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专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，三角函数、三角恒等变换与解三角形是必考主干，分值约13-22 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查解三角形（常为第15 题或16 题），核心是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、
面积等综合问题．
2026 年预测：解答题极可能仍为解三角形常规题．
备考核心：熟记定理与公式，解答题强化“边角互化”综合训练，小题提升图象分析与快速变形能力．
题型01 三角恒等变形与三角函数图象问题
析典例
· 建模型
1．（2026·山东青岛·一模）函数
（
，
，
）的部分图像如图所示.
1
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)已知
，且
，求
的值.
【思路分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数
的详解式，再求函数的单调区间
即可.
（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.
【规范答题】（1）由图可得
，
，
所以
，且
，
得
，
，
又因为
，所以
，所以
.
又因为
，
，
解得
，
，
所以
在
上的单调递增区间为
.
（2）因为
，所以
.
因为
，所以
，
即
，所以
.
所以
.
研考点
· 通技法
2
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多.
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将
看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零
点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三下·北京·开学考试）已知函数
，直线
与函数
两个相邻交点之间的距离为
；
(1)求
在
上的单调递增区间；
(2)设函数
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数
存在且唯一，在区间
上若
恒成立，求
的取值范围．
条件①：
的最大值为
；
条件②：
在区间
上单调递增；
条件③：
为偶函数．
【答案】(1)
和
(2)条件①：不符合题意；条件②：
；条件③：
3
【详解】（1）
直线
是
的最小值线，相邻交点距离等于
的周期，故
，
由周期公式
，得
，因此：
，
正弦函数的单调递增区间满足：
，
解得：
结合
，取
得
，
取
得
，
所以
在
上的单调递增区间为
和
；
（2）由题意得：
，
，
选条件①：因为
，其最大值为
对任意
均满足，函数
不唯
一，不符合题意，
选条件②：
在
上单调递增，
的递增区间
，得递增区间
，
由
在区间
上单调递增得
时：
，
因此
，
当
时，
，
，故
，
4
若
恒成立，则
，即
的取值范围为
，
选条件③：因为
为偶函数，
所以
，解得
，
又
，所以
，解得
，
因此
,当
时，
，
，故
，
若
恒成立，则
，即
的取值范围为
.
2．（25-26 高三上·山西临汾·期末）已知函数
.
(1)求
的图象在
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值；
(3)若
，
有三个极值点，求实数
的范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题
，
，
所以
，
5
所以
的图象在点
处的切线方程为
即
.
（2）由（1）可知
，
因为
，所以
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
故
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以函数
在区间
上的最大值为
.
（3）因为
要使函数
在区间
上有三个极值点，
则函数
在区间
上有三个不同的变号零点，
令
，
则
，
当
时，令
或
或
或
，
故存在
使得
即
，
所以当
时
；当
时
；当
时
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又
，
6
作直线
与函数
的图象如图所示：
由图可知直线
与函数
的图象有3 个不同的交点时
，
所以函数
在区间
上有三个不同的变号零点，实数
的取值范围为
.
题型02 三角形中边长及周长问题
析典例
· 建模型
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，且
的周长为8，求
．
【思路分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角关系求解；
（2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形，再利用已知周长构造方程求解．
【规范答题】（1）已知
，由正弦定理得
，
，
又
，
，
，
，
7
又
，
．
（2）
，由余弦定理：
，
，
的周长为8，
，解得
，
故
．
2．（25-26 高三上·贵州黔西南·月考）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求
；
(2)若
，求锐角
周长的取值范围.
【思路分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角
；
（2）利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值
范围.
【规范答题】（1）由
，
因为在
中有
，所以上式可化为
，
又因为
，所以
，又因为
，所以
；
（2）由正弦定理得：
，
可得
，
所以
的周长为
，
8
因为锐角
，可知
，
可得
，则周长可化为：
，
，
由
，且
，
所以
，即
，
故锐角
周长的取值范围为
.
研考点
· 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余
弦定理用已知边或者是已知角度表示出来.
