值；D 选项，引进角
为变量，实质是通过三角换元，解决两个
变量的最值问题.
【详解】列表解析 直观解疑惑
选
项
正
误
原因
A
√
因为
可化为
，所以直线恒过定点
．又因为
可化为
，所以直线
恒过定点
．故
．
B
√
对于直线
，因为
，所以
，可得
，因此
，为定值．
C
×
，当且仅当
时等号成立（点拨 注意等号成立的条件是否满足），所
以
的最大值为
．
D
√
设
，因为
，所以
为锐角，
，
所以
，其中
，所以当
时，
取得最大值
．
故选：ABD.
11．如图，
，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为
直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线
，则（ ）
A．曲线
与
轴围成的图形的面积等于
B．曲线
上有5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧
所在圆的方程为
D．弧
与弧
的公切线方程为
【答案】BC
【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A 的正误；根据图中的交点，可得B 的正误；根据图中明确
圆心与半径，可得C 的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D 的正误.
【详解】对于A，如图所示，连接
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，则曲线
与
轴围成的图形的面积
．A 错误；
对于B，曲线
上有
5 个整点．B 正确；
对于C，弧
所在圆的圆心为
，半径为1，故圆的方程为
．C 正确；
对于D，设弧
与弧
的公切线方程为
，根据图象知
，
则
，解得
，即公切线方程为
．D 错误；
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．直线
和直线
的夹角为 ．
【答案】
/
【分析】根据直线方程确定对应的倾斜角，即可得.
【详解】由
的倾斜角为
，
的斜率为
，即倾斜角为
，
所以两直线的夹角为
.
故答案为：
13．已知圆
，圆
，
分别为圆
和圆
上的动点，
为直线
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求得圆
关于直线
对称的圆为圆
，将原问题转化为
到圆
和圆
上的动点距
离之和最小值问题求解.
【详解】圆
，即
，
圆心为
，半径
圆
，即
，
圆心为
，半径
，
设点
关于直线
对称的点为
，
则
，解得：
，
圆
关于直线
对称的圆为圆
，
其圆心为
，半径
，
则其方程为
，
设圆
上的点
与圆
上点
对称，则有
，
原问题可以转化为
到圆
和圆
上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接
，与直线交于点
，
此时点
是满足
最小的点，
此时
，
即
的最小值为
，
故答案为：
14．如图，过双曲线
的右顶点
作斜率为1 的直线
，分别与两渐近线交于
两点，若
，则双曲线
的离心率
．
【答案】
或
【分析】由题意可得直线
，求得渐近线方程，进而求得交点
，
，分当
是
的中点与
为
的中点两种情况求解即可.
【详解】由题意得，双曲线的右顶点为
，所以直线
．
若与双曲线
的两条渐近线分别交于点
．
联立其中一条渐近线
，即
解得
．①
同理联立方程
，解得
．②
又因为
，
如图，当
是
的中点时，
，即
，③
把①②代入③，
，
所以
，所以得
．
所以
；
当
在
之间时，根据三角形相似可以得到
，所以
，④
把①②代入④，整理得
，所以
．
综上所述，双曲线
的离心率为
或
．
故答案为：
或
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知直线的方程为
．
(1)证明：直线过定点，并求定点到直线
的距离；
(2)当
为何值时，点
到直线的距离最大？最大距离是多少？
【答案】(1)证明见解析，
(2)
，
【分析】（1）将直线的方程整理得
，令
，解出即可定点，由点
到直线的距离公式即可求解；
（2）由（1）可得直线过定点，设定点为
，当
时，点
到直线的距离最大，且最大距离，
由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求
.
【详解】（1）将直线的方程整理得
，
令
，解得
所以直线恒过点
．
则定点
到直线
的距离为
．
（2）由（1）可得直线过定点，设定点为
．
当
时，点
到直线的距离最大，且最大距离
，
即点
到直线的最大距离为
．
此时
，而直线的斜率
，
所以
，解得
．
16．已知抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合．
(1)求抛物线
的方程；
(2)如图，若过点
的直线与抛物线
交于不同的两点A，B，O 为坐标原点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的方程求出右焦点，从而得抛物线的焦点，从而得到抛物线方程；
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到关于
的一元二次方程，利用根与系数的关系求出
，
再通过向量垂直的条件
来证明
．
【详解】（1）设椭圆
的长半轴为
，短半轴为
，半焦距为，
，又
，
，
该椭圆的右焦点为
，
又抛物线
的焦点为
，所以
，解得
，
故抛物线
的方程为
．
（2）
直线过点
且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为
，
设直线的方程为
，
联立
，得
，即
，
方程
的判别式
，
设
，
，则
，
，
由根与系数的关系得
，
因为
，
，
所以
，
.
17．已知双曲线Γ：
的左、右焦点分别为
，
，O 为坐标原点.
(1)求
，
的坐标及双曲线Γ 的渐近线方程；
(2)是否存在过点
的直线l 与Γ 的左、右两支分别交于A，B 两点，使得
.若存在，求直线l
的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
，
，
(2)存在，
【分析】（1）结合双曲线焦点、渐近线的定义即可求解；
（2）假设存在直线l，由
得
，取
的中点
，则
，进而得
；又利用
得
，于是联立方程组可得
的坐标，从而得到直线的
斜率并得出直线的方程.
