重难点06 利用导数证明不等式（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 直接法证明不等式】..................................................................................................................................2
【题型2 移项构造函数证明不等式】......................................................................................................................3
【题型3 分拆函数法证明不等式】..........................................................................................................................4
【题型4 分析法证明不等式】..................................................................................................................................5
【题型5 放缩法证明不等式】..................................................................................................................................7
【题型6 指对同构】..................................................................................................................................................8
【题型7 隐零点法证明不等式】..............................................................................................................................9
【题型8 双变量不等式的证明】............................................................................................................................10
【题型9 函数与数列不等式综合证明问题】........................................................................................................11
【题型10 导数新定义的不等式证明问题】.........................................................................................................12
1、利用导数证明不等式
导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，导数中的不
等式证明常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多
样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果，
复习是要加强这方面的训练.
知识点
1
导数中的不等式证明的解题策略
1．导数中的不等式证明的解题策略
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的
函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在
(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
2．移项构造函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右
减
左
”的函数，利用导教
研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
3．分拆函数法证明不等式
(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递
的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)
恒成立.
(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，
与lnx 要分离，常构造
与lnx，
与
的
积、商形式.便于求导后找到极值点.
4．放缩后构造函数证明不等式
某
些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式
，
等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行
放缩，然后再构造函数进行证明.
知识点
2
指对同构
1．指对同构证明不等式
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性
构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速
度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
.
【题型1 直接法证明不等式】
【例1】（2025·河南·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−x
2−ax−1(a∈R)，且f (x)有两个极值点
x1, x2(x1< x2).
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：f (x2)<(1−ln2)
2.
【变式1-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数f ( x)=e
x−a x
2+ x , g( x)= x．
(1)当a=0时，证明：f ( x)有且仅有一个零点；
(2)若曲线y = f ( x)与y = g( x)相切．
（
）求
ⅰ
a；
（
）当
ⅱ
x>0时，证明：f ( x)≥g( x)．
【变式1-2】（2025·河南许昌·三模）已知函数f (x)=a x
2+(a−2) x−ln x.
(1)若a=1
求
①
f (x)的极小值；
证明：当
②
x>0时，f (x)> 1−2
x
1+2
x
；
(2)若f (x)的图象与直线y =kx −1切于点(
a
2 ,f(
a
2))
，求k的值.
【变式1-3】（2025·山东临沂·三模）已知f (x)=e
x，g(x)=ln x.
(1)证明：f (x)>g(x)+2；
(2)证明：函数f (x)与g(x)的图象有两条公切线.
【题型2 移项构造函数证明不等式】
【例2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数f (x)= 1
2 e
2 x+(a−2)e
x−2ax (a∈R)．
(1)当a=2时，求f (x)的单调区间；
(2)当a=0时，求证：对任意的x∈(0,+ ∞)，f (x)+ 4e
x>2 x
2+ 5
2
恒成立；
【变式2-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)= x
2
2 −4 x +aln x (a∈R)有两个极值点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)记两个极值点分别为x1
，x2
，证明：f (x1)+ f (x2)+10>lna.