对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，
类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.
类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装
化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题
类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角
度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·天津·期末）在
中，角
所对的边分别为
．已知
9
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
,
根据正弦定理得
，
整理得
,
根据余弦定理
,
可得
，
又因为
,（
是
的内角）,
所以
.
（2）由正弦定理
，得
，
由（1）知
，结合
，
由余弦定理得，
.
（3）由已知
得
，
10
，
.
2．（25-26 高三下·重庆·开学考试）已知
的内角
的对边分别为
，且
，
.
(1)求c 及C；
(2)求
周长的最大值.
【答案】（1）
；
（2）12
【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将
化角为边求，再由正弦定理及
求得
，即可得；
（2）由余弦定理、基本不等式有
，进而可得周长的最大值.
【详解】（1）由
，则
，
所以
，
由
，而
，即
，
所以
，而
，故
；
（2）由（1）知
，则
，
当且仅当
时取等号，
所以
，即
时取等号，
所以
周长
的最大值为
.
11
3．（25-26 高三下·江苏苏州·开学考试）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，且
为锐角三角形，求
的周长的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
∴
，
∵
，则
，∴
，又
，∴
；
（2）因为
，
，
由余弦定理
，即
，
∴
，解得
，
∴
；
（3）在
中，由正弦定理
，
∴
，
∴
12
，
又
为锐角三角形，∴
，
∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
故
周长的取值范围为
题型03 三角形中面积问题
析典例
· 建模型
1．（2026·山东济宁·一模）在
中，内角
所对的边分别为
为
的
角平分线，且
.
(1)若
，求
的大小；
(2)当
取得最小值时，求
的面积.
【思路分析】（1）由正弦定理得到
，根据
得到方程，求出
，根
据余弦定理得到
，求出
；
（2）由
利用三角形面积公式可得
，根据基本不等式解出
的最小值，
应用取等条件求出三角形面积.
【规范答题】（1）因为
，由正弦定理得
，
因为
的角平分线交BC 于点D，所以
，
由
，得
，
则
，
13
即
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
即
；
（2）由
，
得
，
得
，
化简得
，即
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
取得最小值，
此时，
面积为
．
2．（25-26 高三下·贵州贵阳·月考）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
【思路分析】（1）需利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角差的余弦公式及三角形内
角和定理化简，求解三角方程得出角A；
（2）求
面积的取值范围，先根据锐角三角形条件确定角B、角C 的范围，再由正弦定理用角C
表示边b，结合正切函数性质求出b 的范围，最后代入面积公式得出结果.
【规范答题】（1）由和差公式和正弦定理可得：
14
，
即
，
即
，
即
，
整理得到
，
因为在
中
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
，得到
.
（2）因为
是锐角三角形，所以
，
结合B 为锐角，解得
，同理可得
，
由正弦定理
，
可得
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
.
研考点
· 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思
路是：
15
1、选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.
面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范
围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解
决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题
· 提能力
1．（2026·贵州贵阳·一模）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且
．
(1)求A 的大小；
(2)若
，
，试判断
的形状，并求
的面积．
【答案】(1)
(2)等边三角形，
【详解】（1）在
中，由正弦定理得
，
整理得
，
因为
，故
，
又
，故
．
（2）已知
，则
，故
，
，即
，
则
，
，
因为
．则
．故
，
所以，
是等边三角形．
因此
.
2．（2026·四川德阳·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积
．
(1)求角B 的大小；
16
(2)若b＝4 时，求△ABC 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，
，而
，即
，
，由余弦定理得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
，而
，于是
，
即
，当且仅当
时取等号，
因此
的面积
，
所以当
时，
面积取得最大值
.
3．（25-26 高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且
满足
，
.
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，求三角形
面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出
，结合
正弦函数的单调性可证得结论成立；
17
（2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出
，根据已知条件求出角
的取
值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出
的取值范围；
（3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出
，结合正切
函数和反比例函数的基本性质可求得
面积的取值范围.
