文档文本内容
第 07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(精练）
A夯实基础
一、单选题
1．已知平面 的一个法向量为 ，且 ，则点A到平面 的距离为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】∵ ，
∴ ，又平面 的一个法向量为 ，
∴点A到平面 的距离为
故选：B
2．在空间直角坐标系 中，平面 的一个法向量为 ，已知点 ，则点 到平
面 的距离 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，平面 的一个法向量为 ， ，
所以
所以点 到平面 的距离 ．
故选：D．
3．已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为 ，则P(3,5,0)到l的距离为（ ）
A．5 B．14 C． D．
【答案】C
【详解】∵ ＝(－2，－6,2)， ·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14 ，|n|＝5，
∴点P到直线l的距离为d＝ ＝ .
4．四棱锥P-ABCD中 ， ， ，则这个四棱锥的高h 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A
【详解】在四棱锥 中， ， ， ， ，1， ， ，1， ，
设平面 的法向量为： ， ， ．
则 ，可得： ，不妨令 ，则 ， ，
可得 ，12， ．
，1， 在平面 上的射影就是这个四棱锥的高 ，
， ．
故选： ．
5．如图，已知梯形 ， ． ，沿着对角线 折叠使得点B，点C的距离为
，此时二面角 的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分别过 作 ， 垂直 ，交 于 ，如图所示：
因为 ， ，所以梯形 为等腰梯形，
则 ， .
在 中， ， ，则 .
所以 ，
则 ，即 .
沿着对角线 折叠使得点B，点C的距离为 ，如图所示：在 中， ， ，
则 ，即 .
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
即二面角 的平面角为 .
故选：D
6．如图，在梯形 中， ，四边形 为矩形，点 为 的中点，沿
， 折叠，使得点 与 重合于点 ，如图2，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知 是边长为1的正三角形， ， 平面 ， ， ，将该几何
体补形为直三棱柱 ，
如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，则由三角形中位线定理， ，
所以 为异面直线 与 所成的角或其补角．
在 中， ，在 中， ，
所以 ．
取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ， ，
所以 ，
在 中， ， ， ，由余弦定理得：
所以 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：B
7．如图，正方形 沿对角线 折叠之后，使得平面 平面 ，则二面角 的余弦
值为
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】设正方形边长为 ， 和 的交点为 ，
过 作 的平行线 交 于 ,
则二面角 的平面角就是 ，
因 ， ，且平面 平面 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C
二、多选题
8．已知平面 的法向量为 ，点 为 内一点，若点 到平面 的距离为
4，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】AD
【详解】解：由向量法可知，点 到平面 的距离公式为 ，
又 ，
，
由点 到平面 的距离为4，有
解得 或
故选：AD
9．[多选题]下列命题中正确的是（ ）．
A．可以用 求空间两点A，B的距离
B．设 是平面 的法向量，AB是平面 的一条斜线，点A在平面 内，则点B到 的距离为
C．若直线l与平面 平行，直线l上任意一点与平面 内任意一点的距离就是直线l与平面 的距离
D．若平面 与平面 平行，则平面 内任意一点到平面 的距离就是平面 与平面 之间的距离
【答案】ABD【详解】根据向量数量积的定义可知A显然正确，由点到平面的距离，面面距的定义以及向量公式易知
B，D正确．C中，直线l上任意一点到平面 的垂线段的长度为直线l与平面 的距离，故C错误．
故选：ABD．
三、填空题
10．如图，在长方体 中， ， ， ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，
则直线 到平面 的距离为___________.
【答案】
【详解】以D为原点，DC，DA， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由题，则 ， ，
因为 ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，
所以 ， ， ，
则 ，所以 ，所以 平面 ，所以点E到平面 的距离即为直线 到
平面 的距离，
设平面 的法向量为 ，则 ，
因为 ，所以 ，取 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，又向量 ，所以点E到平面 的距离为 ，
即直线 到平面 的距离为 .
故答案为：
11．如图，四棱锥 的底面ABCD是边长为2的正方形， ，且 ， 为 的
中点，则点 到平面 的距离为___________.
【答案】
【详解】因为 ， ，
由勾股定理可知， ， ，
所以直线 两两垂直.
以 为原点， 所在的直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，所以点 到平面 的距离 .
故答案为： .
四、解答题
12．如图，已知长方体 ＝ ＝1，直线BD与平面 所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为 的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
【答案】(1)
(2)
（1）在长方体 中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立
空间直角坐标系如图．
由已知AB＝ ＝1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．
又AD⊥平面 从而BD与平面 所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝
从而易得
∵ ＝ ＝（－1，0，1）．
设异面直线AE与BF所成的角为 ，
则 ．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为（2）
设 ＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
＝ ， ＝（－1，0，1）， ＝（2，0，0）．
由 ∴ ，即
取 ＝
所以点A到平面BDF的距离
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， 平面ABCD， ， ，M是
PD上一点，且 .
(1)求异面直线PB与CM所成角余弦的大小；
(2)求点M到平面PAC的距离.
【答案】(1)
(2)
(1)
解法一：连BD交AC于O，连MO，如图（一）所示，平面ABCD，所以 ， .
在 中， ， ， ，
又因为底面ABCD是矩形，所以O为BD中点， ， ，所以 ，
因为M是PD上一点，且 ，所以M为PD中点， ， ，
所以 （或补角）就为PB与CM所成的角，
因为 ， ， ，所以 平面PAD， .
， ， ，
，所以异面直线PB与CM所成角余弦值为 ；
解法二：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图（二）所示的空间直角坐标系，
（1）
则 ， ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
由 ，知 ，所以 ，M为PD中点，
所以 ， ，.
所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为 .
(2)
解法一：过D做 于N，如图（一）所示， 平面ABCD，
所以 ， ，所以 平面PAC，
DN为点D到平面PAC的距离，在 中， ，
又M是PD中点，所以点M到平面PAC的距离为 .
解法二：由问题（一）中解法二，可知
， ，设平面PAC的法向量为 ，
由 ，得 ，所以 ，取 ，得 ，
所以 是平面PAC的一个法向量.
所以点M到平面PAC的距离为 .
B能力提升
14．如图，已知三棱锥 的侧棱 ， ， 两两垂直，且 ， ， 是 的中
点.
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求点 到面 的距离.
【答案】(1)
(2)(1)
因为三棱锥 的侧棱 ， ， 两两垂直，
所以以 为坐标原， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为
(2)
，
设平面 的一个法向量为 ，则
，令 ，则 ，
因为 ，
所以点 到面 的距离为
，
15．如图所示，在边长为12的正方形 中，点B， 在线段 上，且 ， ，作
，分别交 、 于点 、 ，作 ，分别交 、 于点 、 ，将该正方形沿
BB1、CC1折叠，使得 与 重合，构成如图2所示的三棱柱 ．
(1)试判断直线AQ是否与平面 平行，并说明理由；(2)求平面APQ与平面ABC所成二面角的余弦值．
【答案】(1)直线AQ是否与平面 不平行，理由见解析
(2)
（1）
直线AQ是否与平面 不平行，理由如下：
如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，则 ， ，
， ， ， ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
，因为 ，所以直线AQ与平面 不平行；（2）
设平面APQ的法向量
则
所以，面APQ的法向量为 ，
由题意得：面ABC的法向量为 ，所以 ，设平面APQ与平面ABC
所成二面角为 ，显然 为锐角，故
所以平面APQ与平面ABC所成二面角的余弦值为 ．