【变式2-2】（2025·江西九江·三模）已知函数f ( x)=a x
2+(1−2a)x−ln x，其中a<0．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)当a=−2
3
时，证明：f ( x)−x ln x< 7 x
3 + 2
x −1．
【变式2-3】（2025·甘肃白银·三模）已知函数f (x)=ln x−x +a．
(1)若f (x)<0恒成立，求a的取值范围；
(2)若0<a≤1，证明：当x ≥1时，f (x)+ x ≤(x−1)e
x−a+1．
【题型3 分拆函数法证明不等式】
【例3】（2025·河北秦皇岛·三模）设函数f ( x)=( x−2)ln x +1．
(1)求f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)证明：f ( x)+e
x> x +1．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ax−ln x ,a∈R．
(1)若函数F (x)= f (x)−x
2有两个极值点，求a的取值范围；
(2)若曲线y = f (x)在点(
1
e ,f(
1
e))
处的切线与y轴垂直，求证：f (x)<e
x+ 1
e x
．
【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)= 1
2 e
2 x+(a−2)e
x−2ax．
(1)若曲线y = f (x)在(0,a−3
2)处的切线方程为4 ax +2 y +1=0，求a的值及f (x)的单调区间．
(2)若f (x)的极大值为f (ln2)，求a的取值范围．
(3)当a=0时，求证：f (x)+5e
x−5
2 > 3
2 x
2+ xln x．
【变式3-3】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数f (x)= x
2+ a
x
，g(x)=2ln x + 1
x
2．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)求函数g(x)的最小值；
(3)当a=2时，证明：f (x)ln x + 1
x
3 ≥1．
【题型4 分析法证明不等式】
【例4】（2025·福建厦门·三模）已知函数f (x)= 1
2 x
2−(a−2) x−2aln x，a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a>0时，证明：f (x)≥ln a−a
2+ 5
2
．
【变式4-1】（2025·河北·二模）已知函数f ( x)= ln x + a
x −1.
(1)当a=2时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)证明：当a∈(0,1)时，f ( x)> a
2 −1
2a
.
【变式4-2】（2025·河北邯郸·二模）已知函数f ( x)= ln x，g( x)= 3sin x
2+cos x
.
(1)讨论函数ℎ( x)=ax−f ( x)的单调性；
(2)证明：xf ( x)>g( x)−1.
【变式4-3】（2024·安徽安庆·三模）已知函数f (x)=(ln|x))
2−(x + 1
x)+2，记f
′ (x)是f (x)的导函数.
(1)求f
′(1)的值；
(2)求函数f (x)的单调区间；
(3)证明：当x>1时，(x−1)[e
−x+ x ln(1+ 1
x))>ln x⋅ln (x +1).
【题型5 放缩法证明不等式】
【例5】（2025·山东·模拟预测）已知函数f (x)=e
mx(x
2−3m+3
m
x + 2m
2+5m+3
m
2
)
，其中m≠0.
(1)求曲线y = f (x)在点(2,f (2))处切线的倾斜角；
(2)若函数f (x)的极小值小于0，求实数m的取值范围；
(3)证明：2e
x−2(x +1)ln x−x>0.
【变式5-1】（2025·四川成都·一模）已知函数f (x)= x
e
x .
(1)求f (x)的极值；
(2)若f (x)≤2kx + k恒成立，求k的取值范围；
(3)证明∑
i=1
n
i!
(i+1)
i+2 <e
8(e−1)
(n∈N
∗).
【变式5-2】（24-25 高二下·广东江门·期末）已知函数f (x)= x−ln (1+ x).
(1)求函数f (x)在原点处的切线方程；
(2)讨论函数z (x)= f (x)−1
2 m x
2(m∈R)的单调区间；
(3)证明：[1+(
1
2)
0
)×[1+2×(
1
2)
1
)×⋅⋅⋅×[1+n×(
1
2)
n−1
)<e
4.
【变式5-3】（24-25 高二下·浙江·期末）已知函数f (x)=2 x + a
e
x −1.
(1)判断f ( x)的单调性，并求出单调区间；
(2)当a>0时，若f ( x)≥−a+3恒成立.试求出a的取值范围；
(3)若a=2，x1=1，且xn+1= f (xn)，证明：
1
f (x1)⋅f (x2)
+
1
f (x2)⋅f (x3)
+⋯+
1
f (xn+1)⋅f (xn)
< e
4
.
【题型6 指对同构】
【例6】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数f (x)=ln x +ax +1,a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a≤2时，证明：f (x)
x
≤e
2 x．
【变式6-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数f ( x)=ln x + 2
x −a( x +1)(a∈R).
(1)当a=−1时，讨论f ( x)的单调性；
(2)若x1, x2(x1< x2)是f ( x)的两个极值点，证明：f (x2)−f (x1)<❑√
1
2a −4．
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）己知函数f (x)=e
x−e
−x−2ax (a∈R).
(1)当a=2时，求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若函数g(x)={
1, x =0
e
x−e
−x
2 x
, x≠0)
，求证：1≤g(x)≤e
x+e
−x
2
.