【详解】（1）由
及正弦定理可得
，即
，
因为
，则
，所以
，即
，
由余弦定理可得
，所以
，
所以
，由正弦定理可得
，
因为
为锐角三角形，故
，
，所以
，
又函数
在
上单调递增，且
，故
，即
.
（2）
，
因为
为锐角三角形，故
，解得
，
18
又因为
，可得
，故角
的取值范围是
，
所以
，故
，
令
，
，
任取
、
且
，
则
，
因为
，所以
，则
，所以
，
所以函数
在
上为增函数，故
，
故
的取值范围是
.
（3）由正弦定理可得
，所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，
19
令
，函数
、
在
上均为减函数，
故函数
在
上为减函数，所以
，即
，
因此
，即
面积的取值范围是
.
题型04 解三角形中三线问题
析典例
· 建模型
1．（2026·四川·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
，求AB 边上中线的长.
【思路分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于
的二次方程，求解角
；
（2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算
边上的中线长.
【规范答题】（1）在
中，
，故
.
由
，得
，
即
，
即
，
(舍去，因
).
由
，
，得
.
（2）由
，
，得
.
20
.
由正弦定理得
，
同理，
.
设
的中点为
，则
.
在
中，
，
故
，即
边上的中线长为.
2．（25-26 高三上·安徽宣城·期末）在
中，内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
边上的中线
长为
的角平分线
交
于点
，求线段
的长.
【思路分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出
，应用角的范围求出角；
（2）先根据中线得出
，再左右两边平方结合余弦定理得出
为直角三角形，最
后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解.
【规范答题】（1）根据题意
，且
，
由正弦定理得
，
化简得
，因为
，
所以
，又
，
21
所以
；
（2）根据题意，在
中，
边上的中线
长为
，
得
，
两边平方得
化简
，故有
，
解得
（舍去）或
.
在
中，
，
又
，故
为直角三角形，
在
中，
，所以
，
又
，
所以根据正弦定理得
，
解得
.
研考点
· 通技法
三线问题指的是角平分线，中线，高线.
对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.
对于中线问题 一般采用向量思想去解决.
22
高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·贵州铜仁·期末）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，且
边上的中线的长度为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理知，
，所以
，
即
，
所以
，所以
，所以
或
，
所以
或
，又因为
是锐角三角形，所以
；
（2）不妨设
为
边上的中线，
在
中，有
，由（1）可得
，故
，
所以
．
在
中，有
，所以
．
即
，解得
．
2．（2026·山东威海·一模）记
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
23
(1)求
；
(2)若
，求BC 边上的高的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由
可得
，
由正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
．
（2）依题意，
，设BC 边上的高为，
由
，可得
，
由余弦定理
可得
，
即
，当且仅当
时等号成立，
因此
，
所以BC 边上的高的最大值为2．
3．（25-26 高三上·宁夏·月考）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角
的大小；
(2)若
为
的角平分线，且
，
，求角平分线
的长度；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
24
(3)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出
，然后可得角
；
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解；
（3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得.
【详解】（1）
，
，
，
，
由余弦定理得
，
又
，
；
（2）由
的角平分线将
的面积分为两部分，
则
，
，
于是
，
即
，解得
，
所以
的长为
；
（3）由三角形面积公式得
，
由正弦定理得
，
三角形为锐角三角形，
，得
，
，
25
，
，
，
.
题型05 三角形中图形类边长及范围问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·安徽六安·期末）已知
、
、分别为
三个内角
、
、
的对边，且
.
(1)求角
；
(2)已知
，求
的取值范围.
【思路分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案；
（2）利用正弦定理将
转化为
，然后利用三角恒等变换的公式将
表示成三角函
数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围.
【规范答题】（1）因为
，所以
，
即
，即
，
所以
，
又
，所以
；
（2）由（1）知
，又
，
由正弦定理
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
26
所以
，
所以
的取值范围是
.
2．（25-26 高三上·山东东营·期末）在锐角
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
为边
上一点，
，
的面积为
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
的最小值.
