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第 03 讲 平面向量的数量积 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知向量 ， ， ，且 ，则实数 为
（ ）
A．-4 B．-3 C．4 D．3
【答案】A
【详解】 ，
由于 ，
所以 .
故选：A
2．（2023春·山东潍坊·高一山东省高密市第一中学校考阶段练习）已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选：D.
3．（2023春·山东青岛·高一校考阶段练习）若向量 与向量 的夹角为 ， ，
，则 （ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【详解】解：因为
，
解得 （舍），或 ，所以 .
故选：B4．（2023春·重庆巫溪·高一校考阶段练习）已知 ， ， ，向量 在 方向上的投影是
（ ）
A．12 B．4 C．－8 D．2
【答案】B
【详解】记向量 与 的夹角为 ，
所以 在 方向上的投影为 .
故选：B.
5．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ， ，两式相加，得 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 .
故选：A．
6．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）已知点 ， ， ．则 在 上的投影
向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ， ．
所以 ， ，
，
所以向量 与 的夹角为钝角，
因此量 在 上的投影向量与 方向相反，
而 ， ，所以 在 上的投影向量为 ，
故选：C
7．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）平面向量 与 相互垂直，已知 ，
，且 与向量(1，0)的夹角是钝角，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设
①，
，②，
与向量(1，0)夹角为钝角， ，③，
由①②③解得 ， ，
故选：D．
8．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）如图在直角梯形ABCD中，已知 ， ，
， ，则 （ ）．
A．22 B．24
C．20 D．18
【答案】A
【详解】解：因为 ， ，
所以
，
因为 ， ，所以 ，
因为直角梯形ABCD，所以 ，故 ，所以原等式
.
故选：A
二、多选题
9．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ，
，延长DP交BC于点M，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】依题意，
因为在平行四边形 中， ， ，
所以 ，即M为BC的中点，
所以 ，故A正确；
因为 不共线，所以 错误，故B错误；
，故C正确；
，
故D正确．故选：ACD.
10．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形
， ， 均为正方形，则（ ）
A． B． 在 上的投影向量为
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】ABD
【详解】
对于A，由图可知 ，则 ，所以 ，A正确；
对于B，如图，设M，N分别为AB，HG的中点，连接IM，CN，
在 上的投影向量为 ，B正确；
对于C，因为 与 的夹角为 ，所以 ，C错误；
对于D， 在 上的投影向量为 ，D正确．
故选：ABD
三、填空题
11．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ， ，若 ，
则 ____________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又向量 与 的夹角为 ， ，
所以
解得 ．
故答案为： .
12．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，
且 ，点E为DC的中点，则 ______.
【答案】
【详解】由题可知 ，
所以
.
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）如图，在 OBC中，点A是BC的中点，点D在
线段OB上，且OD=2DB，设 ， . △(1)若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
(2)若向量 与 +k 共线，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ， ，且 与 的夹角为 ，所以， ，所以，
（2）由题图得， ，
，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，
若 与 +k 共线，则存在实数λ，使得 ，
即 ，所以 ，因为 与 不共线，所以 ，
解得 ，所以实数 的值为 .
14．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行四边形 中，
， ， ， , 分别为 , 上的点，且 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）由题意 ，则 ,
所以 ， .
（2）由题意 ， ， ，
可知 ，
故 =
15．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）已知向量 ， （ ）．
(1)若 ，求t的值；
(2)若 ， 与 的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知 ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
（2）若 ，则 ， ，
∵ 与 的夹角为锐角，
∴ ，且 与 不共线，
∴ ，解得 且 ，
∴m的取值范围是 ．
B能力提升
1．（2023春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知 是两个互相垂直的单位向量，而
， ，则对于任意的实数 ，求 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 是两个互相垂直的单位向量， 可令 ， ，设 ，则 ，
（当且仅当 时取等号），
，
.
故选：C.
2．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）如图， 中， 为 中点，
为圆心为 、半径为1的圆的动直径，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
，且 .
即
设 与 的夹角为 ，则 .
因为 ，所以 .
故答案为：
3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知向量 ， ，其中 ， ，若 ，
则 的最小值为_______．
【答案】
【详解】 ， ， ，
，即 ，由 ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为：
4．（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形 中， ，点 为 的中点， ，
，若向量 在向量 上的投影向量的模为4，设 、 分别为线段 、 上的
动点，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
梯形 为直角梯形，
，
，即 ，
由 ，同理可得 ，
又向量 在向量 上的投影向量的模为4，所以 ，
以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则 ，，
所以 ，
由 且 可得 ，
令 ，则由对勾函数单调性知，
当 时单调递减， 时单调递增，
故 ，由 知， ，
故 ，
故选：D
C综合素养
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与圆
交于 ， 两点，若存在直线 ，使得 ，则半径 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 中点为 ，则 ，如图，，
因为 ，所以 ，
因为 ，
，
所以 ，
即 ，所以 ，
当直线 过圆心时 最小，当直线 与 垂直时， 最大，
所以 ，所以 .
故选：C.
2．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中学校考阶段练习）已知半圆圆心为O，直径 ，C为半圆弧
上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)若 ，当y得最小值时，求点P的坐标及y的最小值．
【答案】(1) ， ，(2)最小值为 ，点P的坐标为
【详解】（1）因为半圆的直径 ，所以 ， ，
又 ， ，则 ，即 ．
（2）设 ，
由（1）知， ，
故 ，
∴ ，
又∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ，
此时点P的坐标为
3．（2023春·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满
足 ，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于点M，N．
(1)求证： ；
(2)若△ABC是边长为 的等边三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为D为BC的中点，所以 ，所以 ．
（2）设 ， ， ， ，
由M，O，N三点共线，得存在 ， ，使得 ．
由（1）可知 ，则有 ，
得 ，即 ．
因为 ， ，
所以
，
又因为 是边长为 的等边三角形，
所以 ，
令 ，因为 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ．
因此 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
的取值范围为 .