【变式6-3】（2024·湖北荆州·三模）已知函数f (x)= xe
x−a(ln x + x)，其中e是自然对数的底数.
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线的斜截式方程；
(2)当a=e时，求出函数f (x)的所有零点；
(3)证明：x
2e
x>(x +2)ln x +2sin x.
【题型7 隐零点法证明不等式】
【例7】（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知函数f (x)= x e
x−3e
x.
（1）求f (x)的极值；
（2）若g(x)= f
′ (x)−x + ln x在[
1
4 ,1)上的最大值为λ，求证：−6e
−3<f (λ)<−7 e
−4.
【变式7-1】（23-24 高三下·青海海南·开学考试）已知函数 f (x)=ae
x−1−x−1.
(1)讨论f ( x)的单调性;
(2)证明:当a≥1时， f (x)+ x−ln x ≥2a−2
a+1 .
【变式7-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)= x
e
x ，g(x)=ln x.
(1)求f (x)的极值；
(2)证明：xg(x)+2>e
x f (x)−2
x
.
【变式7-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数f (x)=ln x +ax +1,a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a≤2时，证明：f (x)
x
≤e
2 x．
【题型8 双变量不等式的证明】
【例8】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数f ( x)=( x +m)ln x，当x =1时，f ( x)的切线斜率k =3．
(1)求f ( x)的单调区间；
(2)已知x ≥y ≥1
2
，若f ( x)+ f ( y)
ln x + ln y =2，求证：若t ∈[1,2]，则2 x +ty ∈[3,4 ]．
【变式8-1】（24-25 高三下·江西·阶段练习）已知函数f (x)= xln x−a x
2−x +a(a∈R).
(1)当a=0时，求曲线y = f (x)在点(e,f (e))处的切线方程；
(2)当a=1时，求f (x)的零点个数；
(3)若f (x)有两个极值点x1, x2(x1< x2)，证明：当λ≥1时，ln x1+ λln x2>1+ λ.
【变式8-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数f (x)= xe
x，g( x)= ln x + x.
(1)求函数g(x)在(1, g(1))处的切线方程；
(2)若ℎ(x)= f (x)−ag(x)，
（i）当a=1时，求函数ℎ(x)的最小值；
（ii）若ℎ(x)=0有两个实根x1，x2，且x1≠x2，证明：e
x1+ x2−2>
1
x1 x2
.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ax−ln x
x
，a>0．
(1)若f (x)存在零点，求a 的取值范围；
(2)若x1
，x2
为f (x)的零点，且x1< x2
，证明：a(x1+ x2)
2>2．
【题型9 函数与数列不等式综合证明问题】
【例9】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数f (x)=kx −ln(x +1).
(1)证明：当k =1时，f (x)≥0恒成立；
(2)求函数f (x)的单调区间；
(3)设数列an=
1
nln(n+1)
(n∈N
*)，{an)的前n项和为Sn，证明：Sn>
n
n+1 (n∈N
*).