【思路分析】（1）
两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到
，因为
为锐角，所以
.
（2）设
，
，则
，在
中和在
中，由正弦定理联立得
，因为
，所以
，求出
的最小值.
【规范答题】（1）由
，两边平方得
，故
，
所以
的面积
，
由余弦定理
及
，
得
，
因为
，所以
，因为
为锐角，所以
.
27
（2）设
，
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
则
①，
在
中，由正弦定理得
，
则
②，
由①②得，
，
因为
，所以
，所以
所以
，故
的最小值为1.
研考点
· 通技法
范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类
是无限制三角形的对应的范围问题，一类是
第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，
转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题
· 提能力
1．（2026 高三上·四川眉山·专题练习）已知
的面积记为.
内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
28
(1)若
，
，求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据条件得出角
，结合余弦定理计算得到边长；
（2）由正弦定理结合角
得到
，由边角关系计算得到答案.
【详解】（1）由
，得
，
因为
为三角形边长，所以
，所以
，
若
，则
，代入得
，矛盾，
所以
，方程两边同除以
得
，又
，所以
.
根据余弦定理
，
得
.即
，整理得
.
解得
或
（舍去）.所以
.
（2）由
，得
，
，
因为
，则
，
，
所以
，
，
因为
为锐角三角形，所以
则
，
29
所以
，即
取值范围为
.
2．（2026 高三上·安徽合肥·专题练习）已知
，
，分别为锐角
三个内角
，
，
的对边，且
．
(1)求角
的大小
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
;
(2)
【分析】（1）由正弦定理及两角和差的余弦公式结合诱导公式得
，再求
即可；
（2）在
中，由正弦定理及两角和差的正弦公式可得
，然后结合三角函数的值域
的求法求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，所以
；
（2）根据正弦定理得
，
由（1）得
，
，
30
，
为锐角，所以
，
，
其中
，
，即
，
综上可知，
的取值范围是
．
题型06 三角形中证明类问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·广东·月考）
中、角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
的值；
(2)B 的角平分线BD 交AC 于D，
（i）证明：
；
（ii）若
，求
的最大值．
【思路分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解；
（2）（i）先分别在
和
中利用正弦定理结合
和比例的性质得
和
，接着在
和
中利用余弦定理结合
即
可分析计算求解；
（ii）先由（1）得
，进而得到
，
，接着由题设结合（i）得
，再结合基本不等式即可求解．
【规范答题】（1）因为
，
所以由正弦定理得
，
31
因为A，
，所以
，
，故
；
（2）（i）证明：
中，由正弦定理得
①，
同理在
中，
②，
BD 是
的角平分线，则
，则
，
故
得
，
由比例的性质得
，即
，
同理得
，即
，
在
中，由余弦定理得
③，
中，由余弦定理得
④，
又
，故
，
，
由
得
，
则
，
即
；
（ii）因为
，故
，
则
，则
，
，
由
以及（i）知
，
即
，则
，
32
当且仅当
，结合
，即
，
时等号成立，
故
的最大值为
．
研考点
· 通技法
解三角形证明题求解策略:
1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口.
2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢.
3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算.
4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果.
5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理.
破类题
· 提能力
1．（2026 甘肃武威·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)证明：
；
(2)求
的最大值.
【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）由正弦定理可知，
，
得
，且
，
即
，整理为
，
即
；
（2）
，
由（1）
可知，
，且
，
33
所以
，上下同时除以
，
，
因为
，得
，
所以
，当
时等号成立，
所以
，
所以
的最大值为
.
题型07 解三角形中内切圆、外接圆问题
析典例
· 建模型
1．（2026·浙江·模拟预测）在
中，角
对应边分别是
.已知
成等差数列，且
.
(1)求
的值；
(2)若
的外接圆半径为
，求
的面积.
【思路分析】（1）先根据等差数列的性质得到
的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余
弦定理求值；
（2）先根据正弦定理求出
，再结合（1）中的
的关系求出
，最后根据三角形的面积公式求
解.
