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第 03 讲 导数与函数的极值、最值
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
高频考点二：求已知函数的极值（点）
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
高频考点四：求函数的最值（不含参）
高频考点五：求函数的最值（含参）
高频考点六：根据函数的最值求参数
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的极值一般地，对于函数 ，
（1）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
（2）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极大值点， 叫做函数 的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数 的定义域为(a，b)，导函数 在(a，b)上的
图象如图所示，则函数 在(a，b)上的极大值点的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·四川达州·高二期末（文））函数 的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．3
3．（多选）（2022·河北邢台·高二期末）若函数 导函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． 是 的一个极大值点
B． 是 的一个极小值点
C． 是 的一个极大值点
D． 是 的一个极小值点
4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））函数 的极值点是_________.
5．（2022·湖北·高二期中）求函数 在区间 的最大值与最小值．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题
例题1．（2022·新疆·昌吉州行知学校高二期末（文））如图是函数 的导函数 的图象，给
出下列命题：① 是函数 的极值点；
② 是函数 的极值点；
③ 的图象在 处切线的斜率小于零；
④函数 在区间 上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
例题2．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高二期末（理））已知函数 ，其导函数 的图像
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在 上为减函数 B．在 上为增函数
C．在 处取极大值 D． 的图像在点 处的切线的斜率为0
例题3．（多选）（2022·广东·佛山市南海区南海执信中学高二阶段练习）已知函数 的导函数为
，若 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
例题4．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）如图是导函数 的图象，则下列说法错
误的是（ ）
A． 为函数 的单调递增区间
B． 为函数 的单调递减区间
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
题型归类练
1．（2022·河北·高二期中）已知 是函数 的导函数，函数 的图象如图所示，则 的
极大值点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高二期中）已知函数 的导函数是 ， 的图象如
图所示，下列说法正确的是( )A．函数 在 上单调递减 B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 处取得极小值 D．函数 共有1个极大值点
3．（多选）（2022·广东·普宁市普师高级中学高二阶段练习）如图是y= 的导函数 的图象，对于
下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x=﹣1时， 取得极小值
B． 在[﹣2，1]上是增函数
C．当x=1时， 取得极大值
D． 在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
4．（2022·辽宁·沈阳市回民中学高二期中）函数 的定义域为R，它的导函数 的部分图象如
图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在 上函数 为增函数 B．在 上函数 为增函数
C．在 上函数 有极大值 D． 是函数 在区间 上的极小值点高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）函数 的极小值点是
（ ）
A．2 B．（2， ） C．-2 D．（-2， ）
例题2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）已知函数 ，则
（ ）
A．函数 的极大值为 ，无极小值 B．函数 的极小值为 ，无极大值
C．函数 的极大值点为 ，无极小值点 D．函数 的极小值点为 ，无极大值点
例题3．（2022·全国·高二期末）已知函数
(1)求函数的导数；
(2)求函数的单调区间和极值点.
题型归类练
1．（2022·贵州毕节·高二期末（理））已知 为函数 的极大值点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
2．（2022·河北邢台·高二阶段练习）函数 的极小值点是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·北京市第十二中学高二期中）若 的两个极值点为 ，则 _______．
4．（2022·黑龙江·高二期中）函数 的极小值点为______．
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题例题1．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））已知 没有极值，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上无极值，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（理））设函数 在 处取得极值-1.
(1)求 、 的值；
(2)求 的单调区间.
例题4．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
（2）设 是 的极值点，求 的极小值.
题型归类练
1．（2022·安徽·繁昌皖江中学高二阶段练习）若函数 有两个不同的极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知 为函数 的极大值点，则 ______．
3．（2022·河北邢台·高二阶段练习）若 是函数 的一个极值点，则 ______．
4．（2022·北京八中高二期中）已知函数 在 处有极值为10，则 等于
______．
5．（2022·全国·高二专题练习）已知函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，求实数a的取
值范围6．（2022·山东·巨野县实验中学高二阶段练习）已知函数 在 处有极值2．
（1）求 ， 的值；
（2）求函数 在区间 上的最值．
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（2022·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校高二阶段练习） 在区间 上的
最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·四川成都·高二期中（文））函数 在 上的最大值为
（ ）
A．－2 B． C．－1 D．1
例题3．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））函数 在 上的最小值是
__________.
例题4．（2022·陕西·西安市庆安高级中学高二阶段练习（理））已知函数 ，则 在
上的最大值是__________．
题型归类练
1．（2022·重庆·西南大学附中高二期中）函数 在（0，e]上的最大值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．e
2．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）函数 在区间 上的最大值是（ ）
A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时，函数 的最大值为
_______ .
4．（2022·北京市十一学校高二期末）函数 在 上的最大值为______________
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（2022·山东德州·高二期末）已知函数 ．
(1)若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
(2)当 时．求函数 的最大值．
例题2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在区间 上的最小值．
题型归类练
1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））已知函数 是
的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当 时，求函数 的最大值．
2．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的最小值．高频考点六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））若函数 在区间 内既存
在最大值也存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）若函数 在区间
上有最大值，则实数 的取值范围是__________.
例题3．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知函数
，且 .
（1）求 的值；
（2）若函数 在 上的最大值为20，求函数 在 上的最小值.
例题4．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，求 的极值；
(2)当 时， 在 上的最大值为 ，求 在该区间上的最小值．
题型归类练
1．（2022·吉林·高二期末）当 时，函数 取得最小值 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在区间上
有最小值，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 （ 为常数），在区间 上有
最大值 ，那么此函数在区间 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 (x∈[-2，2])，f(x)的最小值为1，则m=____.
5．（2022·河北唐山·高二期中）已知函数 的最小值为 ，则 _____．
6．（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上的最小值是 ，求a的值.
7．（2022·广东韶关实验中学高二期中）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）若函数 在区间 上取得最小值4，求 的值.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 在 上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
典型例题
例题1．（2022·广西贵港·高二期末（文））函数 的图像在点 处的切线恰好经过点
．
(1)求 ；
(2)已知函数 在其定义域内单调递增，求 的取值范围．例题2．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若对 ， 恒成立，求 的取值范围.
例题3．（2022·四川绵阳·高二期末（理））已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最大值是9?若存在，求出所有实数 的值；若不存在，
请说明理由.
题型归类练
1．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知函数 ， 是 的一个极值
点．
(1)求实数a的值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
2．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二期末）已知函数 在 处有极值 .
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的最大值与最小值.3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若 ，求b的最小值．
