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第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：分离变量法..............................................2
高频考点二：分类讨论法..............................................4
高频考点三：等价转化法..............................................6
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题............................7
高频考点五：值域法解决双参等式问题..................................9
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第一部分：知识点必背
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.
2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
5、值域法解决双参等式问题
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）已知函数 的图象在 处
的切线与直线 平行，若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，当 时，函数 有极小值0.
(1)求函数 的解析式；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ．(1)求 的极值；
(2)若 在 时有解，求实数 的取值范围．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若存在 ，使 成立，求整数 的最小值．
练透核心考点
1．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范
围是____________.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时， 的极小值为 ，当
时， 有极大值．(1)求函数 ；
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，其中 是自然对数的底
数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
例题2．（2023春·四川遂宁·高三四川省大英中学校考阶段练习）已知函数 （ 为自然对
数的底数）．
(1)若 时，求 的单调区间；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
例题3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 ，
（1）直接写出函数 的零点个数（不要求写过程）；
（2）若 ，使关于 的不等式 能成立，求实数 的取值范围.练透核心考点
1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性﹔
（2）若存在 ，求 的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）设 ，若关于 的不等式 在 上有解，求 的取值范围.
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设函数 ，若存在 ，使得 ，求 的取值范围．例题2．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，试确定函数 的单调区间；
(2)若 ，且对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)令 ，若至少存在一个实数 ，使 成立，求实数 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知函数 在 处有极
值 ．
（1）求 的解析式；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数
，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A．（ ，+∞] B．（-∞， ] C． D．（-∞， ）
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，函数 ，若对任意的
，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为__________.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意 ，存在
，使 ，求实数 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数 ， ，对任意 ， ，都
有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．2．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数 （
）．
(1)当 ，求f（x）的极值．
(2)当 时，设 ，若存在 ， ，求实数 的取值范围．（ 为自
然对数的底数， ）
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若 ， ，使得 ，求实数a的取值范围.
高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数，若存在 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A．[﹣ ，1] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，2]
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 和函数
，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
________.
练透核心考点
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）已知函数 ，若
对任意的 ，存在 使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[ ，4]
C． D．