【规范答题】（1）由
成等差数列知
，又
得
，
于是
，设
，则
，
所以
；
34
（2）由（1）知
，
由
得
，所以
，
所以
的面积
.
2．（25-26 高三下·福建泉州·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求C；
(2)若
，求
的内切圆的半径.
【思路分析】（1）由已知及三角恒等变换化简得
，根据正弦定理
边角关系、余弦定理求角的大小；
（2）由（1）得
，结合已知求边长，进而得到三角形面积，应用等面积法求内切圆
半径.
【规范答题】（1）由
，
有
.
可得
.
由正弦定理，有
.
又由余弦定理，有
.
又由
，可得
；
（2）由（1）有
，代入
，
所以
，解得
或
（舍去），
35
所以
，可得
的面积为
.
设
的内切圆的半径为r，有
，
代入
，有
，可得
，
故
的内切圆的半径为
.
研考点
· 通技法
解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆
则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即
对于外接球半径问题 一
般采用正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R 解决.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·河北沧州·期末）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
的面
积，
.
(1)求
的外接圆半径；
(2)若
，
，求
中
边上的高的值.
【答案】(1)7
(2)
或
.
【分析】（1）设
的外接圆半径为
，利用三角形面积公式有
及正弦定理得到
的
值.
36
（2）利用正弦定理求出
，由
得到
，利用同角关系式求出
.利用余
弦定理建立关于的方程，解得的值，利用公式求出
边上的高
，从而得解.
【详解】（1）设
的外接圆半径为
，
由三角形面积公式有
，故
，则
，
又
，故
，即
.
故
的外接圆半径为7.
（2）由
，且
，
所以
，所以
.
在
中，由余弦定理
，
解得
或
，
所以
边上的高
或
.
2．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在
中，已知角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
大小；
(2)求证：
；
(3)设
为
的内心，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
37
(3)
【分析】（1）根据题设，结合三角形的面积公式、余弦定理即可求解；
（2）由
结合基本不等式即可求证；
（3）设
的内切圆
的半径为，由等面积法可得
，进而得到
，
进而化简得到
，结合（2）中结论
，即可得到
，再根据基本不等式即可求解.
【详解】（1）由
，
则
，
根据余弦定理得
，即
，
由
，则
.
（2）由（1）知，
，则有
，
又
，当且仅当
时等号成立，
所以
，解得
，所以
，当且仅当
取到等号，
（3）设
的内切圆
的半径为，
由等面积法可得
，故
，
38
所以
，故
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
.
题型08 解三角形中图形类问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·重庆·月考）如图
为平面四边形
中
的角平分线，
的面积为
(1)求边BC 的长度；
39
(2)若
的外接圆直径
求△ACD 的周长.
【思路分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可；
（2）先用正弦定理求
，进而利用余弦定理可求
，从而可得周长.
【规范答题】（1）由
为
的角平分线及
，知
.
，即
，得
.
.
故边BC 的长度为
.
（2）由
的外接圆直径
，得
，则
.
由余弦定理知，
，
设
，则
，即
，
，解得
（舍去）或
，则
.
所以△ACD 的周长为
.
2．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形
中，已知
交于点
，
．
(1)若
，求
的值；
40
(2)证明：当
时，
位于
外接圆的内部．
【思路分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解；
（2）利用正弦定理结合已知条件求出
，再利用四点共圆的性质求出
，比较
的
大小判断
的位置．
【规范答题】（1）
，
，
在
中，由余弦定理得
，
，
同理
，
，
．
（2）在
中，由正弦定理得
，
，
，
设
为射线
上一点，且
四点共圆，则
，
41
，解得
，
，
位于
外接圆的内部．
研考点
· 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解
题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后
变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变
成或者是对应面范围问题.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形
中，已知
，
，
．
(1)求
的面积；
(2)若
，且
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理先求
，再由三角形的面积公式即可求解；
42
（2）利用正弦定理先求
，再由三角恒等变换得
，最后利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）在
中，由余弦定理知
，
即
，
解得
，
；
（2）在
中，由正弦定理知
，解得
，
又在
中，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
解得
.
