重难点28：解三角形之基础方法技巧类题
型归纳（九大基础题型总结）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型01、解三角形之正弦定理.......................................................................3
题型02、解三角形之余弦定理.......................................................................4
题型03、解三角形之判断三角形解的个数...................................................5
题型04、解三角形之判断三角形形状...........................................................6
题型05、解三角形之求周长...........................................................................6
题型06、解三角形之求面积...........................................................................7
题型07、解三角形之三角恒等变换...............................................................8
题型08、解三角形之正余弦定理综合...........................................................6
题型09、解三角形之实际应用问题...............................................................7
题型精析・方法突破提能力................................................................................9
知识点
1 ：正弦定理
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则：
变形1：
，
，
；
，
，
；
变形2：
知识点
2 ：余弦定理
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则：
知识网络・核心根基深扎牢
；
；
．
变形：
；
；
．
知识点
3 ：面积公式
面积1：
面积2：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
知识点
4 ：三角形内角和与正切恒等式
同理有：
，
．
；
正切恒等式：
；
知识点
4 ：射影定理
在
中，
；
；
．
知识点
5 ：三角形解的个数问题
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
知识点
6 ：三角形解题方法
若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
代数变形或者三角恒等变换前置；
含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
．
题型01 解三角形之正弦定理
解三角形之正弦定理的解题策略
1.判断题目已知元素（如两角一边、两边及其中一边对角），确定适用正弦定理
（
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2 R ），明确待求量，标注已知边、角对应关系。
2.代入公式计算并验证：将已知边、角代入定理公式，求解待求边或角；若遇“两边及对
角”情况，需结合三角形内角和、大边对大角验证解的合理性，最终确定结果。
1．在△ABC中，若A + B =2C，a=1，c = ❑√3，则B =（ ）
A．π
2
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
2．在△ABC中，已知b=2❑√3，A = 45°，C =75°，则c =（ ）
A．❑√3−1
B．❑√6−❑√2
C．1+ ❑√3
D．❑√2+ ❑√6
3．在锐角△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c，已知2cos A −3cos2 A =3.
(1)求cos A的值；
(2)若a=3,c =2，求sin(2 A −C )的值.
4．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2asinC =c．
(1)求A；
(2)求2❑√3sin B−2sinC的取值范围．
题型02 解三角形之余弦定理
解三角形之余弦定理的解题策略
1.分析已知条件匹配定理：判断题目已知元素（如两边及夹角、三边），确定适用余弦定
实战演练・能力进阶攀高峰
理（a
2=b
2+c
2−2bc cos A等），明确待求量，标注边、角对应关系。
2.代入公式计算并验证：将已知边、角代入定理公式，求解待求边或角；若求角，结合反
三角函数及三角形内角和范围定角，验证结果符合三角形边角关系后确定。
5．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c．若a=7,b=8,cosC = 13
14
，则A =
（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
6．在△ABC中，BC =7 , AC =3, AB =5，则A =（ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
【答案】C
【分析】利用余弦定理即可直接求解.
【详解】由余弦定理得cos∠BAC = A C
2+ A B
2−BC
2
2 AC ⋅AB
= 9+25−49
30
=−1
2
．
因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC =120°．
故选：C
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
cos A sinC +2sin A cosC −sin B =2sin BcosC.
(1)若2sin B =1，求sinC；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c =3，求cosC的取值范围.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若❑√3bcosC + ❑√3c cos B =
a
tan A
.
(1)求角A；
(2)若2a=b+c，且bc =2+ ❑√3，求a.
