文档文本内容
第 03 讲 圆中的切线问题及圆系方程（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
给值求值型问题
2023年新I卷，第6题,5分 圆中切线问题
余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14题,5分 圆的公切线方程 判断圆与圆的位置关系
2021年新I卷，第11题,5分 切线长 直线与圆的位置关系求距离的最值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解
2.熟练掌握圆系方程的快速求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习
知识讲解
一、圆中切线问题
1. 已知圆方程为: ,
若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是:2. 已知圆方程为: ,
若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ;
3. 已知圆方程为圆: .
(1)过圆上的 点的切线方程为 .
(2)过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 .
4. 过圆外一点 引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程 (标准方程)
二、常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以 为圆心的同心圆圆系方程: ;
(2)与圆 同心圆的圆系方程为: ;
2、过线圆交点的圆系
过直线 与圆 交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为 ,此圆系不含
)
(1)特别地,当 时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过 ,可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
考点一、 圆中切线问题1．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆 上点 的切线方程为 ．
2．（2023·江苏·高三专题练习）过点 引圆 切线，则切线长是 .
3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点 作圆 的两条切线，切点分别为A、B，则直
线AB方程是 .
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线 上一点 作圆 的两条切线 ，
切点分别为 ， ，则 的最小值为 .
5．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点 作圆 的切线，则切线长为
.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ， 为过 的圆的切线， 为 上任一点，过
作圆 ： 的切线，则切线长的最小值是 .
1．（2023秋·四川成都·高三成都外国语学校校考期末）已知直线 是圆 在点 处的切线，
则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）过点 作圆 的切线，则切线方程为
（ ）
A． B．
C． D． 或
3．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A，
B，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条
切线，切点分别为 ，则圆心 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．考点 二 、 圆系方程
1．（2023秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）经过直线 与圆 的
两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0
的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
3．（2023秋·河南焦作·高三校考阶段练习）已知圆 的方程 ，圆 与圆 是同心圆
且过点 ，则圆 的标准方程为 ．
4．（2021秋·江苏泰州·高三校考阶段练习）求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心为点 ，且经过点 ．
（2）经过 两点，且圆心C在直线 上．
（3）圆心在直线 上，且过圆 与圆 的交点．
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知圆 和圆 相交于
两点，下列说法正确的是（ ）
A．所有过点 的圆系的方程可以记为 （其中 ，
）
B．直线 的方程为
C．线段 的长为
D．两圆有两条公切线 与
1．（2023·高三课时练习）求经过两圆 与 的交点，且圆心在直线
上的圆的方程．2．（2023·江苏·高三专题练习）已知一个圆经过直线 与圆 的两个交
点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
3．（2022·全国·高三专题练习）求经过两圆 与 的两个
交点且半径最小的圆的方程.
4．（2023·吉林长春·高三校考阶段练习）已知两圆 和
．
（1）求公共弦所在的直线方程；
（2）求公共弦的长度；
（3）求经过原点以及圆 和圆 交点的圆的方程．
【能力提升】
1．（2023·全国·高三专题练习）圆 在点 处的切线方程为 ．
2．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）过点 作圆 的两条切线，
切点分别为A，B，则 的直线方程为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆 ： 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆 为圆O上位于第
一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆 在点 处的切线上一点 在第一
象限内，则 的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．9
6．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 ，过直线上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线段 长度的最小值为 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·全国·高二专题练习）经过直线 与圆 的两个交点，且面积
最小的圆的方程是 ．
8．（2023·江苏·高二专题练习）经过直线 与圆 的交点，且过点 的圆
的方程为 .
9．（上海宝山·高二校考期中）（1）求以 为圆心，且与直线 相切的圆的方程．
（2）经过直线 与圆 的两个交点，且面积最小的圆的方程．
10．（2023·江苏·高三专题练习）求经过直线 与圆 的交点，且经过点
的圆的方程．
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）圆 过点 的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（山东·高考真题）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 的方程为
A． B．
C． D．
4．（江苏·高考真题）下列方程是圆 的切线方程的是
A． B． C． D．
5．（全国·统考高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过
点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（湖北·高考真题）由直线 上的点向圆 作切线，则切线长的最小值为（ ）A．1 B． C． D．3
二、填空题
7．（山东·高考真题）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 = .
8．（湖北·高考真题）过原点作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则线段 的
长为 ．
9．（上海·高考真题）已知圆 和圆外一点 ，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正
切值是 ．
10．（辽宁·高考真题）若经过点 的直线与圆 相切，则此直线在y轴上的截
距是 ．