2．（25-26 高三上·江西·月考）已知平面四边形
如图所示，其中
，
，
.
43
(1)若
，
，求
的面积；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由余弦定理可求；
(2)利用正弦定理及几何关系，将
表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果.
【详解】（1）在
中，由余弦定理可得：
，所以
,
所以
或
，因为
，所以
所以
.
即
的面积为
.
（2）设
，
在
中，
，所以
，
由正弦定理：
，即
，
所以
，
在
中，
,
,
44
由正弦定理
，所以
，
所以
，
所以
，化简得
，
所以
，
因为
，所以
，
在
中，
,
所以
，即
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
的取值范围为
，即
.
所以
的取值范围为
.
题型09 解三角形的实际应用
析典例
· 建模型
1．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的
处发现两座小岛
，测得小岛
在
的北偏
东
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上，海轮从
处向正东方向航行
海里后到达
45
处，测得小岛
在
的北偏西
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上.
(1)求
处与小岛
之间的距离；
(2)求
两座小岛之间的距离.
【思路分析】（1）在
中利用正弦定理计算可得；
（2）在
中利用余弦定理求出
，再在
中利用余弦定理求出
；
【规范答题】（1）由题可知在
中，
，
，所以
，
由正弦定理可得：
，及
，
所以
（海里）．
（2）由题可知在
中：
，
，所以
．
所以
（海里），
由余弦定理可得：
，
所以
（海里），
由题意可知，在
中，
，
由余弦定理可得：
，
所以
（海里）.
46
2．（25-26 高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的
网络，无论是大山深处还是广袤平
原，处处都能见到
基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座
基站
，
已知基站高
.该同学眼高
（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置
处（眼睛所在位
置）测得基站底部
的仰为
，测得基站顶端
的仰角为
.
(1)求出山高
（结果保留一位小数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站
前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置
处
（眼睛所在位置）到基站
所在直线的距离
，且记在
处观测基站底部
的仰角为
，观
测基站顶端
的仰角为
.试问当
多大时，观测基站的视角
最大？
参考数据：
，
，
，
.
【思路分析】（1）利用仰角差得
，通过正弦定理求
，结合直角三角形求山高
即可.
（2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可.
【规范答题】（1）由题意可知，
，
，
，
，
在
中，
，所以
，
在
中，
，
所以山高
.
（2）由题意知，
，
，且
，
则
，
在
中，
，
在
中，
，
47
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
时，
取得最大值，
又
，所以此时视角
最大.
综上，当
时，视角
最大.
研考点
· 通技法
解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景：
1. 测量距离
先确定可测边与夹角，构造解三角形模型.两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦
定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位.
2. 测量高度
区分底部可通达与不可通达.底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部
不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差.
3. 测量角度
已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角
的象限与方向标注，保证结果符合实际场景.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧
两地相距50 米，
河对岸有
两地，测得
米，
.
(1)求
的值；
(2)若测量后发现
，求
两地的距离.
【答案】(1)
48
(2)
米
【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出
，然后求出
，进而根据正弦定理
求出结果即可.
（2）先根据余弦定理求出
，然后根据余弦定理求出
，最后根据余弦定理求出结
果.
【详解】（1）因为
，所以
.
所以
，所以
.
在
中，根据正弦定理，
，即
，
解得
.
（2）在
中，根据余弦定理，
，
化简得
，由于
，所以解得
米.
因为
，在
中，根据余弦定理
，
化简得
，解得
米.
在
中，根据余弦定理
，
化简得
，解得
米.
49
2．（25-26 高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立
不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量
重兴塔高度
时，可以选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
，
，且在
，
两点测得
塔顶
的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得
，
，
两地相距36 米.
