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专题03 指数对数函数通关指南（考点 + 典例 + 考场实战）
一、考点总结与提升
1.指数函数图象与性质.
a>1
0<a<1
图象
图像特征
在
轴的上方，过定点
当
逐渐增大时，图象逐渐上升
当
逐渐增大时，图象逐渐下降
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
范围
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
2.对数的概念与性质
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x＝logaN，其中a
叫做对数的底数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式。
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)；
①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1).
2.对数的的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n R)
∈
3.换底公式
（1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
（2）换底公式的三个重要结论
log
①
ab＝； ②logambn＝logab； ③logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
图象
a＞1
0＜a＜1
1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1 时，y＜0；
当x＞1 时，y＞0
当0＜x＜1 时，y＞0；
当x＞1 时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
二、典例精讲
核心考点01.指数函数图象与性质.
例1．已知函数
则下列选项正确的是（ ）
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数
的值域为
C．方程
有两个不等的实数根
D．不等式
解集为
解析：
画出
的图象，如上图所示.
2
令
，解得
或
，
所以
的图象与
轴交于
.
对于A，由图象可知，函数
在区间
上不单调，A 错；
对于B，由图象可知，函数
的值域为
，B 对；
对于C，
，
，
由图象可知，方程
，即
有两个不等的实数根，C 对；
对于D，由图象可知，当
时，
，
所以，由
可得
.
令
，解得
或
；
令
，解得
或
，
所以，由图象可知，不等式
解集为
，D 错.
故选：BC
例2．若函数
，在R 上为严格增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（2，3） C．
D．
解析：
在
上为严格增函数，
，解得
.即实数
的取值范围是
3
.故选：D
例3．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为
，所以
，定义域为
；
因为
，所以
，故
，所以
为奇函数，排除B，
当
趋向于正无穷大时，
、
均趋向于正无穷大，但随
变大，
的增速比
快，
所以
趋向于，排除D，
由
，
，则
，排除C.
故选：A.
核心考点02.指数函数图象变换与应用
例4．函数
（
）的图象可能是（ ）
A．
B．
4
C．
D．
解析：当
时，
，因此
，且函数
在
上单调递增，故A、B
均不符合；
当
时，
，因此
，且函数
在
上单调递减，故C 符合，D 不
符合．故选：C．
例5．已知函数f ( x)={
e
x，x ≤0，
ln x，x>0，g( x)= f ( x)+ x +a．若g（x）存在2 个零点，则a 的取值范围
是
A．[–1，0）
B．[0，+∞）C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
解析：画出函数f ( x)的图像，y =e
x在y 轴右侧的去掉，再画出直线y =−x，之后上下移动，可以发
现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的
图像有两个交点，即方程f (x)=−x−a有两个解，也就是函数g( x)有两个零点，此时满足−a≤1，即
a≥−1，故选C.
例6． 已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为减函数
C.f(x)有且只有一个零点 D.f(x)的值域为[－1，1)
解析：由题意得f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，
又∵f(x)＝＝1－，∴f(x)在R 上单调递增，∵2x＞0，∴2x＋1＞1，
∴0＜＜2，∴－2＜－＜0，∴－1＜f(x)＜1，即函数值域为(－1，1)，
令f(x)＝＝0，即2x＝1，解得x＝0，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选AC.
例7．已知函数
方程
有两个不同的根，分别是
5
则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
解析：由题意得：
为R 上的增函数，且
当
时，
，
，
当
时，
，
，方程
有两个不同的根等价于函数
与
的图象有两个交点，作出函数
与
的图象如下图所示：由图可知
与
图象关于
对称，
则
两点关于
对称，中点
在
图象上，由
，解得：
.
