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专题02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示.........................................................................................................1
二、函数的基本性质.....................................................................................................2
三、分段函数.................................................................................................................4
四、函数的图象.............................................................................................................5
五、二次函数.................................................................................................................7
六、指对幂函数.............................................................................................................7
七、函数与方程.............................................................................................................8
八、新定义题.................................................................................................................9
一、函数及其表示
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数
，
，若对任意的
，存在
，使
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数
的定义域为
则
的定义域为
3．（2023 春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）已知函数
定义域为
，则函数
的定义域为 .
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的值域为
，则常数
．
1
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5．（2023·全国·高三专题练习）求函数
的值域.
6．（2023·全国·高三专题练习）当
时，求函数
的最小值.
7．（2023·高一课时练习）若函数
满足方程
且
，则：
（1）
；（2）
．
8．（2023·全国·高三专题练习）若
满足关系式
，则
，若
，则实数m 的取值范围是 ．
二、函数的基本性质
1．（2023 春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在
上的函数
在
单调递增，且
是偶
函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）若定义在
的奇函数
在
单调递减，
且
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数
的单调递增区间为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
5．（2023 春·河北唐山·高二校联考期末）已知函数
，
，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 春·广西北海·高二统考期末）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，
的定义域均为
，
，
是偶函数，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
关于点
中心对称
C．
D．
8．（2023 春·新疆·高二统考期末）若奇函数
的定义域为
，且
时，
，则
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数
是定义域为
上的奇函数，满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．（2023 春·安徽黄山·高二统考期末）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选）（2023 秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
3
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C．
的一个周期
D．
12．（多选）（2023 春·河北保定·高二校联考期末）定义在
上的奇函数
满足
，
当
时，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
的最小正周期为4
C．
的图象关于点
对称
D．
13．（2023 春·辽宁沈阳·高二校考期末）已知定义在
上的函数
满足
，且
关于
对称，当
时，
.若
，则
.
三、分段函数
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）设函数
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（2023 春·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数
是
上的增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数
满足对任意实数
，都
有
成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知定义在R 上的奇函数满足
，
当
时，
，则
（ ）
A．2
B．
C．－2
D．－
4
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5．（2023 春·江苏苏州·高一校联考期末）已知函数
，则下列
说法错误的是（ ）
A．
是单调递增函数
B．
C．
D．
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
的最大值为0，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023 春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数
若
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
8．（2023 春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
四、函数的图象
1．（2023 春·云南保山·高二校联考期末）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
2．（2023 春·广东韶关·高二统考期末）
部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·云南楚雄·高二统考期末）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间
上的大
致图象如图所示，则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 春·河北沧州·高二统考期中）函数
的图象大致为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
6．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数
在
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
五、二次函数
1．（2023 秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数
与
的图象上不存
在关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范
围是 ．
3．（2023 春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知函数
在区间
上的
最小值为1，则实数
的值为 .
4．（2023·江苏·高一假期作业）如果函数
定义在区间
上，求
的值域．
7
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六、指对幂函数
1．（多选）（2023 春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知
，则实数
，
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（2023 春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数
，设
（
，2，3）为
实数，
，且
，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．不等式
的解集为
C．
D．
3．（2023 春·浙江绍兴·高二统考期末）已知定义在
上的函数
满足:
为奇函数，
为偶函数，
当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知幂函数
的图象过
，
，
（
）是
函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·吉林白山·统考二模）函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数
，且
，
则实数
的取值范围是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
七、函数与方程
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．2
B．
C．4
D．1
2．（2023 春·福建福州·高二校考期末）已知函数
，则方程
的解的个数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知函数
，若
有四个不同的
解
且
，则
可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数
，若函数
有五个零点，则实数
的取值范围是 .
5．（2023 春·广东广州·高一校考期中）已知函数
，若关于x 的方程
有
四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
6．（2023 春·辽宁大连·高二统考期末）已知函数
，若存在区间
，当
时，
的值域为
，且
，其中
表示不超过
的最大整数，则
的取值范围为 ．
7．（2023 春·河北唐山·高二校联考期末）已知定义在
上的函数
，满足
，当
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时，
，若方程
在区间
内有实数解，则实数
的取值范围为
.
八、新定义题
1．（2023 春·广东·高一统考期末）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下
图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图
是由此抽象出来的一个“心形”图形，这
个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在
轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高一专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布
劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得
f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·云南红河·高一统考期末）2023 年2 月27 日，学堂梁子遗址入围2022 年度全国十大考古新发
现终评项目．该遗址先后发现石制品300 多件，已知石制品化石样本中碳14 质量N 随时间t（单位：年）
的衰变规律满足
（
表示碳14 原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石
样本中的碳14 质量约是原来的
倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）．（参考数据：
，
）
A．8037 年
B．8138 年
C．8237 年
D．8337 年
10
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4．（2023 春·江苏南京·高一校考期中）冈珀茨模型
是由冈珀茨
提出，可作为动物种
群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量
近似满足冈珀茨模型：
（当
时，表示2020 年初的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量
将不足2022 年初种群数量的一半（ ）
A．2031
B．2020
C．2029
D．2028
5．（多选）（2023 春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠
基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高
斯函数”为：设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，如：
，
，
又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按
“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，若
，则有
D．方程
的解集为
6．（多选）（2023 春·广东汕头·高一校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概
念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为
，狄利克雷函数
的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数
有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A．函数
是奇函数
B．
，
C．函数
是偶函数
D．
，
，
7．（2023·全国·高三专题练习）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高
等数学中有着广泛应用，其定义为:
时，
.若数列
，则下列结论:①
的函数图象关于直线
对称；②
；③
；④
；⑤
.其中正确的是 （填写序号）.
11
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