题型03 解三角形之判断三角形解的个数
解三角形之判断三角形解的个数的解题策略
1.明确已知条件类型：重点针对“两边及其中一边对角（SSA）”类型，确定已知边a、b
及对角A ，明确a与b 的大小关系及A是锐角、直角还是钝角。
2.结合定理判断解的个数：用正弦定理求sin B = bsin A
a
，结合a与b、a与bsin A的大
小关系及A 的类型，判断sin B是否合理，进而确定无解、一解或两解。
9．在△ABC中，若AC = ❑√6，C =π
4
，AB =2，则△ABC解的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．不确定
10．在△ABC中，内角A , B , C的对边分别为a, b, c，分别根据下列条件解三角形，其
中有两解的是（ ）
A．a=5, A = 40° , B =75°
B．a= 4 , b=5, c =6
C．a=3, b= 4 , A =30°
D．a=2, c = ❑√2, C =60°
11．△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若b=3，tan A =
❑√14
2
时，当角C 有
两解时，边a 的取值范围为（ ）
A．(0,❑√7)
B．(❑√7 ,3)
C．(❑√7 ,+ ∞)
D．(3,+∞)
12．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．a=72，b=50，A =135°
B．a=20，b= 40，A =31°
C．a=30，b=20 ❑√3，A =120°
D．a=8，b=14，A =30°
题型04 解三角形之判断三角形形状
解三角形之判断三角形形状的解题策略
1.整理已知条件定转化方向：明确已知边、角关系（如三边、两边及夹角、三角等），确
定用边化角或角化边转化，边化角用正弦定理，角化边用正弦/余弦定理。
2.转化后分析形状特征：边化角后看角是否相等或有直角（如A=B 为等腰，A+B=C 为直
角）；角化边后看边是否相等或满足勾股定理，进而判断等腰、直角等形状。
13．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
cos
2 A +sin
2B−cos
2C −❑√3sin BsinC =0，sin B+cosC = ❑√3，则△ABC的形状为
（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
14．在△ABC中，角A , B , C所对的边分别为a, b, c，已知a−c cos B =b−c cos A，且
c
2=a
2+b
2−ab，则△ABC的形状为（ ）
A．钝角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
15．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a,b,c，且a,b,c成等比数列，设△ABC的
面积为S，若ac cos B = 2❑√3
3
S，则△ABC的形状为（ ）．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
16．在△ABC中，sin A =sinC −sin B
cosB−cosC
，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
题型05 解三角形之求周长
解三角形之求周长的解题策略
1.明确已知条件求未知边：根据已知边、角关系（如两角一边、两边及夹角等），选择正
弦定理或余弦定理，计算出三角形中未知的边（若有多个未知边则依次求解）。
2.汇总三边计算周长：收集已求得的所有边的长度，确认各边长度符合三角形三边关系
（任意两边和大于第三边），将三边长度相加，得到三角形的周长。
17．已知△ABC中，a,b,c分别为角A ,B ,C的对边，已知B =π
6 ,c =b(1+2cos A),a=1，
则△ABC的周长为（ ）
A．1+ ❑√3
B．2+ ❑√3
2
C．3+ ❑√3
D．4+ ❑√3
4
18．已知△ABC中，角A，B，C 与sin A，sin B，sin ( A + B)分别成等差数列，若△ABC
外接圆的面积为4 π，则△ABC的周长为（ ）
A．6 ❑√3
B．6
C．2❑√3+ 4
D．4 ❑√3+2
19．如图AC为平面四边形ABCD中∠BAD的角平分线，∠BAD =2π
3
，△ABC的面积
为8 ❑√3，AC =8.
(1)求边BC 的长度；
(2)若△ACD的外接圆直径2 R = 4 ❑√7，求△ACD 的周长.
20．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知a
2+b
2−c
2=ab,C + B =3 A .
(1)求B;
(2)C的角平分线交AB于点D，若CD =2，求△BCD的周长．
题型06 解三角形之求面积
解三角形之求面积的解题策略
1.分析已知条件选面积公式：已知两边及夹角用S = 1
2 absinC；已知三边用海伦公式；已
知一边及对应高用S = 1
2 ah，明确需先求的未知量。
2.求未知量并计算面积：用正弦/余弦定理求所需的边、角或高，代入选定公式计算；结合
三角形边角关系验证数据合理性，最终确定面积结果。
21．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径为1，
且a
2+c
2−b
2= ❑√2ac ,(1+ ❑√2sin A)(1+cos2C)=sin2C (1−❑√2cos A)，则△ABC的
面积是（ ）
A．
❑√2
2
B．
❑√3
2
C．1
D．2
22．在△ABC中，已知sin A + ❑√3cos A =2，a=2，❑√2bsinC =c sin 2B，则△ABC的面
积是（ ）
A．❑√3+1
B．2❑√3+2
C．❑√3−1
D．2❑√3−2
【答案】A
23．已知△ABC 的三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，2 A = B+C且b=8.
(1)若cosC = 1
7
，求a；
(2)若△ABC的周长为4c，求△ABC的面积.
