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第9讲 零点判断中的取点技巧
利用零点存在定理判断函数零点的个数是导数压轴题中的命题热点，同时
也是考生不易掌握的公认难点，当使用零点存在定理时，我们需要找到函数值
异号的两个点．而“如何取点（找点）？”，却是一只不折不扣的拦路虎！特
别是含参函数的取点问题，表面上具有相当的难度与技巧性（参考答案中的取
点简直是神来之笔），实则有其基本原理．掌握其中的逻辑，则可以轻松面
对．
本讲义以近几年的高考题和模拟题为例，谈谈取点的基本原理和逻辑，总
结取点攻略。
方法一 巧取特殊值
当我们在取点过程中，可先考虑选取一些特殊点进行判断，但这里的“巧取特殊点”
不是指“瞎猜胡蒙”，而是建立在推理分析的基础上，如考虑区间端点（如果可以取
到），其次是一些特殊值，如解析式含有指数、对数或三角函数时，可考虑参数无关的
点，如0，1，e ， 等．最后考虑含参数的点．这时的取点原则是将解析式中含参项去参为常，如果不成，则
退而求其次，通过选点使解析式中含参项的代入结果尽量简化，再配合解析式中不含参的
项，进行必要的调整．
例1. 当 时，讨论f(x)＝lnx－ax的零点个数．
【对点演练】（2023·浙江温州·统考三模）已知函数 .
(1)证明：函数 在 上有且只有一个零点；
方法二 内点效应
内点效应概述：函数 ， 定义在区间 上
（1）若 ，则取任意的 ，则不等式组 有解，且这
个解集中所有的 都满足 ；
（2）若 ，则取任意的 ，则不等式组 有解，且这
个解集中所有的 都满足 ；
下面我们举一个例子说明一下内点效应的应用：
问题1：已知 试在 上找一个值 ，满足 。
取点分析因为 时， ， 时， ，故寻找 的
点应选择区间 的左端点分析
由 得 ，令 ，因为 。则 ，取 ，则不等式 的解满足 ，
不等式化为 ，取 ，则 ，
故
问题2 已知 试在 上找一个值 ，满足 。
分析：因为 时， ， 时， ，故寻找 的点
应选择区间 的右端点分析
令 ，当 时 ， ，故取值区间为 ，
取 ，则不等式组
取 ，则
故 是一个满足条件的值。
内点效应将一个不可解的不等式转化为一个可解的不等式处理，灵活利用
内点效应，可以帮助我们解决在使用零点存在定理判断根的存在性时的取点问
题，下面我们再通过例题，分析一下内点效应的应用。
例1（2019年全国2卷改编）已知函数 ，判断函数 在定义域上零
点的个数。．
方向二 放缩取点
原理其实很简单，若直接找点不容易，但可通过放缩将 f(x)放缩成一个
容易解方程的函数，注意最后需证明x 在规定的定义域内。
1
其实放缩取点法的关键就两个，一是分清对谁放缩，二是根据增减速率不同
选择合适的放缩方法，基本原则是不能改变函数的变化趋势。
角度1 根据函数的有界性放缩
利用有界性来放缩，即根据给定定义域范围下某些函数的范围进行放缩，例如当
a>0且x∈[1,2]时，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，这种放缩是把函数放缩成具体的数字，
例2（2018年全国二卷）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
角度2 切线放缩
切线放缩的实质时将指数函数、对数函数放缩为一次函数，即化曲为直，常用的放缩
不等式有 ， ， 。
例3已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.
角度3 曲线放缩
曲线放缩的实质就是化曲为曲，当曲线不能放缩为直线时，可考虑放缩为曲线，
常用的放缩不等式有 ， ， ，
。至于选择哪种放缩形式并无定论，依题而定，
很具有灵活性。
例4（2020年全国I卷）已知函数 .（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【对点演练】(2018年全国II卷）)已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
【巩固训练】
1．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
2．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
3．已知函数 为自然对数的底数，且 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
4．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
5．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个不同的零点，求 的取值范围．