【详解】（1）由双曲线Γ 的方程得
，
，得
，
则
，即
.
故
，
，渐近线方程为
.
（2）存在过点
的直线l 与Γ 的左、右两支分别交于A，B 两点，使得
.
易知直线l 不与x 轴重合.（当直线l 与x 轴重合时，A，B 为双曲线的左右顶点，
，
，
不满足题意）
设
，
，AB 的中点
.
由
得
为等腰三角形，
则
，
，
即
，
，
即
，
.①
因为点A，B 在Γ 上，所以
②－③得
，即
，
则
，即
，
所以
.④
联立①④
，消去
得
，
解得
或
（舍），
当
时，
，所以
，
由
得
，
所以直线的方程为
.
18．已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，
为
上任意一点，
的内切圆半径的最大值为
.
(1)求椭圆
的方程.
(2)过点
的直线交
于
两点，
为
轴上一点，记
与
的面积分别为
，
，
是否存在一点
，使得
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据
的面积与内切圆半径之间的关系，确定面积最大时点
的位置，从而可得关
于
的方程，解方程即可得椭圆
的方程；
（2）设点
到直线
的距离为
，将
化为
，在椭圆上取点
，使点
与点
关于
轴对称，
连接
，根据对称性结合角平分线定理即可得
，联立直线
的方程为
与椭圆，
根据交点左边关系转化求解即可得结论.
【详解】（1）因为
的面积与其内切圆半径之间的关系为
，
所以当
的内切圆半径取得最大值时，
的面积也取得最大值，此时点
为椭圆的上（或
下）顶点，
所以
，即
.
由
，得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设点
到直线
的距离为
，则
，
假设存在点
，使得
，则
，
在椭圆上取点
，使点
与点
关于
轴对称，连接
，
则
，
，所以
.
易知直线
的斜率不为0，故设直线
的方程为
，
，
，
联立方程，得
，消去
，化简、整理得
，
所以
，
则
，
.
易知
，所以
，即
.
将
，
代入，得
，
化简得
.
由
的任意性，可知
，从而直线
的方程为
，故直线
过点
.
所以存在点
，使得
.
19．由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角
形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，
并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．如图1，为左、右焦点分别为
，
，上、右顶点分别为A，B
的椭圆
，如图2，为左、右焦点分别为
，
，上、右顶点分别为
，
的椭圆
．
(1)判断椭圆
与椭圆
是否是“相似椭圆”．若是，求出相似比；若不是，请说
明理由，并找出椭圆
的一个“相似椭圆”．
(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等．
(3)已知椭圆
，椭圆
的离心率为
，
与
是“相似椭
圆”，且
与
的相似比为
，若
的面积为，求
的面积（用
，k，S 表示）．
【答案】(1)椭圆
不是“相似椭圆”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题给椭圆
的方程确定对应“焦顶三角形”的各边长，通过相应边长之比不相等，
得出“焦顶三角形”不相似，从而确定椭圆不相似，同理，写出一个椭圆方程(不唯一)与椭圆
相似.
（2）为方便计算令两个椭圆均为焦点在
轴上的椭圆，椭圆方程为
，
，根据“相似椭圆”的“焦顶三角形”的三个对应角相等证明“离心率相等”
的必要条件，根据“离心率相等”证明两椭圆是“相似椭圆”的充分条件.
（3）设椭圆
的半焦距为，根据（2）的结论得出“相似椭圆”离心率相等，根据
的面积
，
，结合相似比为
推出面积比为
，联立求解.
【详解】（1）椭圆
不是“相似椭圆”，理由如下：
椭圆
中，
，
，
．
椭圆
中，
，
，
．
因为
，所以椭圆
的“焦顶三角形”不相似，所以这两个椭圆不是“相似椭圆”．
椭圆
与椭圆
是“相似椭圆”，设椭圆
的右焦点为
，上、右顶点分别为
，
因为椭圆
中，
，
，
，
所以
，所以椭圆
的“焦顶三角形”相似，
即这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为
，因此椭圆
的一个“相似椭圆”是椭圆
（答案不唯一）．
（2）不妨令两个椭圆均为焦点在
轴上的椭圆，
椭圆方程为
，
．
（必要性）若两个椭圆
是“相似椭圆”，则其“焦顶三角形”的三个对应角相等．
由题图，知若
，因为
，
，所以
，又因
为
，
，所以
．
（充分性）若离心率相等，则
，所以
，
则
，
，则
；
同理，
，
，
则
，所以
，
所以椭圆
的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”．
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等．
（3）设椭圆
的半焦距为，因为椭圆
的离心率为
，椭圆
与
相似，
所以椭圆
的离心率也为
．
因为
的面积
，
，
所以
的面积与
的面积之比为
，所以
的面积为
．
因为
与
的相似比为
，所以
的面积与
的面积比为
，
所以
的面积为
．