(1)求重兴塔高
；
(2)如图2，塔顶为点
，距离塔顶
点竖直向下5 米处有点
，若在离地面竖直高度为2 米的点
处
用测角仪器测得
，求
的最大值.
【答案】(1)
米
(2)
【分析】（1）设
米，可得
，
，在
中，由余弦定理得，
，解方程即可求解；
（2）过点
作
交
于
，设
，可得
，
，由
50
结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得，设
米，
在
中，
，则
；
在
中，
，则
.
在
中，由余弦定理得，
，
整理得
，解得
或
（舍）
所以重兴塔高
米
（2）过点
作
交
于
，设
，
则在
中，
，
在
中，
，
.
当且仅当
，即
等号成立
所以
的最大值为
51
（建议用时：60 分钟）
刷模拟
1．（25-26 高三下·重庆·月考）已知函数
的最小正周期为
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移1 个单位，得到的图象对应函数记为
，求
函数
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
函数
的最小正周期为
，
，解得
， 即
，
，
，则
，
，则
，
，
，
52
，
，即
，
∴
.
（2）
，
的图象向右平移
个单位后得到的函数为
，即
，
再向上平移1 个单位得到的图象对应函数为
，
，
当
时，
，
令
，则
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
，
，
，
函数
在
上的值域为
．
2．（2026·河北邯郸·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，且
．
(1)求
；
(2)记
外接圆的面积为，若
，求
的取值范围．
53
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
成等差数列，所以
，又
，所以
．
设
，则
，则
．
（2）由（1）得
，
则
外接圆的半径
，
则
，则
，
，
则
的取值范围为
．
3．（2026·山东烟台·一模）已知
的内角
的对边分别为
，
，且
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得
，
因为
，所以
.
由三角形面积公式得
，
又因为
，所以
，
所以
，
54
因为
，所以
.
（2）由（1）知，
，得
，
而
，得
，又
，
得
为等边三角形，得
，
故
.
4．（25-26 高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形
中，
．
(1)证明：
；
(2)已知
，
的外接圆半径为1，求
面积的最大值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论；
（2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得
，再利用三角形面积公式得
到面积表达式，再求出的范围即可得到最值.
【详解】（1）证明：设
，
因为
，所以
，
在
中，由正弦定理得，
，
在
中，由正弦定理得，
，
所以
.
（2）因为
的外接圆半径为1，
55
由正弦定理
，得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，①
在
中，同理可得
，②
由①②可知，
是关于的方程
的两根，
所以
．
的面积为
.
由
，得到
，
又因为
，所以
，
所以
即
面积的最大值为
.
5．（2026·湖北襄阳·一模）在
中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，M 为边BC 所在直线
上一点．
(1)若
，AM 平分∠BAC，
，
，求
的周长；
(2)若
，且
，求
的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值
；最小值4
【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解；
（2）根据三角形面积公式可得
，根据余弦定理化简可得
56
，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，
利用基本不等式可得最小值.
【详解】（1）由题意得
所以
①
又
②
由①②解得
，所以
的周长为
；
（2）∵
，
又
，∴
∴
当且仅当
，即
时取“
”，
又
，当且仅当
时取“
”，
所以
的最大值
，最小值4．
6．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形
中，记
分别为内角
的对边，
．
(1)求
的值；
(2)求角
的最大值．
57
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可得
，结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）根据（1）中结论结合基本不等式可得
，且
，结合
运算求解即可.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
又因为
，
即
，
且
为锐角三角形，则
，则
，
可得
，所以
.
（2）因为
，且
，则
，
可得
，解得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
则
，
因为
，则
，
58
可得
，
，
则
，
即
的最大值为
，且
，
所以角
的最大值为
.
7．（2026·广东·一模）设
的内角
所对的边分别为
，且
，记
.
(1)若
成等差数列，求
的最小值；
(2)若
成等比数列，求
的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求
解；
（2）由（1）得
，结合正弦定理，等比数列性质，三角形边长关系求解.