24．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A +C
2
=sin(π−B)．
(1)求B；
(2)若sinC = 3
2 sin A，点B到直线AC的距离为3，求△ABC的面积．
题型07 解三角形之三角恒等变换
解三角形之三角恒等变换的解题策略
1.分析条件定变换方向：明确已知角、边及待求量，判断需用的恒等变换公式（如和差、
二倍角、诱导公式），确定将已知角转化为待求角或统一角的思路。
2.代入公式变换并求解：用选定公式化简已知条件，结合正弦/余弦定理关联边与角，计算
待求量；验证结果符合三角形内角和、边角关系，确定最终答案。
25．在△ABC中，已知AB =5, BC =3, B =2 A，则边AC的长为（ ）
A．3 ❑√3
B．2❑√3
C．3 ❑√6
D．2❑√6
26．三角形ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且a=6,b= 4 ,C =2B，则其面积为
（ ）
A．5 ❑√10
2
B．3 ❑√10
C．5 ❑√15
2
D．3 ❑√15
27．在△ABC中，cos
2 B
2 = a+c
2c
，则△ABC为（ ）三角形
A．正
B．直角
C．等腰直角
D．等腰
28．在△ABC中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c.若2acos
2 B
2 =a+c，则该三角形
一定是（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
题型08 解三角形之正余弦定理综合
解三角形之正余弦定理综合的解题策略
1.分析条件选定理组合：明确已知（如一边两角+两边一角）与待求量，两角一边先正弦定
理求边，两边及夹角先余弦定理求边，确定定理使用顺序。
2.交替用定理求解验证：先用选定定理求中间量，再换另一定理求剩余量；结合三角形内
角和、大边对大角验证，确保边与角对应合理，得最终结果。
29．已知a, b, c分别为△ABC三个内角A , B , C的对边，且
acosC + ❑√3asinC −b−c =0, a=2，△ABC的面积为❑√3，则（ ）
A．b=1
B．b=2❑√3
C．b=3
D．b=2
30．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a
2+ 1
3 b
2=c
2，且
sin A ∈[
❑√2
2 ,
❑√6
3 ]，则tan B的取值范围为（ ）
A．[ 1
2 ,2]
B．[ ❑√2,3]
C．[1,2]
D．[ ❑√3,2❑√3]
31．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2c cosC =acos B+bcos A.
(1)求C.
(2)若D在AB 上，CD 平分∠ACB.
（i）若b=2, AD = 2❑√3
3
，求BD；
（ii）若E在AC 上，BE 平分∠ABC，且BC + BD = BE+CE，求∠ABC.
32．锐角△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，且(a
2−c
2)sinC =(bc−c
2)sin B．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的周长为6，求a的取值范围．
题型09 解三角形之实际应用问题
解三角形之实际应用问题的解题策略
1.建模转化为解三角形问题：梳理实际场景（如测量、航海）中的距离、角度条件，画出
示意图，将实际量对应为三角形的边和角，明确已知量与待求量。
2.选定理求解并还原实际意义：根据已知条件选正弦或余弦定理计算，结合实际验证结果
合理性，将三角形的解转化为实际问题的答案（如距离、高度）。
33．如图，游客从其旅游景区的景点A处到C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，
另一种先从A沿紧道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处到
C处，甲沿AC匀速步行，速度60m/min，在甲出发3min后，乙从A乘缆车到B，在B处
停留2min，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为150 m / min，山路AC
长为1500 m，经测量cos A = 4
5
，cosC = 5
13
.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过4 min，乙步行的速度应该控制在什么
范围内？
34．如图，A，B是海上相距30+10 ❑√3海里的两个观测塔，B位于A的正南方向.A观测塔
发现其南偏东30
∘方向C处有一艘轮船发出求救信号，同时，B观测塔也发现其北偏东45
∘
方向上C处发出求救信号.此时位于A观测塔南偏西30
∘方向且与A相距40 ❑√3海里的D处有
一艘救援船，其航行的最大速度为30 海里/时.
(1)求C处到A观测塔的距离；
(2)D处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往C处救援？至少航行多长时间
才能到达C处？
35．镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子
铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心Z正东方向A处测得铜像顶的仰角为30°，从A处沿
直线走38 米到达Z南偏东60°的B处，测得铜像顶的仰角为45°，点A，B，Z在同一平面
内．
(1)求铜像连同底座的高度LZ；
(2)若铜像底座SZ的高度为3 米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的
距离为1.5 米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心Z多远处？
(3)在（2）的条件下，若组员甲在△ABZ区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长
度为多少？
（参考数据：❑√219≈14.8，π≈3.14，所有答案精确到小数点后1 位）
36．在地平面上有一竖直的旗杆OP（O在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取
一基线AB，测得其长为20m.在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，
又测得∠AOB =30°.
