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专题02 三角函数的图象与性质（五点法作图）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围.............1
题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象.........................4
三、专项训练........................................................6
一、必备秘籍
必备方法：
五点法步骤
③
①
②
对于复合函数
，
第一步：将
看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令
等于
，
，
，
，
，对应的
则取
，
，
，
，
。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出
（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：
，
,
,
,
1
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二、典型题型
题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围
1．（2023·高一课时练习）已知函数
.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
x
y
作图：
(2)求它的振幅、周期和初相.
【答案】(1)答案见解析
(2)振幅为
，周期
，初相为
【详解】（1）列表如下：
0
0
2
0
0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
2
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（2）由
可知，振幅
，初相为
，
最小正周期
.
2．（2023 春·云南昆明·高一校考阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数
在长度为一个周
期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
（2）并说明该函数图象可由
的图象经过怎么变换得到的.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【详解】（1）先列表，后描点并画图.
0
x
y
0
1
0
0
3
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（2）把
的图象上所有的点向左平
移
个单位，得到
的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得到
的图象.
题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象
1．（2023 秋·江苏连云港·高一统考期末）已知函数
．
(1)用“五点法”画出函数一个周期的简图；
x
y
(2)写出函数在区间
上的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)
，
【详解】（1）用“五点法”画出函数一个周期的简图，列表如下：
0
4
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x
y
0
3
0
0
函数一个周期的简图，如图，
（2）由
，解得
，
当
时，得
或
，
所以函数在区间
上的单调递增区间为
，
.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
．在用“五点法”作函数
的图
象时，列表如下：
x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数
在区间
上的图象；
5
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【答案】填表见解析；作图见解析
【详解】由题意列出以下表格：
0
x
0
0
2
0
函数图象如图所示：
三、专项训练
1．（2023 春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数
(1)用“五点法”画出函数
在一个周期内的图象；
(2)直接写出函数
的值域和最小正周期．
列表：
作图：
6
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【答案】(1)答案见解析
(2)值域
，最小正周期为
【详解】（1）解：列表:
0
图象如图所示：
（2）解：因为
，则
，
故函数
的值域为
，最小正周期为
.
2．（2023 春·广西河池·高一校联考阶段练习）已知函数
，
．
(1)在用“五点法”作函数
的图象时，列表如下：
7
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x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数
在区间
上的图象；
(2)求函数
的单调递减区间；
(3)求函数
在区间
上的最值．
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
，
(3)最大值为
，最小值为
【详解】（1）
0
x
0
0
2
0
－2
函数图象如图所示，
8
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（2）令
，
，
得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，
（3）因为
，所以
，
所以
．
当
，即
时，
；
当
，即
时，
．
∴
的最大值为
，最小值为
．
3．（2023 春·四川资阳·高一四川省乐至中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)请用“五点法”画出函数
在一个周期上的图象；
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(2)写出
的单调递减区间．
【答案】(1)作图见解析
(2)减区间为
【详解】（1）列表如下，
x
0
0
1
0
0
描点作图即可
（2）由
，
，得
，
，
所以
的单调递减区间为
，（
）,或写成开区间.
4．（2023 秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知函数
（其中
，
，
）的图象过点
，且图象上与点
最近的一个最低点的坐标为
．
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(1)求函数
的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度得到的函数
是偶函数，求
的最小值．
【答案】(1)
，图象见解析；
(2)
【详解】（1）由题意可得，
，且周期
，则
，
又
，解得
，
，
，
（2）
，
函数
是偶函数，则
，解得
又
，则当
时，
的最小值为
．
5．（2023 秋·福建厦门·高一统考期末）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0
2
0
0
(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数
在一个周期内的图像；
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(2)将
的图形向右平移
个单位长度，得到
的图像，若
的图像关于y 轴对
称，求
的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）
0
x
0
2
0
0
由表中数据可得，
，
，所以
，则
，
当
时，
，则
，所以
（2）由题意可得，
，
因为
的图像关于y 轴对称，
则
，
，
解得
，
且
，所以当
时，
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6．（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
在
上的大致图像.
【答案】答案见解析
【详解】列表：
0
1
2
0
0
1
描点，连线，画出
在
上的大致图像如图：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．
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用五点法画出函数
在
上的大致图像
【答案】作图见解析
【详解】由
，列表如下：
0
0
2
0
函数图像如图：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．完成下面表格，并用“五点法”作函数
在
上的简图：
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x
0
π
2π
【答案】填表见解析；作图见解析
【详解】补充完整的表格如下：
x
0
π
2π
1
3
5
3
1
描点、连线得函数
的图象如图所示，
9．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数
的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象
出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由
图象变换得到函数
的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数
在区间
上的简图．
【答案】(1)答案见解析
(2)作图见解析
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【详解】（1）步骤1：把
图象上所有点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象；
步骤2：把
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；
步骤3：最后把函数
的图象的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得到函数
的图象．
或者步骤1：步骤1：把
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；
步骤2：把
图象上所有点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象；
步骤3：最后把函数
的图象的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得到函数
的图象．
（2）因为
列表：
10．（2023 春·江西·高一统考期中）已知变换
：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移
个单位长度；变换
：先向左平移
个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2 倍.请从
，
两种变换中选择一种变换，将函数
的图象变换得到函数
的图象，并求解下列问题.
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(1)求
的解析式，并用五点法画出函数
在一个周期内的闭区间
上的图象；
(2)求函数
的单调递减区间，并求
的最大值以及对应
的取值集合.
【答案】(1)
，图象见解析
(2)
，
；最大值为，
【详解】（1）选择
，
两种变换均得
，
列表如下：
图象如图所示：
（2）令
，
，
解得
，
，
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所以函数
的单调递减区间为
，
.
当
，
，
即
，
时，
取得最大值，
此时对应的
的取值集合为
.
11．（2023 春·辽宁本溪·高一校考阶段练习）已知函数
.
(1)用五点法画出函数
在
上的大致图像，并写出
的最小正周期；
(2)解不等式
.
【答案】(1)作图见解析，
(2)
，
.
【详解】（1）由
，列表如下：
0
0
2
0
函数图像如图：
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函数
的最小正周期
.
（2）因为
，所以
，
即
，所以
，
则
，
或
，
，
解得
，
或
，
.
故所求不等式的解集为
，
.
12．（2023 春·四川成都·高一校考阶段练习）设函数
，
的图象过点
．
(1)求
的值及函数
的周期；
(2)用五点法画出函数
在区间
的图象．
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【答案】(1)
，函数周期为
，
；
(2)图象见解析.
【详解】（1）由题设
，则
且
，
所以
且
，又
，故
，
所以
，故函数最小正周期为
，即函数周期为
，
.
综上，
，函数周期为
，
.
（2）由
，则
，
0
0
0
1
0
所以
在
上图象如下：
20
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