专题01
集合压轴题
1.集合的基本概念
（1）集合的概念：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
（2）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（3）集合的表示法：列举法、描述法、文氏图法．
（4）常见数集的记法
集合
自然
数集
正整数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N
)
(
N
N
或
Z
Q
R
2.集合的基本关系
（1）子集：若对于任意的元素x∈A，都有_
B
x
，则A⊆B.
（2）真子集：若A⊆B，但存在元素x∈B，且
A
x
，则AB.
（3）相等：若A⊆B，且_
A
B
，则A＝B.
（4）空集是_任何集合_的子集，是__任何非空集合的真子集．
（5）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集的个数为2n，非空子集的个数为2n－1，真子集的个数为
2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
3.集合的基本运算
（1）交集：A∩B＝_
}
|
{
B
x
A
x
x
且
_；
（2）并集：A∪B＝_
}
|
{
B
x
A
x
x
或
；
（3）补集：若U 为全集，A⊆U，则∁UA＝___
}
|
{
A
x
U
x
x
且
___．
4.集合的运算性质
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；
∁U（∁UA）＝A；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
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题型一
集合的基本概念
例1．
（1）已知集合
3 ,
M
x x
n n
Z ，
3
1,
N
x x
n
n
Z ，
3
1,
P
x x
n
n
Z ，且a
M
，
N
b
，
c
P
，若d
a
b
c
，则
A．d
M
B．d
N
C．d
P
D．d
M
且d
N
（2）.已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|（x－1）2＋p（x－1）＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（
）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
（3）．已知集合
2
,1,
5
6
A
a
a
a
，若2
A
，则实数a 的值构成的集合为
．
练习题：
（1）．已知集合
1,2,3,4,6
A
，
,
x
B
x y
A
y
，则集合B 中的元素个数为
．
（2）．已知
2
1,
,3
A
a
，
2
2,1,
1
B
a
a
.若A
B
，则
a
.
（3）．含有三个实数的集合可表示为
,
,1
b
a a
，也可以示为
2,
,0
a
a
b
，则
2023
2024
a
b
的值为
.
题型二
集合的基本关系
例2
（1）（2023·广东佛山市质检）已知集合A＝{x∈N*|x2－2x－3<0}，B＝{x|ax＋2＝0}，若A∩B＝B，则
实数a 的取值集合为__
__．
（2）已知集合A＝{x|（x＋1）
（x－6）≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若A∩B＝B，则实数m 的取值范围为_
．
（3）．已知集合
2
|
4
0
A
x x
x
，
2
2
|
2(
1)
1
0
B
x x
a
x
a
.
①若A
B
，求a 的值；
②若B
A
，求a 的值.
练习题：
（1）.设集合
2
2,
2,4
A
a
a
a
，
0,4
B
，
1,3
C
，若B
A
，
3
A C
，则
a
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
（2）．已知集合
{ | 3
4},
{ |1
}
A
x
x
B
x
x
m
，且B
A
，则实数m 的取值范围是
.
（3）．已知集合
2
2
0
M
x x
x
a
.
①若
M
，求实数a 的取值范围；
②若
2
0
N
x x
x
且M
N
，求实数a 的取值范围.
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题型三集合的基本运算
例3：（1）．设集合U R ，集合
1
M
x x
，
1
2
N
x
x
，则
2
x x
（
）
A．
U M
N
ð
B．
U
N
M
ð
C．
U M
N
ð
D．
U
M
N
ð
（2）．已知集合
{ 0
3}
A
x
x
∣
，
{ 2
6}
B
x
x
∣
，则A
B
（
）
A．{ 3
6}
x
x
∣
B．{ 0
6}
x
x
∣
C．{ 2
3}
x
x
∣
D．{ 0
2}
x
x
∣
（3）．集合
|
5
2
0
A
x
x
x
，集合
|
1
2
1
B
x m
x
m
.
①当
3
m
时，求A
B
，A
B
；
②若A
B
B
，求实数m 的取值范围.
（4）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26 名学生参加数学竞赛，25 名学生参加物理竞赛，23 名学生
参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7 名，只参加数、物两科的有6 名，只参加物、化两科
的有8 名，只参加数、化两科的有5 名．若该班学生共有51 名，则没有参加任何竞赛的学生共有（
）名
A．7
B．8
C．9
D．10
练习题：
1．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，
3,
B
x x
x
N ，则A
B
（
）
A．
2
B．{0,1,2,3}
C．{1,2}
D．{0,2}
2．已知集合
0,1,2,3
A
，
2
1,
B
x x
n
n
A
，P
A
B
，则P 的子集共有（
）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．64 个
3．已知全集U R ，
3
1
A
x
x
，
0
2
B
x
x
，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A．
3
0
x
x
B．
3
0
x
x
C．
3
2
x
x
D．
0
1
x
x
4．已知集合
2
4
5
0
A
x x
x
，集合
2
2
B
x
a
x
a
.
（1）若
1
a ，求A
B
和A
B
；
（2）若A
B
B
，求实数a 的取值范围.
5．已知集合U 为全体实数，
3
M
x x
或
4
x
，
2
3
N
x
a
x
a
.