【变式9-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数f (x)= xe
x−1−a．
(1)若a∈R，讨论f (x)的零点的个数；
(2)若a为正整数n，记此时f (x)的唯一零点为xn，证明：
（i）数列{xn)是递增数列；
（ii）2(❑√n+1−1)< 1
x1
+ 1
x2
+⋯+ 1
xn
≤1
2
(n+1+lnn)．
【变式9-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数f (x)=ln x + a
x −1在(0,+∞)上的最小值为0
(1)求实数a的值：
(2)对任意的n∈N
*，数列{an)满足an+1= f (an)
3
+1
，且a1= 4
3
，证明：当an
大于1 时，an+1
也大于1：
(3)在（2）的条件下，若Sn为数列{an)的前n项和，求证：Sn<n+ 1
2
【变式9-3】（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)=ln(x +1)−ax
x +1
，a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a= 1
2
时，正项数列{an)满足：a1=1，an+1= f (an)．
求证：
①
−an+1⋅an<2an+1−an<0；
求证：当
②
n≥2时，
1
2
n−1
<an< 1
2
n−1．
【题型10 导数新定义的不等式证明问题】
【例10】（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的，用有理多项式近似特定函
•
数的方法.给定两个正整数m,n，函数f (x)在x =0处的[m,n)阶帕德近似定义为：R (x)= Pm(x)
Qn(x)
，其中
Pm(x)和Qn(x)分别是m和n次多项式，且满足f
′ (0)= R
′ (0), f
″ (0)= R
″ (0),
f
′ ′ ′ (0)= R
′ ′ ′ (0),⋯,f
(n)(0)= R
(n)(0).其中f
″ (x)=[f
′ (x))
' ,f
′ ′ ′ (x)=[f
″ (x))
' ,f
(4)(x)=[f
′ ′ ′ (x))
' ,⋯,f
(n)(x)为
f
(n−1)(x)的导数.已知f (x)=ln(x +1)在x =0处的[1,1)阶帕德近似为R (x)=
ax
1+bx
.
(1)求实数a,b的值，利用f (x)的[1,1)阶帕德近似估计ln1.2的近似值（结果保留3 位有效数字）；
(2)当−1< x ≤0时，f (x)≤kR (x)恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：当x>0时，x
x> 11
16
.
【变式10-1】（2025·上海宝山·二模）定义在D上的可导函数y = f ( x)，集合
A(k ,m)={f (x)| F (xi))=k , xi∈D , i=1,2,⋯,m, m为正整数}，其中F (x)= f (x)+ f
′ (x)称为f (x)的自和
函数，xi称为y = f (x)的固着点. 已知f (x)=ae
x+bx +csin x (a,b,c∈R).
(1)若a=c =0,b=2, D =R，f (x)∈A(1,m)
，求m的值及y = f ( x)的固着点；
(2)若a=0, b=1, c =1, D =[ s,t ] (s>0)，F( x)是f ( x)的自和函数，且F( x)在D上是严格增函数，求
t −s的最大值；
(3)若b=−1, c =0, D =(0,+∞)，f ( x)∈A(0,1)
，且t是y = f ( x)的固着点，求a的取值范围，并证明：
1
2a <e
t< 1
a
2.
【变式10-2】（2025·河南·二模）设g(x)=ax ln x +b−x
2(a,b∈R)，定义f (x)= g(x)
x +t
为g(x)的“N (t )函
数”.
(1)设f (x)为g(x)的“N (1)函数”，若a=1，b=−2，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)设f (x)为g(x)的“N (0)函数”.
（
）若
ⅰ
x =1是f (x)的极小值点，求b的取值范围；
（
）若
ⅱ
a=2，方程f
′ (x)=0有两个根x1，x2，且x1< x2，求证：f (x2)< 2
3 b+2ln2−2.
【变式10-3】（24-25 高三上·上海·期中）定义：如果函数y = f (x)在定义域内给定区间[a,b)上存在实数
x0(a< x0<b)，满足f (x0)= f (b)−f (a)
b−a
，那么称函数y = f (x)是区间[a,b)上的“平均值函数”，x0是它的
一个均值点.例如y =|x)是区间[−2,2)上的“平均值函数”，0 是它的均值点.
(1)已知函数y = f 1(x)、y = f 2(x)，判断f 1(x)= x
4、f 2(x)=sin x−1是否为区间[−π
2 , π
2)上的“平均值函
数”，并说明理由；
(2)设g(x)=k x
2+ x−4是区间[−2,t )上的“平均值函数”，1 是函数y = g(x)的一个均值点，求所有满足条
件的整数数对(k ,t )；
(3)若ℎ(x)=ln x是区间[a,b)(1≤a<b)上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，求证：ln x0<
1
❑√ab
.