所以
.故选：B
核心考点03.常见的指数型函数模型
例8．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：函数
定义域为R，
，又函数
在R 上单调递减，则
，所以函数
的值域为
.故选：A
6
例9．已知函数
，
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
为奇函数
C．函数
在区间
上的最大值与最小值之和为0
D．设
，则
的解集为
解析：对于A：
，定义域为
，
，
则
为奇函数，故A 错误；
对于B：
，定义域为
，
，
则
为奇函数，故B 正确；
对于C：
，
，
都为奇函数，
则
为奇函数，
在区间
上的最大值与最小值互为相反数，
必有
在区间
上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；
对于D：
，则
在
上为减函数，
，则
在
上为减函数，
则
在
上为减函数，
若
即
，
7
则必有
，解得
，
即
的解集为
，故D 正确；
故选：BCD
核心考点04.指数型复合函数的单调性与值域问题
例10．已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由函数
在
上单调递增，
可得
在
上单调递增，
且
在
上恒成立，故需满足
，解得
.故选：B.
例11．已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．5 B．6
C．7
D．8
解析：由题意，令
，解得
或
，
作出
的图象，如图，
由图可知，直线
与
图象有3 个交点，
直线
与
图象有4 个交点，
所以原方程有7 个解，
8
即函数
有7 个零点.故选：C
核心考点05.对数运算与应用
例12．已知
，
，则
_______
解析：由题
，整理得
，
或
，又
，所以
，故
，故答案为：64.
例13．已知函数
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意可知，
.
故选：C．
例14．已知函数
是偶函数，则
的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
解析：函数的定义域为
，
因为函数
是偶函数，
所以
，
所以
，
，所以
，
得
，
故选：A
9
核心考点06.对数函数图像与应用
例15．函数
与
的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4
D．6
解析：函数
与
都是偶函数，其中
，
，
在同一坐标系中，作出函数
与
的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D
例16．“
”是“方程
在
上有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为方程
在
上有实数根，设
，
，当
时，函数
在
单调递增，无交点，如图①所示，不成立；当
时，函数
在
单调递增，函数
在
单调递减，如图②所示，即方程转化为
在
有解，
故
，解得
.
综上所诉，实数
的取值范围为：
.所以
是
的充分不必要条件.
故选：A.
10
核心考点07.对数型函数及应用
例17．函数
的最小值为________
解析：因为
，当
，即
时，
取到最小值，且
.故答案为：
例18．已知函数
，
，
，
，有
成
立，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：令
，则该函数在
上单调递减，又
在定义域上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，所以
，即函数
11
在
上的值域为
，令
，则
，因为
，
，
有
成立，所以
值域为
值域的子集，即
为函数
值域的子集，
当
时，
，显然不满足题意；当
时，
的对称轴
，且开口
向上，所以
在
上单调递增，且
，所以
，
，即
，所以
，所以
，所以
或
（与
矛盾舍去），
所以
，所以
，即实数
的取值集合为
.
故选：B
例19 中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道
带宽W，经科学研究表明：C 与W 满足
，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信
道内部的高斯噪声功率，
为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1 可以忽略不计.若不改变
带宽W，而将信噪比
从1000 提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：
)
A．10%
B．20% C．30% D．40%
解析 当
时，
；
当
时，
.
所以增大的百分比为：
.
12
故选：B.
核心考点08. 指对函数综合应用
例20．已知函数
，若关于
的方程
有且仅有三个不同的实数解，
则实数
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
解析：因为
，所以
，当
，
；当
，
，
所以
在
和
单调递减，在
单调递增，且当
时，
，
，故
的大致图象如图所示：关于
的方程
等价于
，
即
或
，由图知，方程
有且仅有一解，则
有两解，所以
，解得
，故选:C.
