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重难点培优06 解三角形中几个秒杀公式（射影定理、张角
定理、正弦平方差、正切恒等式、托勒密定理）
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 射影定理（★★★★）....................................................................................................................4
题型二 张角定理（★★★）........................................................................................................................4
题型三 正弦平方差公式（★★★★）........................................................................................................5
题型四 正切恒等式（★★★★）................................................................................................................5
题型五 托勒密定理（★★）........................................................................................................................5
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................6
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................6
检测Ⅱ组 创新能力提升................................................................................................................................9
1、射影定理
a=bcosC+ccosB ，b=acosC+ccos A ，c=acosB+bcos A
将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用.
2、张角定理
在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
为
上一点（如图），且
，
，则有
．
证明：因为
，所以
，于是等式两边同除以
得
．
3、张角定理与角平分线的长
特别地，如果在
中，角
，
所对的边分别为
，，
的平分线交
于点
，根据张角定
理就会有
，则
化简得到
，即
注：张角定理在在解答题中使用之前需要推
导．
4、正弦平方差公式
证明：
5、正切恒等式
当
时，
.
证明：
，且
则
6、托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
如下图 ,若四边形 ABCD 内接于圆 O ,则有 |AB|∙|CD|+|AD|∙|BC|=|AC|∙|BD| 证明: 利用余弦定理即可
∵ 四边形 ABCD 内接于圆 O,
∴∠BAD+∠BCD =π
∴cos∠BAD+cos∠BCD =0
在 △ABD 中,由余弦定理得
|BD|
2=|AB|
2+|AD|
2
2
−∙|AB|∙|AD|∙cos∠BAD（1）
在 △CBD 中,由余弦定理得
|BD|
2=|CB|
2+|CD|
2
2
−∙|CB|∙|CD|∙cos∠BCD（2）
∴（1）×|CB|∙|CD|+（2）×|AB|∙|AD| 得
|BD|
2=|AB|∙|AD|(|CB|
2+|CD|
2)+|CB|∙|CD|(|AB|
2+|AD|
2)
|AB|∙|AD|+|CB|∙|CD|
由于|AB|∙|AD|(|CB|
2+|CD|
2)+|CB|∙|CD|(|AB|
2+|AD|
2)=(|AB||CB|+|AD||CD|)(|CB||AD|+|CD||AB|)
所以|BD|
2= (|AB||CB|+|AD||CD|)(|CB||AD|+|CD||AB|)
|AB|∙|AD|+|CB|∙|CD|
同理|AC|
2= (|AB||AD|+|CB||CD|)(|CB||AD|+|CD||AB|)
|AB||CB|+|AD||CD|
∴|AC|
2|BD|
2=(|CB||AD|+|CD||AB|)
2
即 |AB|∙|CD|+|AD|∙|BC|=|AC|∙|BD|
广义托勒密定理: 在四边形 ABCD 内,有 |AB|∙|CD|+|AD|∙|BC|≥|AC|∙|BD| , 并且仅当四边形 ABCD 内接
于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。
题型
一
射影定理
1．在△ABC 中，内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，且满足
，则
的大小
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，S 表示
的面积，若
，
，则
（ ）
A．30°
B．90°
C．45°
D．60°
3．（24-25 高三下·广东东莞·月考）在
中，
（
，
，分别为角
，
，
的对
边），则
是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
4．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，则tanA 的最大值为
.
题型二 张角定理
1．在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为
、b、c，已知点D 在BC 边上，AD AC
⊥
，sin BAC
∠
， AB
，AD=3，则CD 长度为_____________.
2．在
中，角
所对的边分别为
，
是
的角平分线，若
，
，则
的最小值为_____________.
3．在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点D，且
，则
的最小值为 ．
题型三 正弦平方差公式
1．设
分别为
的内角
的对边，已知
，且
，则
的大小为
_____________.
2．在
中，角
的对边分别为
，已知
，则
的大小为
_____________.
3．在
中，角
所对的边分别是
.
，则
的范围是_______.
题型四 正切恒等式
1．在
中，若
，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.
2．在
中，若
，则
=_______.
3．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是______.
4．在锐角
中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若
，
则
的最小值是（ ）
A.4 B.
C.
D.8
题型五 托勒密定理
1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内
接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其
意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和
差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD 的四个顶点
在同一个圆的圆周上，AC、BD 是其两条
对角线，，且
为正三角形，则四边形ABCD 的面
积为（ ）
A．
B．16
C．
D．12
2．平面四边形 ABCD 中, BC=CD=2,AB
BD =3
4 ,∠ABD=90
∘ ,则 AC 的最大值为______.
3．如图 ,在平面四边形 ABCD 中, AB=1,BC= ❑√3,AC⊥CD,CD= ❑√3AC ,当∠ABC 变化时,对角线 BD
的最大值为______.
4 ．已知平面四边形 ABCD 是由△ABC与等腰直角△ACD拼接而成, 其中
∠ACD=π
2 ,AC=CD,AB=
❑√3
5
BC=1 ,则当点B到点D 的距离最大时,角B的大小______.
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．在
中，
，则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．在
中，角
所对的边分别为
，表示
的面积，若
，
，则
（ ）
A．90
B．60
C．45
D．30
3．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
4．（多选题）已知
为锐角三角形，且
，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为4
5．函数
的最大值为______________.
6．在
中，角
的对边分别为
，若
的大小成等比数列，且
，则角
B 的弧度数等于 .
7．在
中，内角
，
，
的对边分别是
，
，，
，
，若
，
则
的面积为 .
8．已知AD 是
的
角平分线，
，
，
，则
.
9．若
，则
的范围为 .
10．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，若△ABC 的外接圆的圆心为
，且满足
，则
的值为 ．
11．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边
形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形
的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边
形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形
中，若
，
，
，求四边形
面积取
得最大值时角
的大小为 ，并求出此时四边形
的面积为 ．
12．（1）如图，点
在线段
上，直线
外一点
对线段
的张角分别为
，即
.求证：
.
（2）在
中，
为线段
上一点，
，其中
，试用
表示线段
的长.
13．如图，已知△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为
、b、c，且
，点M 在线段AB 上，且
∠ACM=∠BCM，
，则cos∠BCM 的值为多少？
14．如图，半圆
的直径为4cm，
为直径延长线上的点，
cm，
为半圆上任意一点，以
为一
边作等边三角形
．设
，问：
(1)当
为何值时，四边形
的面积最大，并求出面积的最大值；
(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸
四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，
则当线段
的长取最大值时，求
；
(3)求
面积的最大值．
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．
在
中，若
，求
的取值范围.
2．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的
乘积.已知凸四边形
的四个顶点在同一个圆的圆周上，
是其两条对角线.
(1)若
为凸四边形
的外接圆直径，
，
，
，求
与
的长度；
(2)若
，且
为正三角形，求
面积的最大值；
(3)已知
，且
，
，求
的最大值
3．古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于
的四边形进行研究，终于有重大发
现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且
若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形
中，
(1)若
，
，(图1)，求线段
长度的最大值；
(2)若
，
，
，（图2），求四边形
面积取得最大值时角A 的余弦值，并
求出四边形
面积的最大值．