(1)求旗杆的高度h；
(2)求点A到平面POB的距离.
．在△ABC中，AC = ❑√3,BC =2,B =π
3 ,∠B的平分线交AC于D，则BD =（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√3
3
C．3 ❑√3
2
D．2❑√3
3
2．已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且a=2,c =3,cosB = 1
3
，则b=
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若c = 4 ❑√3，b=12，C =π
6
，则此三角
形（ ）
A．无解
B．有两解
C．有一解
D．解的个数不确定
4．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ）
A．a=20，b=11，A =30°，有两解
B．c =2，b= ❑√2，B =30°，有两解
C．a=8，b=16，A =30°，有两解D．b=2，c =30，A = 45°，无解
题型精析・方法突破提能力
5．在△ABC中，已知2sin A sinC (cosB−1)+sin
2B =0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．锐角三角形
6．已知△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c ,下列说法正确的是（ ）
A．若acos A =bcos B，则△ABC是等腰三角形
B．若B =60
°,b
2=ac，则△ABC是直角三角形
C．若c−a
2c =sin
2 B
2
，则△ABC是直角三角形
D．“
a
cos A =
b
cos B
”是“△ABC是等边三角形”的充分不必要条件
7．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知a=2，BC边上的高为1，
b
2+c
2=6，则△ABC的周长为（ ）
A．4
B．1+ ❑√5
C．2+2❑√5
D．3+ ❑√5
8．如图，已知BC =3，D，E为△ABC边BC上的两点，且满足∠BAD =∠CAE，
BD⋅BE
CD⋅CE = 1
4 ．则当∠ACB取最大值时，△ABC的面积等于（ ）
A．2
3
❑√3
B．❑√3
C．3 ❑√3
2
D．2❑√3
9．在△ABC中，已知|⃗AB+⃗AC |=|⃗AB−⃗AC |，且sin A =2sin BcosC，则△ABC是
（ ）
A．等腰（非直角）三角形
B．直角（非等腰）三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
10．在等边三角形ABC中，D、E、F 分别在边AB、BC 、AC上，且
DE = ❑√3, DF =2,∠≝=90
°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．7 ❑√3
3
B．2❑√3
C．7 ❑√3
D．6 ❑√3
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c =6，sin B
sin A −2sin A
sin B =1，
则当△ABC面积取最大值时，cosC =（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
12．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，其中a=2，且满足
asin B =bcos(A −π
6 ).
(1)求角A；
(2)求△ABC周长的取值范围；
(3)若△ABC为锐角三角形，求c−2b的取值范围．
13．已知△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
asin A + ❑√3bsinC =bsin B+csinC．
(1)求A；
(2)设△ABC的面积为2❑√3, AC边上的高为❑√3，求a．
14．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
cos A =
❑√5
5 ,2❑√5cosC + ❑√5sinC = 4．
(1)求sin B；
(2)若a=2,b= 4cosC，求△ABC的周长．
15．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且B≠2C，a
c +cos A
cosC =2
(1)证明：A =C；
(2)若b=3，c =2，求△ABC的面积.
16．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a,b,c，若a=2
(1)若2bsinC = ❑√3acosB+ ❑√3bcos A，求角B；
(2)若b+c =1+ ❑√3，S△ABC =
❑√3
2
，判断△ABC的形状；
(3)在（1）条件下，若角A为钝角，求△ABC面积的取值范围.
17．如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽
毛伞.如图2，D、C两处观测点与树干底部点B在同一水平面内，树干AB垂直于水平面，
某同学在地面D处，测得树干顶端A处的仰角为30
∘，D、C两处相距20米，
❑√3sin ∠DBC =sin ∠DCB，❑√3 BC = BD.
(1)求观测点D到树干底部点B的距离BD的长度；
(2)求在树干顶端A处观测到C、D两点的夹角∠DAC的余弦值.
18．如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该
渔轮在方位角为45°、距离为10nmile 的C 处，并测得该渔轮正沿方位角为105°的方向，以
9nmile/h 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21nmile/h 的速度前去营救．求舰艇的航向
和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．
