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第 03 讲 平面向量的数量积 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知向量 ， ， ，且 ，则实数 为
（ ）
A．-4 B．-3 C．4 D．3
2．（2023春·山东潍坊·高一山东省高密市第一中学校考阶段练习）已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·山东青岛·高一校考阶段练习）若向量 与向量 的夹角为 ， ，
，则 （ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
4．（2023春·重庆巫溪·高一校考阶段练习）已知 ， ， ，向量 在 方向上的投影是
（ ）
A．12 B．4 C．－8 D．2
5．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）已知点 ， ， ．则 在 上的投影
向量为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）平面向量 与 相互垂直，已知 ，
，且 与向量(1，0)的夹角是钝角，则 =（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）如图在直角梯形ABCD中，已知 ， ，， ，则 （ ）．
A．22 B．24
C．20 D．18
二、多选题
9．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ，
，延长DP交BC于点M，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形
， ， 均为正方形，则（ ）
A． B． 在 上的投影向量为
C． D． 在 上的投影向量为
三、填空题
11．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ， ，若 ，
则 ____________．
12．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且 ，点E为DC的中点，则 ______.
四、解答题
13．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）如图，在 OBC中，点A是BC的中点，点D在
线段OB上，且OD=2DB，设 ， . △
(1)若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
(2)若向量 与 +k 共线，求实数k的值.
14．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行四边形 中，
， ， ， , 分别为 , 上的点，且 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的值.15．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）已知向量 ， （ ）．
(1)若 ，求t的值；
(2)若 ， 与 的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
B能力提升
1．（2023春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知 是两个互相垂直的单位向量，而
， ，则对于任意的实数 ，求 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）如图， 中， 为 中点，
为圆心为 、半径为1的圆的动直径，则 的取值范围是__________.
3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知向量 ， ，其中 ， ，若 ，
则 的最小值为_______．
4．（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形 中， ，点 为 的中点， ，
，若向量 在向量 上的投影向量的模为4，设 、 分别为线段 、 上的
动点，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．C综合素养
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与圆
交于 ， 两点，若存在直线 ，使得 ，则半径 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中学校考阶段练习）已知半圆圆心为O，直径 ，C为半圆弧
上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)若 ，当y得最小值时，求点P的坐标及y的最小值．
3．（2023春·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满
足 ，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于点M，N．
(1)求证： ；
(2)若△ABC是边长为 的等边三角形，求 的取值范围．