例21．（多选题）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
只有两个极值点
B．方程
有且只有两个实根，则
的取值范围为
C．方程
共有4 个根
13
D．若
，
，则的最大值为2
解析：对于
，对
求导得：
，当
或
时，
，
当
时，
，即函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，因此，
函数
在
处取得极小值
，在
处取得极大值
，故选项
正确；
对于
，由选项
知，作出曲线
及直线
，如图，要使方程
有且只有两个实根，
观察图象得当
时，直线
与曲线
有2 个交点，
所以方程
有且只有两个实根，则
的取值范围为
，故选项
错误；对于
，由
得：
，解得
，令
，则
，结合图象方程
有两解，
，
，所以
或
，因为
，所以
，所以方程
有两解；又因为
，结合图象可知：
也有两解，综上：方程
共有4 个
根，故选项
正确；对于
，因为
，而函数
在
上单调递减，因此当
时，
14
，当且仅当
，所以t 的最大值为2，故选项
正确.故选：CD
核心考点09：比较大小
例22．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
为
上单调递增函数，则
，
为R 上单调递减函数，则
，且
由
为R 上单调递增函数，可得
，
则
，
故选：C．
例23．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－
)，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a
解析：由于
是偶函数，故
，
，
由于
在
是增函数，所以
，
即b＜c＜a.
故选：C
15
例24．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为
在
上单调递减，则
，即
；又因为
在
上单调
递减，则
，即
；可得
，且
在
上单调递增，
则
，即
；综上所述：
.
故选：D.
例25．设
，
，
，则( )
A.
B.
C.
D.
解析：由
，
，可得
，故选D.
三、高考练场
1．若函数
且满足对任意的实数
都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：函数
满足对任意的实数
都有
，
所以函数
是
上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足
16
，解得
，所以数
的取值范围为
，故选：
.
2．若
，
，
，则正数
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由
，则
为
与
交点的横坐标，由
，则
为
与
交点的横坐标，由
，即
，则
为
与
交点的横坐标，作出
，
，
，
的图象如下所示，
由图可知，
.故选：B
3．已知
，则满足
的实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由
，易知其定义域为
，
17
由
，则函数
为偶函数，
，
由
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，则
，即
，
整理可得
，化简可得
，解得
.故选：A
4．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：若
，可知
在
内单调递增，可知
在
内单调递
增，可得
对任意
恒成立，又因为
在定义域
内单调递增，可知
在
内单调递增，由题意可得：
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.故选：B.
5．已知函数
为偶函数，满足
，且
时，
，若关于
18
的方程
至少有两解，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
解析：由已知
，则
，则
，可知函数
为周期
函数，最小正周期
，又当
时，
，可知函数
的图象如图所示，且
的值域为
，关于
的方程
至少有两解，
可得函数
与函数
的图象至少有两个交点，如图所示，
可知当
时，
，解得
，即
，当
时，
，解得
，即
，综上所述
，故选：C.
6.若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：根据函数
在区间
上单调递增，且
单调递增，
可得
在区间
上单调递增，所以
.故选:D.
19
7．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为
在
上单调递减，
则
对任意的
恒成立，可得
且
；
且
开口向下，对称轴
，
当
时，则对称轴
，可知
在
内单调递减，
且
在定义域内单调递减，所以
在
上单调递增，不合题意；
当
时，因为
在定义域内单调递增，
可知
在
内单调递减，则
，解得
；
综上所述：
的取值范围是
.故选：C.
8．已知函数
，则函数
零点的个数是_______
解析：令
，即
，解得
或
，作出函数
的图象如图，
由图可知，方程
有
个实数解，
有
个实数解，且均互不相同，所以，
的
20
实数解有
个，所以，函数
零点的个数是
个.故答案为：
9．设函数
，若
，且
，则
的最小值为________
解析：由题意可知：
的定义域为
，令
，解得
；令
，解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
当
时，
，故
，所以
；故
，即
.
当
时，则
，当且仅当
，
时，等号成立，所以
的最小值为
.故答案为：
10.（多选）已知函数
，
，则
满足( )
A.
B.
C.
D.
解析：
，
，故选项A 正确；
为增函数，则
，
，
，易得
，故选项B 正
确；
，故选项C 正确；
，故选项D 错误.
故答案为ABC.
21
22