【详解】（1）
，
因为
成等差数列，所以
，
又
，所以
，又
，所以
，
所以
，
59
，
当
取得最大值时，
取得最小值，
因为
，所以
，
所以当
时，
取得最小值1.
（2）因为
成等比数列，所以
，
由（1）知
，
因为
，所以
，
将
代入
，化简得
，
两边同除以
，得
，即
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，即
，得
，
所以
的取值范围为
.
8．（2026·河北张家口·一模）在
中，内角
的对边分别为
，满足
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，点
为边
上一点，
为
的平分线，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
60
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证；
（2）先计算
，利用二倍角余弦公式得
，再由
结合二倍角正弦公式即可
求解；
（3）由（1）有
，得
，又由正弦定理得
，利用锐角三角形求
出
的范围，进而求解.
【详解】（1）由
，利用正弦定理得：
，
又
，
所以
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
（舍去）
所以
；
（2）由
，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
，
又由
为
的平分线，
所以
，
所以
，
所以
，
又由余弦定理得：
，
61
所以
，所以
；
（3）由（1）有
，又
，所以
，
又由正弦定理得：
，
又
为锐角三角形，所以
，
所以
，所以
，所以
.
9．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B 处，在B 处观测灯塔A 在船的
北偏东
的方向上，船航行到C 处，在C 处观测灯塔在船的北偏西
的方向上，已知B，C 相距6
海里，
．
(1)若
，求
的距离；
(2)求
面积的最小值．
【答案】(1)
（海里）
(2)
（平方海里）．
【分析】（1）在
和
中反复使用正弦定理，用角度
表示边长
、
、
、
，
代入求值即可；
（2）将面积表达式化简为关于
的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的
范围求解面积的最小值.
62
【详解】（1）因为
，
，所以
，
又因为
，所以
，
，
又
，设
，
∴
，
，
．
在
和
中由正弦定理可得
，
，
即
，
，
，
．
当
时，则
，
，
∴
，
，
∴
（海里）．
（2）
令
63
，
∴
．
因为
，∴
，∴
，
所以当
时，
（平方海里）．
10．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪
提出，其定义如下：设P 是
内一点，若
，则称点P 为
的布洛
卡点，角
为
的布洛卡角.如图，在
中，记它的三个内角分别为
，其对边分别为
的面积为S，点P 为
的布洛卡点，其布洛卡角为
，请完成以下问题：
(1)若
，求
的大小及
的值；
(2)已知
的条件下，解下列两个问题：
①若
，求
的值；
②若
，求S.
【答案】(1)
64
(2)①12；②
【分析】（1）根据角的关系求得
，在
、
中，分别由正弦定理可
得
，
，由商数关系求
的值；
（2）由
，可得
，对于①在
、
、
中由余弦定理结合代数运算可得
，再根据面积可
求
的值；②由面积公式结合余弦定理可得
，结合①可得
，平方展开运算得解.
【详解】（1）
在
中，
，
所以
，而
为锐角，故
，所以
，
所以
，而
，故
.
又
，故
，
在
中，由正弦定理有
，所以
，
65
在
中，由正弦定理有
，所以
，
所以
，故
.
（2）
因为
，所以
，即
，
①
，所以
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
三式相加得
，
整理得：
.
②又
又由①知
，
所以
，
故
，
整理得：
，
66
即
，
所以
，即
，
所以
.
刷真题
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）直接由题意得
，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得
，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数
的
单调区间.
【详解】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
67
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出
，最后结合已知
得
的
值即可；
（2）首先求出
，然后由正弦定理可将
均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列
方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
68
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用
同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
69
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
70
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，
71
即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形
面积公式求出，作出
边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作答；方法2，利用
向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作答.
72
【详解】（1）方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过作
于，于是
，
，
所以
.
（2）方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
73
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长
的值为
，然后由余弦定理可得
，最后由
同角三角函数基本关系可得
；
(2)由题意可得
，则
，据此即可求得
的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则
，
，
.
（2）由三角形面积公式可得
，
74
则
.
75