一、单选题
1．（2025·河南·二模）已知a=e
sin1−1，b=sin1，则（ ）
A．1
2 <b<1<a
B．1
2 <a<b<1
C．1
2 <b<a<1
D．b< 1
2 <a<1
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知a= ln 6
5 ,b= 1
6 ,c = 1
7 e
1
7则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
3．（2024·四川南充·模拟预测）设a>0，b>0，且a+b=1，则下列结论正确的个数为（ ）
①log2a+ log2b≥−2 ②2
a+2
b≥2❑√2 ③a+ ln b<0
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（2024·四川南充·模拟预测）设a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论正确的个数为（ ）
①log2a+ log2b≥−2 ②2
a+2
b≥2❑√2 ③a+ ln b<0 ④sin asin b< 1
4
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=ln x +1−ax有两个零点x1, x2，且x1< x2，则下列命题正
确的是（ ）
A．a>1
B．x1+ x2< 2
a
C．x1⋅x2<1
D．x2−x1> 1
a −1
6．（2024·安徽·三模）已知实数x1, x2, x3满足
x1
2−x1
=e
x2
2 −1=
x3
❑√1+ x3+1 = 1
20
，则（ ）
A．x1< x2< x3
B．x1< x3< x2
C．x2< x3< x1
D．x2< x1< x3
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知0< x1< x2<1，下列不等式恒成立的是（ ）
A．x2e
x1< x1e
x2
B．x2ln x1> x1ln x2
C．x1ln x1< x2ln x2
D．e
x1>ln x1
8．（2024·四川泸州·三模）已知x>0，e
x+ ln y =1，给出下列不等式
①x + ln y <0；②e
x+ y >2；③ln x +e
y<0；④x + y >1
其中一定成立的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．cos0.1<10sin 0.1
B．ln3>ln2+ 1
2
C．ln(1+ 1
π)>1
π+1
D．ln 3
2 < 5
12
10．（2025·湖北·模拟预测）若0<a<b<1，则（ ）
A．a
b > a−1
b−1
B．a+lnb>b+lna
C．2
a+2
b>2
a+b
D．a⋅sinb>b⋅sina
11．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)= x
aln x，则（ ）
A．当a=1时，f (x)≥−1
e
B．当a>0时，f (x)≥−a
e
C．当a=1时，f (x)≥x−1
D．当a>0时，f (x)≥x
a−1
a
三、填空题
12．（24-25 高二下·云南大理·期中）用不等号“<”将❑√e−1，1
2
，sinπ
7
按从小到大排序为 .
13．（24-25 高二下·江苏徐州·期末）若实数m,n满足ln m≥m
n +ln n
e
，则m
n = ．
14．（24-25 高二下·北京海淀·期中）已知函数f ( x)= ln x
x ,g( x)= x
e
x ，存在x1∈(0,+∞), x2∈R，使得
f (x1)= g(x2)=k成立.给出下列四个结论:
当
①
k >0时，x1+ x2>1; ②当k <0时，x2
x1
=k;
当
③
k >0时，2< x1+e
x2<2e; ④当k <0时，x1+ x2<1.
其中所有正确结论的序号是
.
四、解答题
15．（2025·山东·模拟预测）已知函数f (x)=(x +a)e
x−b，曲线y = f (x)在(1,f (1))处的切线方程为
y =2 x−1．
(1)求实数a,b的值
(2)证明：f (x)>ln2 x．
16．（2025·海南·模拟预测）已知函数f ( x)=(e
a−x+1) x ,a∈R．
(1)当a=2时，求f ( x)的单调区间与极值点；
(2)已知f ( x)有两个极值点x1<2< x2，证明：x1+ x2>3．
17．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数f (x)=2ln x−x + a
x
(a>0).
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)求证：1+ 1
2 + 1
3 +⋯+ 1
n >ln(n+1)+
n
2(n+1)
(n∈N
*).
18．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数f (x)=aln x + x−❑√x ,g(x)=e
❑√x−x
ae
x(a∈R).
(1)若a=−1
2
，求f (x)的极值；
(2)证明：对于满足不等式g(x0)<f (x0)的任意x0
，均有f (x0)>0.
19．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数f (x)=ax−e
−x，g(x)= x
2+ xln x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：g(x)>−5
16
；
(3)若g(x)≥f (x)，求a的取值范围．