（1）若
1
a ，求
U M
N
ð
；
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（2）若M
N
N
，求实数a 的取值范围.
题型四创新提升能力题
1．用C（A）表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B＝
,
,
C A
C B
C A
C B
C B
C A
C A
C B
若A＝{1，2}，B＝{x|
（x2＋ax）·（x2＋ax＋2）＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
2．设集合S，T，SN*，TN*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x<y，则y
x
S；
下列命题正确的是（
）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
3．全集
,
Z,
Z
U
x y x
y
，非空集合S
U
，且S中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、
y 轴和直线y
x
均对称.下列命题：
①若
1,3
S
，则
1, 3
S
；
②若
0,4
S
，则S中至少有8 个元素；
③若
0,0
S
，则S中元素的个数一定为偶数；
④若
,
4,
Z,
Z
x y x
y
x
y
S
，则
,
4,
Z,
Z
x y
x
y
x
y
S
.
其中正确命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
4．对集合
1,2,3,
,
A
n
的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序
重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合
1,2,4,6 的“交替和”为
6
4
2
1
3
，集合
3 8, 的“交替和”为8
3
5
，集合
6 的“交替和”为6，则集合A 所有非空子集的“交替
和”的和为（
）
A．
2n
n
B．
1
2n
n
C．
1 2n
n n
D．
1
1 2n
n n
1．已知集合A 的元素满足条件:若a∈A，则1
1
a
a
∈A(a≠1)，当1
3 ∈A 时，则集合A 中元素的个数是（
）
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A．1
B．2
C．3
D．4
2．当一个非空数集G 满足：如果a ，b
G
，则a
b
，a
b
，ab
G
，且
0
b
时，a
G
b
时，我们称G 就
是一个数域.以下关于数域的说法：
0
①是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2019
G
；③集合
{ |
2
}
P
x x
k
k
Z
，
是一个数域．④有理数集是一个数域.其中正确的选项是（
）
A．①②④
B．②③④
C．①④
D．①②
3．集合
1
A
x x
或
3
x
，
1
0
B
x ax
若B
A
，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1 ,1
3
B．
1 ,1
3
C．
,1
0,
D．
1 ,0
0,1
3
4．若集合
1
|
2
1 ,
9
A
x x
k
k
Z ，
4
1
|
,
9
9
B
x x
k
k
Z ，则集合A ，B 之间的关系表示最准确的
为（
）
A．A
B
B．B
A
C．
=
A B
D．A 与B 互不包含
5．（多选题）已知集合
{
1
7}
A
x
x
∣
，
{
2
2
1}
B
x a
x
a
∣
，若使B
A
成立的实数a 的取值集合
为M，则M 的一个真子集可以是（
）
A．(
,4]
B．(
,3]
C．
3,4
D．
4,5
6．（多选题）对于集合
2
2,
Z,
Z
M
a a
x
y
x
y
，给出如下结论，其中正确的结论是（
）
A．如果
2
1,
N
B
b b
n
n
，那么B
M
B．若
2 ,
N
C
c c
n n
，则存在c
C
，满足c
M
C．如果
1
2
,
a
M a
M
，那么
1
2
a a
M
D．如果
1
2
,
a
M a
M
，那么
1
2
a
a
M
7．已知集合
{
2
4},
{
,
}
A
x
x
B
x x
a a
R
∣
∣
．
（1）若A
B
，则实数a 的取值范围是
．
（2）若A
B
A
，则实数a 的取值范围是
．
（3）若A
B
B
，则实数a 的取值范围是
．
8．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒
乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项
目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数
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为
．
9．已知
2
2
2
|
2
8
0 ,
|
12
0
A
x x
x
B
x x
ax
a
.
(1)若A
B
，求a 的值；
(2)若B
A
，求实数a 的取值范围.
10．已知集合
2
3
2
0
A
x x
x
，
2
1
0
B
x x
ax
a
，
2
2
0
C
x x
mx
.
(1)命题p ：“
x
B
，都有x
A
”，若命题p 为真命题，求实数a 的值；
(2)若A
C
C
，求实数m 的取值范围.
11．若集合
{ | 2
4},
{ |
0}
A
x
x
B
x x
m
．
(1)若
3
m
，全集U
A
B
，试求
(
)
U
A
B
ð
．
(2)若A
B
A
，求实数m 的取值范围．
12．给定正整数
2
k
，设集合
1
2
,
,
,
0,1 ,
1,2,
,
k
i
M
x x
x
x
i
k
．对于集合M 的子集A，若任取A
中两个不同元素
1
2
,
,
,
k
y y
y
，
1
2
,
,
,
k
z z
z
，有
1
2
1
2
k
k
y
y
y
z
z
z
，且
1
1
y
z
，
2
2
y
z
，…，
k
k
y
z
中有且只有一个为2，则称A 具有性质P．
(1)当
2
k
时，判断
1,0 , 0,1
A
是否具有性质P；（结论无需证明）
(2)当
3
k
时，写出一个具有性质P 的集合A；
(3)当
4
k
时，求证：若A 中的元素个数为4，则A 不具有性质P．
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